“數(shù)”山有路巧引導(dǎo) 學(xué)海泛“舟”達(dá)彼岸

何建東

摘 要：解決數(shù)學(xué)問題猶如在數(shù)學(xué)之山尋路，亦如在數(shù)學(xué)之海泛舟，一方面需要學(xué)生本身積累的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能與基本方法，另一方面也需要教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)、點(diǎn)撥，才能幫助學(xué)生正確找到登臨“數(shù)”山的路徑，才能幫助學(xué)生順利抵達(dá)“學(xué)”海的彼岸.

關(guān)鍵詞：解題教學(xué)；引導(dǎo)策略；知識(shí)系統(tǒng)

問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)教學(xué)圍繞概念學(xué)習(xí)與問題解決而展開. 解決數(shù)學(xué)問題猶如在數(shù)學(xué)之山尋路，亦如在數(shù)學(xué)之海泛舟，一方面需要學(xué)生本身積累的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能與基本方法，另一方面也需要教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)、點(diǎn)撥，才能幫助學(xué)生正確找到登臨“數(shù)”山的路徑，才能幫助學(xué)生順利抵達(dá)“學(xué)”海的彼岸.

有時(shí)，在學(xué)生形成了自己的解題思路但方向不清晰或遇到“水中礁石”阻礙時(shí)，需要教師引導(dǎo)學(xué)生“順?biāo)兄邸?，使學(xué)生順勢(shì)而為，找出解答方案中問題所在，巧妙地繞過“礁石”，順流而下抵達(dá)目的地；有時(shí)，在學(xué)生已輕松解答了數(shù)學(xué)問題，但只是孤立地就題解題，而未能透徹領(lǐng)會(huì)問題蘊(yùn)含的深層意圖時(shí)，需要教師鼓勵(lì)學(xué)生“逆水行舟”去一探“源頭”，找到最本源的核心知識(shí)，以獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心素養(yǎng)；有時(shí)，在學(xué)生也能多角度地思考并解答問題，但各種解法以比較零散方式存在，未能形成知識(shí)系統(tǒng)時(shí)，需要教師指導(dǎo)學(xué)生“借水行舟”，借助適當(dāng)?shù)姆椒?、途徑，探尋可能的不同解答方案及其之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，及時(shí)建構(gòu)完整的知識(shí)系統(tǒng)，使學(xué)生牢固掌握數(shù)學(xué)知識(shí)方法.

一、“順?biāo)兄邸?找出問題的關(guān)鍵點(diǎn)

學(xué)生“行舟”計(jì)劃1：對(duì)于不等式的證明，常用的方法有作差比較法、分析綜合法等，但這個(gè)不等式形式不簡(jiǎn)單，而且含有根號(hào)，被開方式又有平方，如果通過平方去根號(hào)，運(yùn)算可能非常麻煩，不易前行.

教師“順?biāo)碧轿?：不等式證明的方法很多，許多不等式的證明可以用作差法解決，但有時(shí)需要通過觀察、分析，采取適當(dāng)?shù)奶幚? 觀察、比較本題左右兩邊代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，找出其中的異同，可以注意到右式比左式少了p，q，而左式中p出現(xiàn)在a-p，c-p處，右式中a-c可以看成由（a-p）-（c-p）得到.類似地，b-d可視作（b-q）-（d-q），這樣按學(xué)生計(jì)劃1采用分析法對(duì)原不等式兩邊平方后，能消除許多相同的項(xiàng).

教師“順?biāo)碧轿?：“知煩而變”本身就是一種值得肯定的思考處理辦法，能夠去搜尋經(jīng)驗(yàn)中曾經(jīng)接觸過的相關(guān)信息更應(yīng)該給予肯定，其實(shí)數(shù)學(xué)問題的解決就是在這種分析、探索、嘗試中展開的. 學(xué)生的確會(huì)對(duì)眾多字母感到莫名的畏懼，但需要指出的是從初中“用字母表示數(shù)”之后，字母與數(shù)從某種角度講是一致的，那就是其本質(zhì)都是數(shù)，那么可以順著這種類比的經(jīng)驗(yàn)再往前“行”，或許這路就通了.

C（p，q），求證：AC+BC≥AB. ”這是顯然的，因?yàn)槿鬉，B，C不共線，則利用“三角形三邊關(guān)系”可知，三角形任意兩邊之和大于第三邊，即AC+BC>AB；若A，B，C共線，則當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，有AC+BC=AB，當(dāng)點(diǎn)在線段AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，顯然有AC+BC>AB.

