基于概率需求的高速鐵路無砟軌道板溫度荷載取值研究Ⅰ：軸向均勻溫度作用

歐祖敏，孫 璐，2，周 杰，趙國堂

(1.東南大學(xué) 交通學(xué)院，江蘇 南京 210096；2.美國華盛頓Catholic大學(xué) 土木工程系，華盛頓 20064；3.中國鐵路總公司，北京 100844)

無砟軌道結(jié)構(gòu)因整體性好、變形小、維修工作量少等優(yōu)點被廣泛應(yīng)用于高速鐵路[1]。但曝露于大氣環(huán)境下的混凝土無砟軌道板易受環(huán)境溫度作用影響產(chǎn)生不均勻變形，軌道板變形受到約束后將產(chǎn)生溫度應(yīng)力[2]。在設(shè)計控制軌道板溫度應(yīng)力時，需要確定其可能承受的溫度荷載，文獻[3] 認為無砟軌道中的年溫度變化與氣溫變化幅度相等，最大年溫差可以按所在年內(nèi)月份最高與最低平均溫度的差值計算，但這難以真實反映軌道板年最大溫差的實際特征。我國現(xiàn)行高速鐵路設(shè)計規(guī)范推薦無砟軌道結(jié)構(gòu)的年溫差根據(jù)當?shù)貧庀髼l件取值，混凝土收縮取等效溫降10 ℃，常用溫度梯度取45 ℃/m，但未指出年溫差如何取值、取多大的值，常用溫度梯度取45 ℃/m也有些籠統(tǒng)[4]。以往的荷載規(guī)范很少對溫度荷載做出明確規(guī)定或僅參考了行業(yè)及國外標準來考慮溫度作用的計算方法，各類參數(shù)取值不規(guī)范、不統(tǒng)一，文獻[5]雖然初次納入了溫度作用，但也僅初步給出溫度作用的定義、表達和標準值取值說明，離實際應(yīng)用仍有差距[6]。因此，有必要對軌道板溫度荷載的取值進行研究。

本文根據(jù)文獻[5，7]中關(guān)于可變作用的有關(guān)規(guī)定及取值要求，結(jié)合高速鐵路無砟軌道板經(jīng)歷溫度荷載的實際情況，對無砟軌道板的溫度荷載取值進行研究，為無砟軌道結(jié)構(gòu)設(shè)計中關(guān)于溫度荷載的確定提供簡便、合理的方法。因軌道板溫度荷載主要包括軸向均勻溫度荷載和溫度梯度荷載兩種類型，本研究將分兩篇文章對軸向均勻溫度荷載和溫度梯度進行取值。

1 無砟軌道板溫度荷載

1.1 無砟軌道板溫度場方程

文獻[8]研究表明，無砟軌道結(jié)構(gòu)內(nèi)的溫度分布與其表面溫度的變化密切相關(guān)。對均質(zhì)的混凝土無砟軌道板，研究中為計算軌道結(jié)構(gòu)的溫度場，建立軌道結(jié)構(gòu)溫度場與外界環(huán)境(氣象條件)的關(guān)系，并通過現(xiàn)場實測對軌道結(jié)構(gòu)溫度場方程進行初步驗證，利用軌道板所在地區(qū)城市氣象資料可計算得到軌道板歷年的溫度分布數(shù)據(jù)，軌道板每日的溫度場可表示為[9]

( 1 )

1.2 無砟軌道板軸向均勻溫度作用

文獻[10]把混凝土梁板中非線性的溫度分布分解為軸向均勻溫度、線性溫差(溫度梯度)和非線性溫差三部分，其中非線性溫差部分僅對混凝土梁板產(chǎn)生自平衡應(yīng)力，不對結(jié)構(gòu)整體產(chǎn)生荷載效應(yīng)。文獻[5]規(guī)定對混凝土普通尺寸梁板結(jié)構(gòu)的溫度荷載作用主要考慮軸向均勻溫度變化與線性溫度梯度變化的作用效應(yīng)。由式( 1 )可以看出，軌道板每日承受的溫度荷載具有周期性，軌道板的溫度荷載日最大值和日最小值能反映其特征，因此，軌道承受的溫度荷載可主要考慮軸向均勻溫度日最大值、最小值和正、負溫度梯度日最大值、最小值。軌道板的軸向均勻溫度即為溫度沿其高度的平均值，對式( 1 )積分可得軌道板軸向均勻溫度日最值表達式分別為

