一類p-Laplacian方程非平凡解的存在性

王善榮，羅景文，商彥英，唐春雷

(1.西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400715；2.成都理工大學(xué) 管理科學(xué)學(xué)院，四川 成都 610059)

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一類p-Laplacian方程非平凡解的存在性

王善榮1，羅景文2，商彥英1，唐春雷1

(1.西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400715；2.成都理工大學(xué) 管理科學(xué)學(xué)院，四川 成都 610059)

摘要：研究了一類p-Laplacian方程非平凡解的存在性，所用的工具是Nehari流形。得到了4個引理：Nehari流形非空；在Nehari流形上，方程對應(yīng)泛函的下確界大于0；泛函在Nehari流形上的下確界能達(dá)到；泛函在下確界達(dá)到的地方的導(dǎo)算子為0。研究結(jié)果表明：該類p-Laplacian方程至少存在一個非平凡解。

關(guān)鍵詞：p-Laplacian方程；Nehari流形；非平凡解

0引言

基于“方程對應(yīng)泛函的臨界點(diǎn)為該方程的解”，在尋找方程解時，只需找到方程對應(yīng)泛函的臨界點(diǎn)即可。在p-Laplacian方程中，當(dāng)非線性項的次數(shù)超過了p次，這時方程對應(yīng)的泛函無下界。這給尋找泛函的臨界點(diǎn)增加了很大的難度。為了克服這一困難，本文引入Nehari流形。在Nehari流形上，方程對應(yīng)的泛函是有下界的。

本文所用到的方程如下：

-△pu+V(x)up-2u=ur-2u+uq-2u, x∈Ω;u=0,x∈?Ω,{

(1)

方程(1)所對應(yīng)的泛函為：

泛函I(u)在空間X上可微，且有：

Nehari流形定義如下：

1主要結(jié)論

定理1方程(1)在有界開區(qū)域Ω上存在非平凡解。

引理1Nehari流形M非空，即：對任意非零函數(shù)u∈X，存在實數(shù)t>0，使得tu∈M。

，所以。　(2)

(3)

引理3存在不恒為0的非負(fù)函數(shù)u∈M，使得I(u)=m。

證明引理3分4步來證明：

(Ⅰ)u為非負(fù)函數(shù)

(i)在空間X上，uk弱收斂于u。

(ii)在Lr(Ω)和Lq(Ω)上，分別都有uk→u。

(iii)uk(x)→u(x),a.e.于Ω。

由于(iii)，所以u≥0。

(Ⅱ)u不恒等于0

(Ⅲ)u∈M

因為在空間X上，uk弱收斂于u，所以：

0

u)=1p-1r?è???÷∫Ωt*urdx+1p-1q?è???÷∫Ωt*uqdx=

(Ⅳ)I(u)=m

引理4若u∈M，使得I(u)=m，則I′(u)=0。

證明?v∈X,?δ>0,?s∈(-δ,δ),使得u+sv≠0，?t(s)>0,使得t(s)(u+sv)∈M，顯然t(0)=1。定義映射：s→t(s)(u+sv)，τ:(-δ,δ)→R。

τ(s)=I(t(s)(u+sv))，顯然當(dāng)s=0時，τ(s)取到極小值。所以有：

0=τ′(0)=I′(t(0)u)(t′(0)u+t(0)v)=t′(0)I′(u)u+I′(u)v。

在流形M上，I′(u)u=0，所以0=τ′(0)=I′(u)v。

即：?v∈X,都有I′(u)v=0。由于v的任意性，所以I′(u)=0。

定理1的證明由引理1～引理4得到方程(1)所對應(yīng)的泛函I(u)在Nehari流形M上有非平凡的臨界點(diǎn)，再結(jié)合引理4的證明?v∈X,都有I′(u)v=0，即：此臨界點(diǎn)為泛函I(u)在空間X上的臨界點(diǎn)，所以這個臨界點(diǎn)為方程(1)的非平凡解。

2 結(jié)束語

本文應(yīng)用Nehari流形研究了方程(1)在1

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中圖分類號：O177.91

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

收稿日期：2015-11-24

作者簡介：王善榮(1990-),男,四川渠縣人,碩士生;商彥英(1978-),男,山東莘縣人,副教授,博士,碩士生導(dǎo)師,主要從事非線性泛函分析和非線性微分方程等方面的研究.

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(11501469)

文章編號：1672-6871(2016)03-0087-04

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.03.019