用微元法巧解軟繩下落過程的能量損失

吳海娜劉 順公衛(wèi)江謝成浩易光宇（東北大學(xué)理學(xué)院，遼寧沈陽(yáng) 089；東北大學(xué)機(jī)械學(xué)院，遼寧沈陽(yáng) 089；吉林大學(xué)交通學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 00）

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用微元法巧解軟繩下落過程的能量損失

吳海娜1劉 順2公衛(wèi)江1謝成浩3易光宇1
（1東北大學(xué)理學(xué)院，遼寧沈陽(yáng) 110819；
2東北大學(xué)機(jī)械學(xué)院，遼寧沈陽(yáng) 110819；
3吉林大學(xué)交通學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130012）

摘 要很多教科書涉及均質(zhì)軟繩（或者鏈條）下落或提升的問題．軟繩類的問題更具有迷惑性．當(dāng)求解軟繩從桌面掉下等問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)用機(jī)械能守恒定律求解和用動(dòng)量定理求解此問題，得到的結(jié)果不一樣．文章對(duì)這種情況進(jìn)行了分析，指出軟繩下落過程中實(shí)際上機(jī)械能不守恒，利用微元法嚴(yán)格計(jì)算了軟繩下落過程中的能量損失，得到其解析表達(dá)式．根據(jù)能量守恒定律，外力所做的功減去能量損失就是機(jī)械能的增量，所得結(jié)果與動(dòng)量定理求解一致．通過具體推導(dǎo)過程澄清了軟繩下落過程中的能量損失問題．

關(guān)鍵詞軟繩問題；動(dòng)量定理；機(jī)械能守恒定律；能量損失

1 問題的提出

文獻(xiàn)［1］的例子為（圖1（a））：一軟繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為λ．軟繩放在桌子上，桌子上有一個(gè)小孔，軟繩一端位于小孔處，其余部分平堆在小孔周圍．受到某種擾動(dòng)后，軟繩由于自身的重量開始下落，求軟繩下落速度與落下距離之間的關(guān)系．軟繩與各處的摩擦均不計(jì)，且認(rèn)為軟繩柔軟得可以自由伸開．

圖1　軟繩在桌面上下落示意圖

方法一：利用動(dòng)量定理求解［1］

選桌面上一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為Oy正方向．設(shè)在某時(shí)刻，軟繩下落部分長(zhǎng)度為y，此時(shí)在桌面上的軟繩長(zhǎng)度為L(zhǎng)－y，它們之間的作用力為內(nèi)力．作用于系統(tǒng)的外力有：下落部分軟繩所受的重力m1g，桌面上的軟繩所受的重力m2g和支持力FN，且FN＝－m2g，故作用在系統(tǒng)上的外力為

由動(dòng)量定理可得

設(shè)在t時(shí)刻，軟繩下落的長(zhǎng)度為y，下落速度

將式（1）和式（3）代入式（2），計(jì)算可得軟繩下落的速度和落下的距離的關(guān)系為則完全下落時(shí)的瞬間速度為

方法二：用機(jī)械能守恒定律求解［2，3］

建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在桌面處．把軟繩和地球看成一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)機(jī)械能守恒．以坐標(biāo)原點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，以剛釋放為系統(tǒng)的初態(tài)，初態(tài)時(shí)動(dòng)能為零，勢(shì)能為零，以軟繩下落y時(shí)為終態(tài)，終態(tài)動(dòng)能為

從式（4）和式（7）可以看出，用動(dòng)量定理和用機(jī)械能守恒定律求解所得的結(jié)果不一樣，事實(shí)上，軟繩下降過程可以看成是下降主體與待下降微元的完全非彈性碰撞，機(jī)械能并不守恒，損失的能量到底是多少呢？文獻(xiàn)［6，7］提出在鏈條拉動(dòng)過程中，鏈條由靜止并入運(yùn)動(dòng)部分時(shí)類似于碰撞，其動(dòng)能的變化必須用外力的功與碰撞內(nèi)力的功的代數(shù)和去量度．在下文中將假設(shè)軟繩為環(huán)的數(shù)目是無限多的鏈條．

本文從能量守恒的角度出發(fā)，采用微元法，認(rèn)為軟繩下降過程可看成是下降主體與待下降微元的完全非彈性碰撞，則下落過程中重力所做的功減去能量損失就是系統(tǒng)動(dòng)能的增量，得出結(jié)果與動(dòng)量定理求解的完全一致．下面對(duì)此問題進(jìn)行詳細(xì)分析并得出結(jié)論．

2 軟繩下落過程中的能量損失計(jì)算

假設(shè)軟繩的總質(zhì)量為M，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，將軟繩均勻分成N段（N→∞），每段的質(zhì)量為M／N，長(zhǎng)度為L(zhǎng)／N．我們認(rèn)為軟繩的下落過程，是軟繩下降主體與待下降微元之間完全非彈性碰撞后再以同一速度向下運(yùn)動(dòng)．先來考慮這樣一個(gè)問題：質(zhì)量為am的軟繩（其中a為正整數(shù)），速度為v0，與另一靜止且質(zhì)量為m的物體發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞后的共同速度為v1，求碰撞過程中損失的能量．該運(yùn)動(dòng)過程滿足動(dòng)量守恒定理

