基于分形和巖心核磁共振的流體相對(duì)滲透率計(jì)算方法

袁春, 王洋, 葛新民

(1.中國(guó)石油長(zhǎng)城鉆探工程有限公司測(cè)井公司, 遼寧 盤(pán)錦 124010;2.Department of Earth and Atmospheric Sciences, University of Houston,Houston, Texas 77054, USA;3.中國(guó)石油大學(xué)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 山東 青島 266555)

0 引 言

巖石孔隙中多相流體的相對(duì)滲透率對(duì)儲(chǔ)層的流體識(shí)別、油藏?cái)?shù)值模擬、產(chǎn)能評(píng)價(jià)及開(kāi)發(fā)方案設(shè)計(jì)等具有重要意義。Purcell[1]建立了巖石相對(duì)滲透率與毛細(xì)管壓力的關(guān)系;Burdin[2]考慮了束縛流體飽和度的影響對(duì)Purcell模型進(jìn)行了改進(jìn);Corey[3]通過(guò)毛細(xì)管壓力與飽和度的關(guān)系得到了相對(duì)滲透率與飽和度的公式;周克明等[4]通過(guò)毛細(xì)管壓力曲線(xiàn)測(cè)定建立孔隙結(jié)構(gòu)分形模型,并利用分形模型計(jì)算了氣水的相對(duì)滲透率;Li[5-6]系統(tǒng)地研究了相對(duì)滲透率與毛細(xì)管壓力、電阻率增大率之間的關(guān)系。越來(lái)越多的研究表明,流體的相對(duì)滲透率除受到飽和度的影響,還與孔隙結(jié)構(gòu)及流體滲流特征有關(guān)。巖心核磁共振實(shí)驗(yàn)是巖石物理學(xué)家進(jìn)行孔隙結(jié)構(gòu)分析和定量表征的主要方法之一,可以得到巖石的孔隙度、滲透率、孔隙分布形態(tài)、束縛水飽和度等參數(shù)。本文從巖石孔隙結(jié)構(gòu)的分形特征出發(fā),并結(jié)合滲流場(chǎng)與電流場(chǎng)的耦合性及Brooks-Corey/Burdine模型,試圖建立流體相對(duì)滲透率與核磁共振橫向弛豫時(shí)間的關(guān)系,并開(kāi)展巖石物理實(shí)驗(yàn)對(duì)模型進(jìn)行分析。

1 巖石孔隙分形理論及導(dǎo)電特征

研究表明,沉積埋藏而成的巖石孔隙空間具有分形的特征,巖石中含水飽和度和電阻率的關(guān)系為[7]

(1)

式中,Rt為巖石的電阻率,Ω·m;Sw為含水飽和度,小數(shù);Df為巖石孔隙的分維數(shù),無(wú)量綱;f為與水膜厚度和界面張力有關(guān)的指數(shù),無(wú)量綱。

根據(jù)分形和毛細(xì)管壓力理論可以導(dǎo)出含水飽和度與毛細(xì)管壓力的關(guān)系,其表達(dá)式為

(2)

式中,pc為毛細(xì)管壓力,MPa。

由式(1)、式(2),并根據(jù)阿爾奇公式可得

pc=p0If

(3)

式中,p0為巖石100%含水時(shí)的毛細(xì)管壓力,MPa;I為電阻率增大率,無(wú)量綱;f為與水膜厚度和界面張力有關(guān)的指數(shù),無(wú)量綱。

由核磁共振弛豫機(jī)制及毛細(xì)管壓力的原理,對(duì)于簡(jiǎn)化成球狀或柱狀管道的巖石孔隙介質(zhì),其比表面與孔徑成線(xiàn)性關(guān)系,毛細(xì)管壓力與T2分布之間的關(guān)系可以表示為[8]

(4)