二、“逆水行舟” 找尋知識(shí)的出發(fā)點(diǎn)

教師“逆水”探析：如果就題論題，學(xué)生的思考與解答的確顯得比較簡(jiǎn)捷，而且一般的數(shù)學(xué)教師也會(huì)采用這種解法. 但如果思考一下本題在教材中的設(shè)置位置——B組3個(gè)小題中的最后一題，編寫者是否另有目的？問題本身是否可以挖掘更深的內(nèi)涵？如果將已知的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)改成一般的字母或數(shù)，將動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離比改成一般的正數(shù)，是否可以直接說出動(dòng)點(diǎn)軌跡的形狀，其中有沒有某種必然規(guī)律？

所以，有時(shí)問題不能止于解答，為了發(fā)揮習(xí)題最大的功能，需要對(duì)其進(jìn)行深入的思考與探究.

現(xiàn)在，這個(gè)問題很容易地得到答案：x2+y2+2x-3=0，根據(jù)最近學(xué)習(xí)的知識(shí)，不難知道這是個(gè)圓，通過配方，方程為：（x+1）2+y2=4，其圓心為（-1，0），半徑為2.

既然如此，不妨“逆水”而行，來思考為什么是一個(gè)圓，這個(gè)圓的圓心、半徑與題設(shè)條件中兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（3，0），以及距離比■存在怎樣的聯(lián)系，本題條件究竟跟其他確定圓的條件有何種關(guān)聯(lián).

通過這種“執(zhí)果索因”式的探析，教師可以引導(dǎo)學(xué)生達(dá)成關(guān)聯(lián)度最高的一點(diǎn)共識(shí)：點(diǎn)O，A與圓心（-1，0）（記為D）共線，若記B，C為該直線上與點(diǎn)D距離為2的兩點(diǎn)，那么得到的圓上動(dòng)點(diǎn)M應(yīng)該具備條件：MB⊥MC（M不與B，C重合時(shí)）. 那么，這一共識(shí)能夠給予證明嗎？

sin∠OMC=sin∠AMC，又∠OMC+∠AMC≤180°，從而∠OMC=∠AMC. 當(dāng)然，也可通過添輔助線，用平面幾何知識(shí)解釋，限于篇幅，不再贅述. 同理在線段AO的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)B，使OB∶BA=1∶2，可得MB平分∠OMA的外角∠OME. 進(jìn)而有MB⊥MC，點(diǎn)M的軌跡是以線段CB為直徑的圓，當(dāng)點(diǎn)M在直線OA上時(shí)，正好就是點(diǎn)C或B，而根據(jù)點(diǎn)C，B的取法，可知C（1，0），B（-3，0），所以，點(diǎn)M的軌跡方程為（x+1）2+y2=4. 從而，可以得到一般結(jié)論：與兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離的比為λ（λ>0）的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓，若在線段AB及其反向延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，使|AE|∶|EB|=|AF|∶|FB|=λ，則線段EF即為圓的直徑.

三、“借水行舟” 找到方法的歸集點(diǎn)

問題3 已知圓的一條直徑的端點(diǎn)分別是A（x1，y1），B（x2，y2），求證：此圓的方程是（x-x1）· （x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0.

學(xué)生“行舟”計(jì)劃2：圓可看作是與定點(diǎn)（圓心）距離等于定長(zhǎng)（半徑）的點(diǎn)的軌跡，根據(jù)本身題設(shè)，不難表示出圓心坐標(biāo)和半徑，那么圓的方程可直接列出.

教師“借水”綜析：以上三種解答計(jì)劃是本題最主要的解題方法，其中第一種解法采用的學(xué)生占絕大多數(shù)，但能注意到這一解答缺少考慮“點(diǎn)P與點(diǎn)A或B重合，以及直線PA或PB斜率不存在，需要單獨(dú)給答，并補(bǔ)充到結(jié)論中”的學(xué)生不多，所以這種解法容易產(chǎn)生疏漏；第二種解法被一部分學(xué)生采用，這種解法容易想到，但運(yùn)算量比較大，需要多有點(diǎn)耐心與仔細(xì)；第三種解法，用的學(xué)生較少，但一旦想到用向量方法，最大的優(yōu)點(diǎn)在于包含了圓上“任意”一點(diǎn)的全部情況，比較容易做完整. 那么，這些不同的解答方法之間是否存在相互關(guān)系，能不能使之與整個(gè)圓的方程的學(xué)習(xí)形成一個(gè)完整的知識(shí)系統(tǒng)，幫助學(xué)生建立牢固的知識(shí)體系呢？教師可以引導(dǎo)學(xué)生在各自解法基礎(chǔ)上，思考其他解法，并進(jìn)行知識(shí)結(jié)構(gòu)的整理與歸納綜合.

我們相信，只要教師能從開始時(shí)與學(xué)生在“數(shù)”山共行，在“學(xué)”海同舟，慢慢地變成與學(xué)生在心靈上風(fēng)雨同舟，和衷共濟(jì)，通過學(xué)法指導(dǎo)讓學(xué)生在學(xué)海自由泛舟，必然能幫助學(xué)生順利劃向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之“海”成功的彼岸.