(h=0.2)

( 2 )

(h=0.2)

( 3 )

從式( 2 )和式( 3 )可以看出，軌道板軸向均勻溫度荷載的大小與板厚有關(guān)，軌道板軸向均勻溫度日最大值、最小值與板厚的關(guān)系如圖1所示。從圖1可以看出，軸向均勻溫度日最大值隨板厚的增加而減小，最小值隨板厚的增加而增大，但對厚度在0.2～0.3 m之間的普通軌道板，其軸向均勻溫度的變化趨勢一致，數(shù)值最大差異2～3 ℃，為減少計算量本文以0.2 m厚軌道板為對象進行分析。

(a)7月

(b)10月圖1 北京地區(qū)2011年夏、秋季軌道板軸向均勻溫度日最大值與氣溫日最大值變化趨勢

2 無砟軌道板溫度荷載極值概率模型

影響軌道板溫度場及溫度荷載的環(huán)境因素隨時間變化，這使溫度荷載也具有時間隨機性。大量研究指出[11-13]：對具有隨機特性的工程荷載，采用隨機過程模型來描述較為切合實際。在描述軌道板溫度荷載時，假定任意時點荷載為Q(t)，將軌道板的幾種溫度荷載模型轉(zhuǎn)化為隨機過程{Q(t)，t∈[0，T]}，根據(jù)荷載隨時間變化的樣本函數(shù)或已有荷載分布的特征，確定設(shè)計基準期內(nèi)荷載最大值QT。目前主要有平穩(wěn)二項隨機過程模型和極值概率模型兩種方法，其中極值概率模型適用性最廣，參考其原理并給出溫度荷載極值概率模型的步驟如下[13，14]：

(1)無砟軌道結(jié)構(gòu)的設(shè)計基準期為T年(暫定T=60)。

(3)通過調(diào)查統(tǒng)計獲得時段τi內(nèi)荷載最大值Qi，max(隨機變量)的分布Fτi，max(x)，并假定各時段的Qi，max相互獨立且具有相同的分布函數(shù)Fτi，max(x)，根據(jù)最大值的極值分布原理可得設(shè)計基準期內(nèi)最大溫度荷載為：QT，max=max{Q1，max，Q2，max， …，QN，max}，相應(yīng)的設(shè)計基準期內(nèi)最大溫度荷載QT，max的分布為[15，16]

FT(QT，max)=P(QT，max≤x)

=P(Q1，max≤x，Q2，max≤x，…，QN，max≤x)

=P(Q1，max≤x)·P(Q2，max≤x)·…·

P(QN，max≤x)=[Fτi，max(x)]N

( 4 )

如需要的荷載為設(shè)計基準期內(nèi)的最小值(最低溫度荷載)，則先調(diào)查統(tǒng)計各時段內(nèi)的最小值Qi，min(隨機變量)的分布Fτi，min(x)，同樣假定各時段的Qi，min相互獨立且具有相同的分布函數(shù)Fτi，min(x)，根據(jù)最小值的極值分布原理可得設(shè)計基準期內(nèi)最小荷載為：QT，min=min{Q1，min，Q2，min，…，QN，min}，相應(yīng)的設(shè)計基準期內(nèi)最小荷載QT，min的分布為[15，16]

FT(QT，min)=P(QT，min≤x)=1-P(QT，min>x)

=1-P(Q1，min>x，Q2，min>x，…，QN，min>x)

=1-P(Q1，min>x)·P(Q2，min>x)·…·

P(QN，min>x)=1-[1-Fτi，min(x)]N

( 5 )

(4)由時段概率分布Fτi(x)及其統(tǒng)計參數(shù)根據(jù)上式給出相當于T年N個時段最大(小)荷載QT，max(min)的分布FT，max(min)(x)及統(tǒng)計參數(shù)。

3 無砟軌道板軸向均勻溫度作用統(tǒng)計分析與概率分布

利用歷史氣象資料(在中國氣象科學(xué)數(shù)據(jù)共享服務(wù)網(wǎng)可查詢不同臺站的氣象資料，其格式、內(nèi)容及完整性見具體數(shù)據(jù)庫)可以計算我國不同地區(qū)無砟軌道板的多年溫度荷載歷程，作為城市所在地軌道板溫度荷載分布規(guī)律的數(shù)據(jù)樣本。

