共軸平行圓盤的電容系數(shù)

高佳慧 邱為鋼（湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江湖州 313000）

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共軸平行圓盤的電容系數(shù)

高佳慧 邱為鋼
（湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江湖州 313000）

摘 要由泊松方程和邊界條件，給出了共軸平行不同大小圓盤的電勢含兩個(gè)待定函數(shù)的積分表達(dá)式．電勢在圓盤上為定值，電場在圓盤外所在平面上連續(xù)，由此得到兩個(gè)待定函數(shù)的偶合積分方程．利用數(shù)值積分中的Gauss－Lobatto公式，得到了圓盤上電荷數(shù)值表達(dá)式．兩個(gè)圓盤上的電荷與圓盤電勢成線性關(guān)系，其系數(shù)矩陣為電容系數(shù)矩陣．給出了電容系數(shù)和圓盤半徑與圓盤間距比值得等高線圖．

關(guān)鍵詞圓盤；電容系數(shù)；積分方程

理想的平板電容器由兩個(gè)平行的無限大金屬板組成，板間的電場是勻強(qiáng)電場，所以兩個(gè)板之間的電勢差很容易計(jì)算，系統(tǒng)的電容也容易給出．實(shí)際制作中，平板電容器有兩個(gè)修正，一個(gè)是兩個(gè)平板不可能嚴(yán)格平行，有夾角．忽略邊緣效應(yīng)（即認(rèn)為是無限大），平板之間的電勢可以求出［1－3］．另一個(gè)修正是平板具有有限面積，最簡單的是圓盤形．單個(gè)帶電金屬圓盤的電勢分布的解析解已經(jīng)求出［4，5］，兩個(gè)平行共軸金屬圓盤的電勢分布，文獻(xiàn)［6］認(rèn)為存在解析解，但文獻(xiàn)［7］指出了推導(dǎo)錯(cuò)誤，文獻(xiàn)［8］給出了數(shù)值解．我們沿用文獻(xiàn)［8］的方法，考慮不同大小共軸平行金屬圓盤的電勢分布，給出電勢分布函數(shù)滿足的積分方程．?dāng)?shù)值求解得到了電容系數(shù)和圓盤半徑與圓盤間距比值的等高線圖．

設(shè)圓盤所在平面與xy平面平行，圓心在z軸上．為討論方便，第一個(gè)圓盤圓心在原點(diǎn)，半徑為R1，電勢為V1，第二個(gè)圓盤圓心在z＝L處，半徑為R2，電勢為V2．采用柱坐標(biāo)，在兩個(gè)圓盤之外的空間，電勢Φ（ρ，θ，z）所滿足的無源泊松方程為

考慮到圓柱對(duì)稱性，即電勢與角度無關(guān)．對(duì)式（1）采用分離變量法，再考慮無窮遠(yuǎn)處的邊界條件，即電勢趨向于零，方程式（1）的一般解是極坐標(biāo)零階貝塞爾函數(shù)和縱坐標(biāo)指數(shù)衰減函數(shù)的乘積：

其中k是大于零的參數(shù)．由體系的幾何形狀以及電勢的連續(xù)性，假設(shè)電勢Φ（ρ，z）為式（2）一般解的積分表示，橫截面上極坐標(biāo)零階貝塞爾函數(shù)不變，縱坐標(biāo)方向是兩個(gè)指數(shù)衰減函數(shù)的線性疊加，即

其中g(shù)1（k）和g2（k）是兩個(gè)未知的待定函數(shù)．兩個(gè)金屬圓盤是等勢體，所以有

在圓盤以外平面上，電場的z分量連續(xù)，當(dāng)z＞L時(shí)，計(jì)算得到電場的z分量為

當(dāng)0＜z＜L，電場的z分量為

當(dāng)z＜0時(shí)，電場的z分量為

由電場z分量為在z＝0平面上的連續(xù)條件，得到

由電場z分量為在z＝L平面上的連續(xù)條件，得到

式（4）、（5）、（9）、（10）聯(lián)立，理論上解出g1（k）和g2（k）的表達(dá)式，就能確定電勢Φ（ρ，z）．

由積分恒等式

可設(shè)：

式（12）、（13）反代回（4）、（5）式，定義關(guān)聯(lián)函數(shù)G（r，ρ，L）為

計(jì)算得到

由積分方程的阿貝爾轉(zhuǎn)換公式［8］

參照文獻(xiàn)［8］上的積分公式，計(jì)算得到

其中積分核K（r，r′，L）為

式（18）、（19）是積分方程，理論上確定f1（r）和f2（r）就能確定兩個(gè)圓盤上的電荷Q1和Q2．由高斯定理和電場的表達(dá)式（6）、（7）和（8），計(jì)算得到圓盤上的電荷量為

