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    一類四次Kolmogorov系統(tǒng)的極限環(huán)分支

    2016-05-05 00:59:27吳岱芩黃文韜吳燕蘭
    關(guān)鍵詞:奇點平衡點原點

    吳岱芩,黃文韜,2 ,吳燕蘭

    (1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林 541004;2.賀州學(xué)院 數(shù)學(xué)系,廣西 賀州 542800)

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    一類四次Kolmogorov系統(tǒng)的極限環(huán)分支

    吳岱芩1,黃文韜1,2,吳燕蘭1

    (1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林 541004;2.賀州學(xué)院 數(shù)學(xué)系,廣西 賀州 542800)

    摘要:研究了一類四次Kolmogorov系統(tǒng)在正平衡點(1,1)處的極限環(huán)分支問題。運用計算機代數(shù)系統(tǒng)Mathematica計算其伴隨復(fù)系統(tǒng)的前5個奇點量,并給出正平衡點(1,1)成為五階細(xì)焦點的條件,再利用雅克比行列式方法證明正平衡點(1,1)處可分支5個小振幅極限環(huán)。

    關(guān)鍵詞:Kolmogorov系統(tǒng);正平衡點;極限環(huán);奇點量

    0引言

    Kolmogorov系統(tǒng)被廣泛運用于生態(tài)學(xué),用來描述兩種群之間相互作用的關(guān)系。對該系統(tǒng)動力學(xué)行為特別是極限環(huán)問題的研究越來越引起數(shù)學(xué)和生態(tài)學(xué)工作者的興趣。文獻(xiàn)[1]研究了一類三次Kolmogorov系統(tǒng),得到三次Kolmogorov系統(tǒng)可分支出4個極限環(huán)的結(jié)論。文獻(xiàn)[2]發(fā)現(xiàn)了一類三次Kolmogorov系統(tǒng)從1個正平衡點可分支出3個極限環(huán)。文獻(xiàn)[3]也研究了一類三次Kolmogorov系統(tǒng),得到6個極限環(huán)。文獻(xiàn)[4]研究了三次Kolmogorov系統(tǒng),得到5個極限環(huán)。文獻(xiàn)[5]研究了一類具有2個正平衡點的三次Kolmogorov系統(tǒng),得到可分支出6個極限環(huán)的結(jié)論。文獻(xiàn)[6]把研究Kolmogorov系統(tǒng)極限環(huán)問題推廣至三維系統(tǒng)。而四次Kolmogorov系統(tǒng)的小振幅極限環(huán)分支問題,因其偶數(shù)次系統(tǒng)在計算上的困難性,僅有文獻(xiàn)[7]討論了一類四次Kolmogorov系統(tǒng)3個正平衡點極限環(huán)問題。本文在文獻(xiàn)[1-10]的基礎(chǔ)上,研究如下四次Kolmogorov系統(tǒng):

    (1)

    1基礎(chǔ)知識

    考慮一類多項式實系統(tǒng):

    (2)

    其中:Xk(x,y),Yk(x,y)是關(guān)于x,y的k次齊次多項式。當(dāng)δ=0時,系統(tǒng)(2)通過變換

    (3)

    化為復(fù)系統(tǒng):

    (4)

    其中:

    (5)

    z,w,T,aα,β,bα,β均為復(fù)變量。

    引理1對系統(tǒng)(4),可逐項確定形式級數(shù):

    (6)

    使得

    (7)

    其中:當(dāng)α=β=0時,即cαβ=c00,取c00=1;當(dāng)α<0,或β<0,或α=β>0時,置cαβ=0,其他情形cαβ由遞推公式

    (8)

    確定。對任意正整數(shù)m,μm由遞推公式

    (9)

    確定。其中:μm為系統(tǒng)(4)的第m個奇點量[12]。

    又由系統(tǒng)(2)的首個非零焦點量v2m+1(2π)與其伴隨復(fù)系統(tǒng)的首個非零奇點量μm滿足[13]:

    v2m+1(2π)=iπμm,

    (10)

    因此,系統(tǒng)(2)焦點量的計算可以化為系統(tǒng)(4)奇點量的計算。

    2伴隨復(fù)系統(tǒng)的奇點量

    系統(tǒng)(1)有正平衡點(1,1),要討論該點處極限環(huán)分支問題,作變換u=x-1,v=y-1,系統(tǒng)(1)化為如下系統(tǒng):

    (11)

    如此,可研究系統(tǒng)(11)的焦點量與極限環(huán)分支情況。如果直接計算系統(tǒng)(11)的焦點量,比較復(fù)雜,可將實系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的伴隨復(fù)系統(tǒng),用與焦點量等價的奇點量進(jìn)行計算。作變換(3),系統(tǒng)(11)化為以下系統(tǒng):

    (12)

    系統(tǒng)(12)稱為系統(tǒng)(11)的伴隨系統(tǒng),其中:

    a20=18((1-i)-2iA15+2iA16-2B15+2B16); a11=14((-1-i)-2iA15-2iA16+2B15+2B16);

    運用式(8)和式(9),用計算機代數(shù)系統(tǒng)Mathematica進(jìn)行計算和化簡可得下面的定理。

    定理1復(fù)系統(tǒng)(12)原點的前5個奇點量如下:

    μ1=i4(-3A15-3B15-2A16B15+2A15B16); μ2=i24(A16+B16)F2

    20B162r +20 A16B162r-66r2-46A16r2+4A162r2+46B16r2-32A16B16r2-

    24A162B16r2+4B162r2+24A16B162r2-684r3-636A16r3-144A162r3+636B16r3+

    496A16B16r3+80A162B16r3-144B162r3-80A16B162r3-648r4-648A16r4-

    144A162r4+648B16r4+576A16B16r4+96A162B16r4-144B162r4-96A16B162r4;