3.1北京地區(qū)氣溫與軸向均勻溫度日最值頻數(shù)直方圖

將同一地區(qū)軌道板多年的軸向均勻溫度荷載日最值(軸向均勻溫度日最大值、軸向均勻溫度日最小值)數(shù)據(jù)進行處理，可以得到所在城市標準軌道板(厚度0.2 m)軸向均勻溫度日最值每年的頻數(shù)直方圖，為與當?shù)貧鉁剡M行比較，同時給出了所在城市氣溫日最值每年的頻數(shù)直方圖，如圖2所示。

(a)氣溫日最大值(b)氣溫日最小值(c)軌道板軸向均勻溫度日最大值(d)軌道板軸向均勻溫度日最小值

圖2 北京地區(qū)1958～2011年歷年氣溫日最值、軸向均勻溫度日最值統(tǒng)計直方圖

從圖2可以看出，北京地區(qū)軌道板多年的軸向均勻溫度日最值與當?shù)囟嗄甑臍鉁厝兆钪捣植家?guī)律相似，但軸向均勻溫度日最值和氣溫日最值分布規(guī)律都有些復(fù)雜，難以看出其分布函數(shù)，為此，對各地的軌道板歷年軸向均勻溫度日最值數(shù)據(jù)再次進行加工處理。以不同年份的月份為統(tǒng)計時段進行分析，得到軌道板軸向均勻溫度日最值不同月份的頻數(shù)直方圖如圖3、圖4所示。

(a)氣溫日最大值(b)氣溫日最小值(c)軌道板軸向均勻溫度日最大值(d)軌道板軸向均勻溫度日最小值

圖3 北京地區(qū)1962～2011年歷年1月氣溫日最值、軸向均勻溫度日最值統(tǒng)計直方圖

(a)氣溫日最大值

(b)氣溫日最小值圖4 北京地區(qū)1962～2011年歷年7月氣溫日最值統(tǒng)計直方圖

3.2北京地區(qū)氣溫與軸向均勻溫度日最值分布擬合及檢驗

圖3、圖4表明，月份的氣溫日最值、軌道板軸向均勻溫度日最值均有呈正態(tài)分布的趨勢，可以利用正態(tài)分布函數(shù)來擬合其分布規(guī)律。設(shè)連續(xù)型隨機變量x的概率密度函數(shù)為

( 6 )

式中：μ、σ(σ>0)是常數(shù)，稱x服從參數(shù)為μ、σ2的正態(tài)分布或高斯分布，記為X～N(μ，σ2)。

利用正態(tài)分布函數(shù)對不同月份的氣溫日最值、軌道板軸向均勻溫度日最值進行擬合，通過matlab軟件中參數(shù)估計及Jarque-Bera檢驗(K-S檢驗的一種)功能，取顯著性水平α=5%進行正態(tài)分布擬合優(yōu)度檢驗，與圖3、圖4北京地區(qū)歷年部分月份的溫度日最值頻數(shù)直方圖相對應(yīng)的正態(tài)分布概率圖如圖5、圖6所示，不同月份的溫度日最值正態(tài)分布參數(shù)估計值見表1。雖然少數(shù)月份溫度日最值的正態(tài)分布擬合優(yōu)度檢驗沒有通過，但其溫度日最值的統(tǒng)計直方圖仍呈明顯的單峰形態(tài)，整體趨近于正態(tài)分布，本文仍將這部分月份溫度日最值分布近似為正態(tài)分布。