式中,c為轉(zhuǎn)換系數(shù),無(wú)量綱;T2為核磁共振橫向弛豫時(shí)間,ms。

實(shí)際巖石的孔隙結(jié)構(gòu)比表面與孔徑一般呈非線(xiàn)性關(guān)系,因此,T2與毛細(xì)管壓力之間的關(guān)系可改寫(xiě)為

(5)

式中,g是一個(gè)泛函,其具體形式未知。

何雨丹等[9]通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)分析研究,認(rèn)為毛細(xì)管壓力與核磁共振T2值之間為冪指數(shù)關(guān)系,則式(5)可以表示為

(6)

式中,m、n分別為轉(zhuǎn)換參數(shù),無(wú)量綱。

由式(3)和式(6),電阻率增大率I與核磁共振T2之間的關(guān)系為

(7)

式中,a、b分別為轉(zhuǎn)換系數(shù),無(wú)量綱。

式(7)是本文實(shí)現(xiàn)核磁共振與相對(duì)滲透率的核心公式。

2 滲、電場(chǎng)的互等性及相對(duì)滲透率的計(jì)算

電流的傳播和流體的滲流問(wèn)題在數(shù)學(xué)物理方法上類(lèi)似,其邊界條件、初始條件和求解方法都具有一定的類(lèi)比性。Fatt[10]根據(jù)電流傳播與流體滲流的互等性,將泊肅葉方程與歐姆定律進(jìn)行了對(duì)比分析;King[11]、Li[12]、B.Shimekit和H.Mukhtar[13]也分別分析了電流傳播特性與流體滲流特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系-。根據(jù)泊肅葉方程,單相流體通過(guò)毛細(xì)管狀孔隙性巖石的流量為

(8)

式中,Q為流量,cm3;r為毛細(xì)管半徑,cm;μ為流體黏度,mPa·s;l為毛細(xì)管滲流長(zhǎng)度,cm,Δp為毛細(xì)管兩端壓力差,MPa。

毛細(xì)管狀孔隙性巖石的電流傳播規(guī)律可用歐姆定律表示為

Ec=GΔV

(9)

式中,Ec為電流,A;G為電導(dǎo),S;ΔV為電勢(shì)差,V。

根據(jù)電流場(chǎng)和滲流場(chǎng)的互等性并結(jié)合式(8)和式(9),毛細(xì)管模型的宏觀電導(dǎo)可寫(xiě)成[14]

(10)

由達(dá)西公式可知,單相流體通過(guò)毛細(xì)管狀孔隙性巖石的流量為

(11)

式中,A為毛細(xì)管的橫截面積,cm2;K為單相流體的絕對(duì)滲透率,×10-3μm2。

根據(jù)Fatt等[10-12]的研究成果,達(dá)西公式與歐姆定律亦存在互等性。對(duì)于氣水兩相系統(tǒng),由式(8)、式(10)和式(11)可得巖石孔隙完全含水時(shí)的電導(dǎo)為

(12)

引入相對(duì)滲透率,巖石孔隙部分含水時(shí)的電導(dǎo)為

(13)

又因電阻增大率為

(14)

結(jié)合式(12)、式(13)及式(14)可得

(15)

根據(jù)多孔介質(zhì)巖石導(dǎo)電規(guī)律,當(dāng)巖石完全含水時(shí),其電阻增大率為1,此時(shí)水的相對(duì)滲透率也為1,當(dāng)巖石完全含氣時(shí),水的相對(duì)滲透率為0,巖石的電阻率增大率應(yīng)為無(wú)窮大。但一般實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象是,當(dāng)巖石含水飽和度降至束縛水飽和度時(shí),此時(shí)水的相對(duì)滲透率就變成了0,但電阻率增大率并非無(wú)窮大。因此,為了使式(15)符合實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,需對(duì)其進(jìn)行飽和度修正,經(jīng)飽和度修正后水的相對(duì)滲透率為

(16)

