平面內(nèi)凸四邊形的一組重要性質(zhì)

?

平面內(nèi)凸四邊形的一組重要性質(zhì)

內(nèi)蒙古師范大學(xué)附屬中學(xué)(010020)王洪軍

《數(shù)學(xué)通訊》2014年第5期刊登了程漢波老師的文章《四邊形中位線的性質(zhì)及其應(yīng)用》，筆者閱讀后深受啟發(fā)，經(jīng)過仔細(xì)推敲，得出平面內(nèi)凸四邊形的一組重要性質(zhì)，現(xiàn)整理成文，與讀者分享.

同理，在ΔACD中，我們也能得到

當(dāng)且僅當(dāng)[(a+b)2-x2]·[(c+d)2-x2]=[x2-(a-b)2]·[x2-(c-d)2]時(shí)，等號(hào)成立.借助余弦定理可將上式化為(1+cosB)(1+cosD)=(1-cosB)(1-cosD)，整理可得cosB+cosD=0，則B+D=π，因此，當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD內(nèi)接于圓時(shí)，面積取得最大值.

在ΔABC和ΔACD中，分別用余弦定理可得

x2=a2+b2-2abcosB①，x2=c2+d2-2cdcosD②,①×cd+②×ab，并整理，可得

參考文獻(xiàn)

[1]程漢波.四邊形中位線的性質(zhì)及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通訊(下半月)，2014(5).