寶值(倍值)區(qū)間問題探究

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寶值(倍值)區(qū)間問題探究

◇山東王曉云蘇坤

近年高考中的函數(shù)題常出現(xiàn)以新定義為命題方向的信息型題目,給人以耳目一新的感覺,其中保值(倍值)區(qū)間問題具有一定的代表性.

保值(倍值)區(qū)間的定義:對于區(qū)間[a,b],若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,b]時(shí),其值域也為[a,b],則稱該區(qū)間為f(x)的保值區(qū)間;若x∈[a,b]時(shí),其值域?yàn)閇ka,kb](k∈N*),則稱y=f(x)為“k倍值函數(shù)”,區(qū)間[a,b]為函數(shù)f(x)的“k倍值區(qū)間”．在具體的問題中,保值區(qū)間又有不同的表述形式,那么在解決具體的題目時(shí),就要按照具體情況來分析．

1函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增

2函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減

①

②

由式①、②得

③

④

⑤

3函數(shù)在定義域上不具有單調(diào)性,在部分區(qū)間上具有單調(diào)性

圖1

函數(shù)在x=0處無意義,故a、b同號.又函數(shù)值域?yàn)閇0,+∞),[a,b]?[0,+∞),故a>0,所以0?[a,b], 1?[a,b],故有0

綜上,不存在這樣的保值區(qū)間．

4倍值區(qū)間問題

函數(shù)保值(倍值)區(qū)間問題的實(shí)質(zhì)是函數(shù)“不動點(diǎn)”“穩(wěn)定點(diǎn)”問題,因此首先考慮函數(shù)單調(diào)性,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為對方程根的討論,或者利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題來解決,在解決具體問題中要靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)基本思想轉(zhuǎn)化求解．

(作者單位：山東省壽光市壽光中學(xué))