式中,Sw為含水飽和度,小數(shù);Swir為束縛水飽和度,小數(shù)。

由式(16)可知,經(jīng)飽和度修正后,當(dāng)含水飽和度為1時(shí),水的相對(duì)滲透率為1,當(dāng)含水飽和度等于束縛水飽和度時(shí),水的相對(duì)滲透率為0,修正后的模型與實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象一致。

將電阻率增大率與核磁共振T2的關(guān)系代入式(16),可得

(17)

式(17)為氣水兩相滲流過(guò)程中水的相對(duì)滲透率計(jì)算公式。

Burdine[2]對(duì)Purcell模型進(jìn)行了改進(jìn),得到了新的相對(duì)滲透率模型,可以表示為

(18)

(19)

各相流體飽和度滿(mǎn)足物質(zhì)平衡方程

Sw+Snw=1

(20)

式中,Krw為潤(rùn)濕相的相對(duì)滲透率,小數(shù);Krnw為非潤(rùn)濕相的相對(duì)滲透率,小數(shù);Sw為潤(rùn)濕相飽和度,小數(shù);Swir為潤(rùn)濕相束縛飽和度,小數(shù);Snw為非潤(rùn)濕相飽和度,小數(shù);Snwr為非潤(rùn)濕相殘余飽和度,小數(shù);pc為毛細(xì)管壓力,MPa。在實(shí)際應(yīng)用中,為了求解方便,通常令非潤(rùn)濕相的束縛飽和度為0。

根據(jù)分形理論,毛細(xì)管壓力與潤(rùn)濕相飽和度的關(guān)系為[14]

(21)

式中,pce為巖石孔隙完全含水時(shí)的毛細(xì)管壓力,MPa;λ為系數(shù),無(wú)量綱。

將式(21)代入式(18)和式(19),可得

(22)

(23)

式(22)、式(23)稱(chēng)為Brooks-Corey/Burdine相對(duì)滲透率模型。對(duì)于研究而言,巖石中僅存在氣水兩相,因此水為潤(rùn)濕相,氣為非潤(rùn)濕相。因此,式(18)至式(23)中的Sw為含水飽和度,Swir為束縛水飽和度,Snw為含氣飽和度,Krw為水的相對(duì)滲透率,Knw為氣的相對(duì)滲透率,與式(1)至式(17)相關(guān)參數(shù)含義相同。結(jié)合式(17)和式(22),可得

(24)

將式(24)代入式(23),得到氣的相對(duì)滲透率方程

(25)

式(17)和式(25)即本文所得到的計(jì)算的水(潤(rùn)濕相)和氣(非潤(rùn)濕相)相對(duì)滲透率的公式。從公式的形式和參數(shù)可知,流體的相對(duì)滲透率與各相流體飽和度及束縛流體飽和度、核磁共振T2有關(guān),說(shuō)明流體的微觀滲流過(guò)程受巖石孔隙結(jié)構(gòu)及流體性質(zhì)與分布的雙重影響,所得的模型與實(shí)際情況更加吻合。

3 實(shí)驗(yàn)分析與討論

為了對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證與分析,分別選取了中國(guó)東部某油田4塊砂巖樣品分別進(jìn)行了非穩(wěn)態(tài)法相對(duì)滲透率和核磁共振實(shí)驗(yàn)測(cè)試。表1為樣品的基本物理信息,從表1可知,樣品屬于中低孔隙度低滲透率巖心。實(shí)驗(yàn)測(cè)試溫度為19 ℃,飽和溶液為氯化鈉,礦化度為8 000 mg/L,黏度為0.738 2 mPa·s,注入氣為氮?dú)?其黏度為0.017 4 mPa·s;核磁共振測(cè)試所用回波間隔為0.3 ms,等待時(shí)間為6 s,儀器掃描次數(shù)為64,離心時(shí)間為30 min,轉(zhuǎn)子速度為8 000 r/min,共采集2 048個(gè)回波串,采用多指數(shù)擬合法得到核磁共振譜,反演布點(diǎn)數(shù)為64個(gè)。

表1 實(shí)驗(yàn)所用樣品基本物性參數(shù)