(a)氣溫日最大值

(b)氣溫日最小值

(c)軌道板軸向均勻溫度日最大值

(d)軌道板軸向均勻溫度日最小值圖5 北京地區(qū)1962～2011年歷年1月氣溫日最值、軸向均勻溫度日最值正態(tài)分布概率圖

(a)氣溫日最大值

(b)氣溫日最小值圖6 北京地區(qū)1962～2011年歷年7月氣溫日最值正態(tài)分布概率圖

3.3哈爾濱地區(qū)氣溫與軸向均勻溫度日最值分布參數(shù)估計值

按前述方法對哈爾濱地區(qū)氣溫、軌道板軸向均勻溫度日最值每月的分布函數(shù)進行統(tǒng)計分析，得到正態(tài)分布的參數(shù)估計值見表2。分布檢驗結(jié)果表明大部分月份的溫度日最值都不拒絕正態(tài)分布，少部分月份沒有通過檢驗。這些沒有通過檢驗月份的溫度基本處于溫度數(shù)值范圍的中間位置，對溫度取值的端部分布影響有限，考慮其頻數(shù)直方圖趨于正態(tài)分布，為簡化計算仍采用正態(tài)分布擬合所在月份的溫度日最值分布。

表1 北京地區(qū)1962～2011年不同月份氣溫日最值、軌道板軸向均勻溫度日最值正態(tài)估計參數(shù)

*為正態(tài)分布擬合優(yōu)度Jarque-Bera檢驗未通過的月份。

表2 哈爾濱地區(qū)1962～2011年不同月份氣溫日最值、軌道板軸向均勻溫度日最值正態(tài)估計參數(shù)

*為正態(tài)分布擬合優(yōu)度Jarque-Bera檢驗未通過的月份。

3.4 氣溫與軸向均勻溫度日最值年分布函數(shù)

利用前述歷年不同月份氣溫與軸向均勻溫度日最值樣本統(tǒng)計分析獲得的時段溫度分布函數(shù)參數(shù)估計值，即可求得所在地區(qū)(i表示月份編號，i=1，2，…，12)氣溫與軸向均勻溫度不同月份的概率分布函數(shù)。

( 7 )

式中：Fτ -m，i(x)為一年中第i月的氣溫與軸向均勻溫度日最值的概率分布函數(shù)；μi、σi分別為第i月氣溫與軸向均勻溫度日最值分布函數(shù)參數(shù)估計值。

每年由12個月組成，月份分布之間相互獨立，根據(jù)互不相容事件的可加可列性特征，可知一年的分布概率由每個月的分布概率按一定比例(當月天數(shù)與當年天數(shù)比值)之和構(gòu)成，利用月份溫度日最值概率分布函數(shù)可得到相應(yīng)溫度日極值的年概率分布函數(shù)為

Fτ -y(x)=ω1Fτ -m，1(x)+ω2Fτ -m，2(x)+…+

ω12Fτ -m，12(x)

( 8 )

式中：Fτ -y(x)為溫度日最值的年概率分布函數(shù)；ωi為第i個月的月份分布概率在年分布概率中的比例(權(quán)重)，其數(shù)值為當月天數(shù)與當年天數(shù)比值，也可近似取ωi=1/12。

根據(jù)荷載概率模型式( 4 )和式( 5 )，可以得到設(shè)計基準期T內(nèi)荷載最大值QT，max、最小值QT，min(最低溫度荷載)的分布FT，max(x)、FT，min(x)為

( 9 )

式中：FT，max(x)、FT，min(x)分別為設(shè)計基準期T內(nèi)溫度荷載日最大值、最小值分布函數(shù)。

4 無砟軌道板軸向均勻溫度作用分位值(標準值)的確定

荷載標準值由設(shè)計基準期內(nèi)最大荷載(或最小荷載)概率分布統(tǒng)計特征值或某個分位值確定，文獻[7，17]均規(guī)定按此方法確定可變作用標準值，但都沒有對設(shè)計基準期長度和取值分位值做統(tǒng)一規(guī)定。

我國房屋建筑結(jié)構(gòu)的設(shè)計基準期為50年，而鐵路、公路橋涵結(jié)構(gòu)的設(shè)計基準期為100年，為此，本文分別對設(shè)計基準期為T=50年和T=100年，分位概率P=50%、90%、95%(相應(yīng)的設(shè)計基準期荷載最大值超越概率1-P分別為50%、10%、5%，荷載最小值超越概率為P)的各分位值進行計算，確定相應(yīng)溫度荷載標準值QT。另外，考慮到溫度荷載為自然作用，采用重現(xiàn)期TR(年)(重現(xiàn)期是指連續(xù)兩次超過作用值Qk)來表達可變作用的標準值QTR比較方便，取重現(xiàn)期為TR=50年、60年、100年，相應(yīng)的年保證率1-1/TR分別為98%、98.3%和99%(對應(yīng)的荷載最大值年超越概率1/TR為2%、1.7%和1%，荷載最小值年超越概率為(1-1/TR))。分別代入式( 9 )和式( 8 )，可得溫度荷載分位值(標準值)的表達式為