由g1（k）和g2（k）的積分表示式（12）、（13），計(jì)算得到

電容系數(shù)矩陣Cij定義為

把積分看做是無限個(gè)矩形的面積之和，式（18）、（19）就化為無窮大的矩陣乘積形式．把兩個(gè)區(qū)間［0，R1］和［0，R2］同樣N等分，令矢量V1和V2：

令矢量f1和f2為

以及矩陣A，B為

那么式（18）、（19）形式上化為

式（28）有解

其中I是N×N的單位矩陣．把式（29）的解代入式（23），得到圓盤上電荷量為

對(duì)比式（24）和式（30），就能讀出兩個(gè)圓盤的電容系數(shù)來．從式（30）的關(guān)系式中，可以看出電容系數(shù)的關(guān)系式

取兩個(gè)圓盤間距L為距離單位，電容以4ε0L為單位，那么圓盤系統(tǒng)的電容系數(shù)矩陣只依賴于兩個(gè)圓盤半徑與圓盤間距比值參數(shù)R2／L，定義兩種等效電容為數(shù)值計(jì)算得到兩種等效電容等高線圖如圖1和圖2所示，圖中坐標(biāo)單位是0．1L．

由圖1可以看出，對(duì)于第一種等效電容，圓盤半徑越大，數(shù)值越大；對(duì)于第二種等效電容，圓盤半徑越大，數(shù)值越?。?/p>

本文中的圓盤，由于共軸平行，所以很自然采用柱坐標(biāo)系和分離變量法．對(duì)于兩個(gè)共軸平行的正方形金屬盤，缺乏圓柱對(duì)稱性，就不能采用柱坐標(biāo)方法來解決．我們希望能找到數(shù)學(xué)物理和計(jì)算物理相結(jié)合的方法，求解正方形平板電容系數(shù)，將在后文中繼續(xù)討論．

圖1　第一種等效電容的等高線圖

圖2　第二種等效電容的等高線圖

參考文獻(xiàn)

［1］ 秦德培．非平行板電容器的電場和電容的簡化計(jì)算［J］．大學(xué)物理，1995，14（1）：13－14．

［2］ 鄭民偉．非平行板電容器的電容和電場的一種計(jì)算［J］．大學(xué)物理，2001，20（2）：17－18．

［3］ 葛松華．非平行板電容器的電場和電容的另一種計(jì)算［J］．大學(xué)物理，2004，23（11）：40－41．

［4］ 斯邁思，戴世強(qiáng)．靜電學(xué)和電動(dòng)力學(xué)（上冊）［M］．北京：科學(xué)出版社，2081：36－36，177．

［5］ 熊建平．導(dǎo)體薄圓盤的電荷分布［J］．大學(xué)物理，1999，18（5）：8－10．

［6］ Atkinson W J，Young J H，Brezovich I A．An analytic solution for the potential due to circular parallel plate capacitor［J］．J．Phys．A：Math Gen，1983，16：2837－2841．

［7］ Hughes B D．On the potential due to circular parallel plate capacitor［J］．J．Phys．A：Math Gen，1984，17：1385－1386．

［8］ Carison G T，Illman B L．The circular disk parallel plate capacitor［J］．Am．J．Phys，1994，62（12）：1099－1105．

簡訊

來自《科學(xué)》雜志的近日報(bào)道：

CAPACITY COEFFICIENTS OF COAXIAL PARALLEL DISK

Gao Jiahui Qiu Weigang
（School of Science，Huzhou Teachers College，Huzhou，Zhejiang 313000）

AbstractFrom Poisson equation and boundary condition，the electric potential of two different coaxial parallel disks is derived，which is an integral expression with two undefined functions．Because the electric potential is constant on the disk and the electric field is continuous on the plane outside the two disks，two coupled integrated equations of the undefined functions can be obtained from the boundary conditions．The numerical expression of charges on the disks are got by Gauss－Lobatto method．Relationship between charges and electric potential on two discs are shown to be linear，and the coefficients matrix between the charges and the potentials are defined as capacity coefficients matrix．Contour map of capacity coefficients are drawn as a function of the ratio between the radius and distance of two discs．

Key wordscircular disk；capacity coefficients；integral equation

作者簡介：高佳慧，男，在讀本科生；邱為鋼，男，副教授，主要從事大學(xué)物理的教學(xué)和研究．wgqiu＠hutc．zj．cn

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（11475062，11275067）；湖州師范學(xué)院首屆中青年教師卓越教學(xué)能力培養(yǎng)計(jì)劃（2014ZYJH017）、數(shù)學(xué)物理方法課程教學(xué)研究項(xiàng)目（JZW－15－SL－03）．

收稿日期：2014－08－07