圖3 插值后氣水相對(duì)滲透率與實(shí)測(cè)氣水滲透率對(duì)比

圖1是4塊巖石完全飽和水時(shí)的核磁共振T2譜,從圖1可知,除4號(hào)巖心,其他3塊巖心均呈單峰形態(tài)或不明顯的雙峰形態(tài),說(shuō)明巖石的物性差,小孔隙部分所占比例較高。圖2是核磁共振實(shí)驗(yàn)分析孔隙度與氣測(cè)孔隙度對(duì)比圖。2種實(shí)驗(yàn)方法測(cè)得數(shù)據(jù)基本一致,平均絕對(duì)誤差為0.31%,平均相對(duì)誤差為2.14%。分別采用離心法和氣水相對(duì)滲透率實(shí)驗(yàn)法得到樣品的束縛水飽和度,兩者也十分接近(見(jiàn)表1),平均絕對(duì)誤差為3.02%,平均相對(duì)誤差為5.4%。以上分析表明,該實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)質(zhì)量較好,精度較高。

圖1 樣品完全含水時(shí)的核磁共振T2譜

圖2 核磁共振測(cè)量孔隙度與氣測(cè)孔隙度對(duì)比

核磁共振T2布點(diǎn)數(shù)要大于相對(duì)滲透率實(shí)驗(yàn)采點(diǎn)數(shù),需對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行插值處理,以便于相對(duì)滲透率的擬合。根據(jù)核磁共振T2譜、相對(duì)滲透率與含水飽和度的相關(guān)性,采用對(duì)數(shù)插值法得到若干個(gè)含水飽和度下的核磁共振T2譜及相對(duì)滲透率。圖3是插值后的相對(duì)滲透率曲線(xiàn)與實(shí)測(cè)相對(duì)滲透率曲線(xiàn)對(duì)比,插值后相對(duì)滲透率曲線(xiàn)形態(tài)及數(shù)值與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)基本一致。

圖4 相對(duì)滲透率/修正孔隙度與核磁共振T2關(guān)系圖

將所得的擬合系數(shù)用于相對(duì)滲透率的擬合,圖5分別是4塊樣品擬合所得的相對(duì)滲透率與實(shí)測(cè)滲透率對(duì)比。從圖5可見(jiàn),對(duì)于水相,其計(jì)算的相對(duì)滲透率與實(shí)測(cè)值十分相近,精度較高,經(jīng)統(tǒng)計(jì)其平均相對(duì)誤差僅為2.45%,但模型計(jì)算的氣相的相對(duì)滲透率與實(shí)測(cè)值存在較大的誤差,這主要是因?yàn)樵谇笆瞿Ｐ椭屑僭O(shè)氣體的束縛飽和度為0所導(dǎo)致。通過(guò)實(shí)驗(yàn)尚無(wú)法準(zhǔn)確確定計(jì)算氣體的束縛飽和度,該模型用于氣體的相對(duì)滲透率計(jì)算時(shí)需做進(jìn)一步的改進(jìn)和優(yōu)化。對(duì)于水相,完全可以用本文所提出的模型進(jìn)行相對(duì)滲透率計(jì)算。

圖5 反演相對(duì)滲透率與實(shí)測(cè)相對(duì)滲透率對(duì)比

4 結(jié) 論

(1) 根據(jù)巖石孔隙的分形特征及核磁共振、毛細(xì)管壓力原理,建立了電阻率增大率與核磁共振T2值的冪指數(shù)關(guān)系式,將巖石導(dǎo)電特征與孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系進(jìn)一步定量化。

(2) 通過(guò)毛細(xì)管模型研究了電流場(chǎng)和滲流場(chǎng)的互等性,建立了流體相對(duì)滲透率與電阻率增大率之間的關(guān)系,實(shí)現(xiàn)了巖石導(dǎo)電特征與滲流特征的定量轉(zhuǎn)換。

