數(shù)學(xué)問題中的構(gòu)造法淺談

陳芙蓉

摘 要：本文主要討論了解數(shù)學(xué)問題時幾種典型的構(gòu)造方法，并總結(jié)了在使用構(gòu)造法解題時的某些注意事項，以及構(gòu)造法在解題時最常見的幾種應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造；轉(zhuǎn)化；變換

中圖分類號：G622 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）08-018-01

解決數(shù)學(xué)問題時，常規(guī)的思考方法是由已知到未知的定向思考。但有些問題按照這樣的思維方式來尋求解決問題的途徑卻比較困難，甚至無從著手。這種情況下，經(jīng)常要求我們改變思維方向，換一個角度去思考，找到一條繞過障礙的新途徑。構(gòu)造法就是這樣的手段之一。

構(gòu)造法的含義很廣：一般認(rèn)為，在解題過程中，為了實現(xiàn)條件向結(jié)論的轉(zhuǎn)化，利用問題的特殊性設(shè)計一個新的關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)去實現(xiàn)原問題的解決，這種思維活動的特點在于“構(gòu)造”，所以稱為構(gòu)造思想。應(yīng)用構(gòu)造思想去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)理論和解決數(shù)學(xué)問題的具體方法稱為構(gòu)造法。構(gòu)造法作為一種數(shù)學(xué)方法，它不同于一般的邏輯方法，需要一步一步地導(dǎo)求必要條件，直至推斷出結(jié)論。它屬于非常規(guī)思維，其本質(zhì)特征是“構(gòu)造”。用構(gòu)造法解決問題，無一定之規(guī)，表現(xiàn)出思維的試探性，不規(guī)則性和創(chuàng)造性。構(gòu)造解決問題的活動是一種構(gòu)造性的思維活動。其關(guān)鍵是借助對問題特征的敏銳觀察，展開豐富的聯(lián)想，構(gòu)造出滿足問題條件的數(shù)學(xué)對象，使問題巧妙地獲得解決。

一、構(gòu)造函數(shù)法：

這種方法就是構(gòu)造出與原命題相符合且關(guān)系密切的函數(shù)，從函數(shù)的角度觀察、分析、解釋命題，溝通命題中條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，從而使命題（或問題）得以解決。

例1、已知 ，求證： 。

思路：因為 與 的和為 ，其積為1。根據(jù)這兩數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，可構(gòu)造函數(shù)： ， 與 是 =0的二根。

欲證原結(jié)論，只須證 即可。

二、構(gòu)造恒等式：

在解某些數(shù)學(xué)問題時，需要構(gòu)造一個恒等式作鋪墊，架起通向解題終點的“橋梁”。使問題迅速得以解決。

例2、已知 ，求分式 的值。

思路：待求值式實際上已暗示我們，應(yīng)設(shè)法構(gòu)造一個恒等式，使之能利用已有的結(jié)論：

三、構(gòu)造數(shù)列：

在處理與自然數(shù)n有關(guān)的命題時，可根據(jù)題目提供的特征，通過替換，設(shè)想并構(gòu)造出一個與欲解（證）問題有關(guān)的數(shù)列，并對該數(shù)列的特征進(jìn)行分析，常常可以由此探尋出解決問題的途徑。

例3、求證：

思路：這種類型的問題通常用數(shù)學(xué)歸納法來證，下面試用構(gòu)造數(shù)列的方法來解。

由以上討論的幾種方法及例題可以看出，應(yīng)用構(gòu)造法時應(yīng)注意以下幾點：

1、構(gòu)造法是一種通過構(gòu)造新的數(shù)學(xué)對象使原問題得以轉(zhuǎn)化，從而解決問題的一種方法，所以，構(gòu)造物的結(jié)構(gòu)形式應(yīng)盡可能的簡單，以便于問題的解決，通過構(gòu)造物這一媒介，應(yīng)盡可能地使復(fù)雜問題簡單化。

2、構(gòu)造方法解決問題的過程比較直觀，構(gòu)造物必須是熟悉的，通過熟悉的構(gòu)造物將難以入手的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。

3、構(gòu)造法解決問題具有很大的靈活性，針對某一問題如何進(jìn)行構(gòu)造，必須有很扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)經(jīng)驗。

參考文獻(xiàn)：

[1] 陳 晨.構(gòu)造法證不等式的思考途徑 [J].數(shù)學(xué)教學(xué)與研究2001.3

[2] 石 珂.構(gòu)造圖形解競賽題[J]數(shù)學(xué)通訊.2001.9

[3] 戴冉平.數(shù)學(xué)方法與解題研究[M]高等教育出版社.1996

[4] 鮑 曼.中學(xué)數(shù)學(xué)方法論[M]哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社.2002