(10)

利用分布擬合得到的溫度分布函數(shù)參數(shù)估計值，根據(jù)式(10)計算可得到各地區(qū)常見設(shè)計基準期、常見概率(保證概率)的氣溫、軌道板軸向均勻溫度日最值荷載的分位值，見表3、表4；不同設(shè)計基準期氣溫、軌道板軸向均勻溫度日最值荷載分位值與保證率(不被超越的概率，也可稱為可靠性概率)的關(guān)系如圖7、圖8所示。

表3 北京地區(qū)不同概率的氣溫、軌道板軸向均勻溫度日最值荷載分位值 ℃

表4 哈爾濱地區(qū)不同概率的氣溫、軌道板軸向均勻溫度日最值荷載分位值 ℃

(a)氣溫最高值

(b)氣溫最低值

(c)軌道板軸向均勻溫度最大值

(d)軌道板軸向均勻溫度最小值圖7 北京地區(qū)不同設(shè)計基準期的氣溫、軌道板軸向均勻溫度日最值保證率概率分布曲線

(a)氣溫最高值

(b)氣溫最低值圖8 哈爾濱地區(qū)不同設(shè)計基準期的軌道板軸向均勻溫度日最值保證率概率分布曲線

圖7、圖8為根據(jù)各地軌道板軸向均勻溫度日最值分布規(guī)律，考慮不同設(shè)計基準期計算得到的軌道板軸向均勻溫度日最值荷載的保證概率曲線，據(jù)此可以查詢不同設(shè)計基準期、不同概率需求(保證概率)的軌道板軸向均勻溫度日最值荷載分位值，以滿足不同設(shè)計需求，應(yīng)用方便。同時，對其他城市采用相同的方法并結(jié)合計算結(jié)果，給出表5所示的部分地區(qū)氣溫、軌道板軸向均勻溫度日最值荷載標準值(分位概率90%～95%)的推薦值，此推薦值的保證概率在90%～95%之間，與各地區(qū)歷年的最高、最低氣溫(保證概率99.7%以上的統(tǒng)計值)相比普遍低3 ℃～5 ℃，既反映了概率水平的差異又證明了本文結(jié)果的正確性。

表5 主要地區(qū)氣溫、軌道板軸向均勻溫度日最值荷載標準值推薦值 ℃

5 結(jié)論

本文根據(jù)軌道板所受溫度荷載的隨機特性建立溫度荷載極值概率模型，對標準厚度軌道板軸向均勻溫度日極值、所在地區(qū)氣溫日極值的月份分布特征進行分析，計算不同設(shè)計基準期、不同概率需求的溫度荷載分位值(標準值)，得到如下結(jié)論：

(1)利用極值概率模型建立求解軌道板軸向均勻溫度日最值、所在地氣溫日最值的極大、極小值概率模型。

(2)利用城市氣象資料和軌道板溫度場方程得到標準厚度軌道板的軸向均勻溫度日最值，分析軌道板軸向均勻溫度和所在地氣溫日最值的月份分布函數(shù)和統(tǒng)計參數(shù)，結(jié)果表明北京和哈爾濱地區(qū)的軸向均勻溫度日最值、氣溫日最值都不拒絕正態(tài)概率密度函數(shù)；以此為基礎(chǔ)得到軌道板軸向均勻溫度和所在地氣溫日最值的年概率分布函數(shù)、設(shè)計基準期概率分布函數(shù)，得到按不同設(shè)計基準期和不同重現(xiàn)期定義的軌道板軸向均勻溫度日最值荷載最大值、最小值的計算公式。

(3)利用軌道板不同設(shè)計基準期和不同重現(xiàn)期的軸向均勻溫度日最值荷載最大值、最小值的計算公式，得到常見設(shè)計基準期、常見概率的軸向均勻溫度日最值荷載的分位值及荷載標準值的推薦值，并給出不同設(shè)計基準期軸向均勻溫度日最值與保證概率的關(guān)系曲線，用于不同概率需求。

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