(3) 通過(guò)孔隙分析特征和毛細(xì)管模型,以巖石導(dǎo)電特征為橋梁建立了流體相對(duì)滲透率與核磁共振T2值之間的關(guān)系。模型表明,相對(duì)滲透率不僅僅與流體飽和度和束縛飽和度有關(guān),還受到孔隙結(jié)構(gòu)的影響,所建模型更加符合實(shí)際情況。

(4) 對(duì)于水(潤(rùn)濕相),采用本文研究所提出的模型計(jì)算得到的相對(duì)滲透率與實(shí)測(cè)值十分吻合,說(shuō)明可用該模型進(jìn)行水(潤(rùn)濕相)的相對(duì)滲透率計(jì)算;但對(duì)于氣(非潤(rùn)濕相),由于模型將其束縛飽和度簡(jiǎn)化為0,模型所得相對(duì)滲透率與實(shí)測(cè)值存在較大的誤差,若需要算準(zhǔn)其相對(duì)滲透率,則首先需要確定非潤(rùn)濕相束縛飽和度。

參考文獻(xiàn):

[1] Purcell W R. Capillary Pressures: Their Measurement Using Mercury and the Calculation of Permeability [C]∥ Petroleum Transactions, AIME, 1956, 207: 144-181.

[2] Burdine N T. Relative Permeability Calculations from Pore Size Distribution Data [C]∥ Petroleum Transactions, AIME, 1953, 198: 71-78.

[3] Corey A T. The Interrelation Between Gas and Oil Relative Permeabilities [J]. Producer’s Monthly, 1954, 19: 38-41.

[4] 周克明, 張清秀, 王群, 等. 利用分形模型計(jì)算氣水相對(duì)滲透率 [J]. 天然氣工業(yè), 2007, 27(10): 88-89.

[5] Li Kewen. A New Method for Calculating Two-phase Relative Permeability from Resistivity Data in Porous Media [J]. Transp Porous Med, 2008, 74: 21-33.

[6] Li Kewen. Interrelationship Between Resistivity Index, Capillary Pressure and Relative Permeability [J]. Transp Porous Med, 2011, 88: 385-398.

[7] Li Kewen. Analytical Derivation of Brooks Corey Type Capillary Pressure Models Using Fractal Geometry and Evaluation of Rock Heterogeneity [J]. Journal of Petroleum Science and Engineering, 2010, 73: 20-26.

[8] 李艷. 復(fù)雜儲(chǔ)層巖石核磁共振特性實(shí)驗(yàn)分析與應(yīng)用研究 [D]. 東營(yíng): 中國(guó)石油大學(xué), 2008.

[9] 何雨丹, 毛志強(qiáng), 肖立志, 等. 利用核磁共振T2分布構(gòu)造毛管壓力曲線(xiàn)的新方法 [J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào): 地球科學(xué)版, 2005, 35(2): 177-181.

[10] Fatt I. The Network Model of Porous Media, III Dynamic Properties of Networks with Tube Radius Distribution [J]. Petroleum Transactions, AIME, 1956, 207: 164-177.

[11] King P R. The Use of Renormalization for Calculating Effective Permeability [J]. Transport Porous Media, 1989, 4: 237.

[12] Li Kewen, Abbas Firoozabadi. Phenomenological Modeling of Critical Condensate Saturation and Relative Permeabilities in Gas Condensate Systems [J]. SPE Journal, 2000, 5: 138-147.

[13] Shimekit B, Mukhtar H, Maitra S. Comparison of Predictive Models for Relative Permeability of CO2in Matrimid-Carbon Molecular Sieve Mixed Matrix Membrane [J]. Journal of Applied Sciences, 2010, 10: 1204-1211.

[14] Olafuyi O A, Cinar Y, Knackstedt M A, et al. Capillary Pressure and Relative Permeability of Small Cores [C]∥SPE Symposium on Improved Oil Recovery, Tulsa, Oklahoma, USA, 2008.