則碰后速度與碰前速度有如下關(guān)系

在此碰撞過程中系統(tǒng)損失的能量為

將式（9）代入式（10）可得能量損失與初動(dòng)能和末動(dòng)能的關(guān)系

下落過程如圖1（b）、（c）和（d）所示．我們?cè)O(shè)想一種情況：第一段落下后，與第二段（后一段）發(fā)生碰撞，而第三段依然靜止．對(duì)于第一段下落，重力所做的功等于動(dòng)能的增量，設(shè)第一段得到的速度為v0，動(dòng)能為Ek1，

第一段下落后，第二段和第一段發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞后第一段和第二段組成的系統(tǒng)總動(dòng)能設(shè)為Ek2，碰撞過程中能量的損失為

由式（11）可得

第二段和第一段碰后一起下落，重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化成動(dòng)能，末動(dòng)能E′k2為

第三段與第二段和第一段的結(jié)合體碰撞，根據(jù)式（11）可知能量損失為將式（15）代入該結(jié)果可得

第四段與第三段、第二段、第一段的結(jié)合體碰撞，能量損失為

依次類推，可以得到第n次碰撞過程中能量的損失E損n為

由于軟繩被均勻分成N段，共發(fā)生了N－1次碰撞，則整個(gè)過程中總的能量損失為

從式（18），提取出一個(gè)數(shù)列表達(dá)式如下

以此類推，易得

由推導(dǎo)過程易知當(dāng)n＝n時(shí)，有n－1項(xiàng)（除a1項(xiàng)外），當(dāng)n＝2時(shí)，有1項(xiàng)（除a1項(xiàng)外），據(jù)此即可求出n取不同值時(shí)的值．

令bn＝2（n－1）＋3（n－2）＋…＋

當(dāng)N→∞，可只求bn中的立方項(xiàng)，忽略平方項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，可得

而整個(gè)下落過程中重力勢(shì)能的變化量為

根據(jù)能量守恒定律

將式（21）、（22）代入式（23），得

這與單純由動(dòng)量定理所得結(jié)果式（4）是完全一致的．

由以上討論，不難看出：起決定性作用的是數(shù)列bn中的立方項(xiàng)（與初始值a1無關(guān)），而數(shù)列bn中的立方項(xiàng)由關(guān)系式?jīng)Q定，而得到上述關(guān)系式的物理模型是軟繩微元與主體之間的完全非彈性碰撞，而物理模型是在滿足軟繩自身性質(zhì)的前提下提出的（軟繩是鐵鏈的極限形式）．至于損失的能量則以熱能的形式散失或轉(zhuǎn)化成分子能等等．

綜上，我們用微元法得到軟繩下落過程中能量損失的具體表達(dá)式，形象地闡明了正確的物理過程，利用數(shù)學(xué)方法得到了定量的結(jié)果，澄清了利用動(dòng)量定理和機(jī)械能守恒定律求解同一問題結(jié)果不一致的困惑，這對(duì)學(xué)生如何正確地理解和分析物理問題有積極的借鑒作用，并有利于學(xué)生不再對(duì)鐵鏈、軟繩等線狀物體參與運(yùn)動(dòng)的部分逐漸變化此類的變質(zhì)量問題畏難．

3 結(jié)語(yǔ)

本文用微元法計(jì)算了軟繩下落過程中機(jī)械能的損失，所得軟繩下落的速度和落下距離的關(guān)系與按動(dòng)量定理的計(jì)算結(jié)果一致．在軟繩下落過程中微元與主體之間無時(shí)無刻不在發(fā)生著的完全非彈性碰撞，嚴(yán)格算出下落過程中的能量損失，最終得出的結(jié)果與動(dòng)量定理求解是完全一致的．

參考文獻(xiàn)

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A DIFFERENTIAL ELEMENT METHOD OF SOLVING THE ENERGY LOSS DURING SOFT ROPE DROP PROCESS

Wu Haina1Liu Shun2Gong Weijiang1Xie Chenghao3Yi Guangyu1
（1College of Sciences，Northeastern University，Shenyang，Liaoning 110819；2Mechanical College，Northeastern University，Shenyang，Liaoning 110819；
3Traffic College，Jilin University，Changchun，Jilin 130012）

AbstractMany textbooks mentioned homogeneous soft rope（or chain）drop or promotion problem．Soft rope problem is more confusing．When solving such problems as the soft rope drop from the desktop，people may find that the results are different by solving this problem with the energy conservation law and the momentum theorem of mechanical．This article analyzes this kind of situation，and points out that mechanical energy is not conserved during the soft rope drop process．Through the micro element method，we have calculated the energy loss in the process of soft rope drop exactly，and have obtained the analytic expression．According to the law of conservation of energy，the work done by external force minus the energy loss is the increase of the mechanical energy．The results are agreement with the momentum theorem of solution．This paper clarifies the problem of the energy loss in the soft rope drop process through the specific derivation process．

Key wordssoft rope problem；theorem of momentum；mechanical energy conservation law；energy loss

作者簡(jiǎn)介：吳海娜，女，講師，研究方向是凝聚態(tài)物理理論．wuhainana＠163．com；劉順，男，在讀本科生；公衛(wèi)江，男，教授，研究方向是介觀物理；謝成浩，男，在讀本科生；易光宇，男，講師，研究方向是介觀物理．

基金項(xiàng)目：2014年度遼寧省普通高等教育內(nèi)涵發(fā)展—專業(yè)建設(shè)專項(xiàng)（跨校修讀學(xué)分專項(xiàng)），大學(xué)物理跨校修讀學(xué)分課程建設(shè)與資源共享（項(xiàng)目編號(hào)UPRPI2014024）．

收稿日期：2015－04－16