    上述表達(dá)式在計算μk時,已置μ1=μ2=…=μk-1=0,k=2,3,4,5。其中,F3、F4和F5也為A16、B16和r的表達(dá)式,其式較復(fù)雜,故在此省略。

    由定理1可得下面的定理。

    結(jié)果顯示,患者的門診自付費用受到就醫(yī)醫(yī)療機構(gòu)層次的顯著正向影響(P<0.05);對患者的住院自付費用產(chǎn)生顯著正向影響的是:醫(yī)療機構(gòu)的層次和住院天數(shù)。值得注意的是,中低收入水平的患者其年次均住院自付費用低于低收入組,分析住院服務(wù)利用時發(fā)現(xiàn),低收入組對住院服務(wù)的實際利用大于中低收入組。經(jīng)統(tǒng)計,低收入組患者因住院而借錢的比率為6%,中低收入組的比率為2%,中高收入組和高收入組分別為1.6%和0.6%,由此可見,低收入組患者通過負(fù)債(主要是向親戚借錢)的籌資手段實現(xiàn)了更多的住院醫(yī)療服務(wù)需要。

    定理2系統(tǒng)(12)原點的前五階奇點量均為0,當(dāng)且僅當(dāng)A15=-B15,A16=-B16成立。

    證明由定理1不難得到充分性成立,下面證明必要性。

    綜上所述:μ1=μ2=μ3=μ4=μ5=0?A16=-B16,A15=-B15,必要性得證。

    3系統(tǒng)的極限環(huán)分支

    定理3當(dāng)μ1=μ2=μ3=μ4=0,μ5≠0時,系統(tǒng)(12)的原點為五階細(xì)奇點(對應(yīng)的系統(tǒng)(11)的正平衡點(1,1)為五階細(xì)焦點)的充分必要條件為:

    (13)

    式(13)是系統(tǒng)(1)正平衡點成為五階細(xì)焦點的條件,但這樣形式的條件不便在極限環(huán)的分析中應(yīng)用。下面,給出式(13)的一種具體形式。因為方程組F2=F3=F4=0的精確符號解過于復(fù)雜,故本文求其近似解。用Mathematica算符NSolve[{F2==0,F3==0,F4==0},{A16,B16,r},50]來求F2=F3=F4=0近似解,得到滿足條件的多組解,取其中一組解為:

    A16=-1.59982624221084548812576116452269676067;B16=-0.22655347077919503934714017334958132353;r= 0.95947681422643813797891234970925361665。ì?í????

    進(jìn)而可得A15,A16,B15,B16的一組近似解為:

    (14)

    式(14)即為條件(13)的一種具體表示形式。

    考慮到焦點量和奇點量的關(guān)系式(10)及文獻(xiàn)[14]中的定理4.7,可得下面的定理。

    定理4 對系統(tǒng)(2),當(dāng)δ=0時,伴隨復(fù)系統(tǒng)原點的奇點量μi(i=1,2,…)有k個線性無關(guān)的參數(shù)θ=(θ1,θ2,…,θk)。當(dāng)θ=θ0時,系統(tǒng)(3)的原點為n階細(xì)奇點,若雅克比行列式滿足

    (15)

    則系統(tǒng)(2)原點的充分小領(lǐng)域內(nèi)存在n個小振幅極限環(huán)。

    定理5當(dāng)系數(shù)滿足式(14)時,系統(tǒng)(11)正平衡點(1,1)為五階細(xì)焦點,通過擾動,系統(tǒng)在正平衡點(1,1)處可分支出5個小振幅極限環(huán)。

    證明由定理4,欲證明系統(tǒng)(1)在正平衡點鄰域可分支出5個極限環(huán),只需證明在式(14)成立條件下,下列雅克比行列式

    成立即可,由定理1,經(jīng)計算得到J≈-5.508 1×102≠0。

    故通過擾動,系統(tǒng)(2)在正平衡點(1,1)處可分支出5個小振幅極限環(huán)。

    參考文獻(xiàn):

    [1]LLOYD N G,PEARSON J M,SAEZ E.Limit cycles of a cubic Kolmogorov system[J].Applied mathematics letters,1996,9(1):15-18.

    [2]陸征一,何碧.三次Kolmogorov捕食系統(tǒng)的多個穩(wěn)定極限環(huán)[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報,2001,18(4):115-117.

    [3]LLOYD N G,PEARSON J M,SAEZ E,et al.A cubic Kolmogorov system with six limit cycles[J].Computers and mathematics with applications,2002,44(3/4):445-455.

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    [7]DU C X,LIU Y R,ZHANG Q.Limit cycles in a class of quartic Kolmogorov model with three positive equilibrium points[J].International journal of bifurcation and chaos,2015,25(6):1550080.

    [8]聶文靜,王輝,胡志興,等.一類具有時滯和隨機項的捕食-被捕食模型[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2015,36(6):75-81.

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    [10]陳瑩,彭真,李靜.兩類五次平面多項式系統(tǒng)的中心判定[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2012,33(3):70-74.

    [11]劉一戎,李繼彬.論復(fù)自治微分系統(tǒng)的奇點量[J].中國科學(xué)(A輯),1989,32(3):245-255.

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    [13]黃文韜.微分自治系統(tǒng)的幾類極限環(huán)分支與等時中心問題[D].長沙:中南大學(xué),2004.

    [14]LIU Y R,LI J B.New study on the center problem and bifurcations of limit cycles for the Lyapunov system[J].International journal of bifurcation and chaos,2009,19(9):3791-3801.

    中圖分類號:O175.12

    文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

    收稿日期:2015-12-25

    作者簡介:吳岱芩(1992-),女,四川達(dá)州人,碩士生;黃文韜(1966-),男,廣西永福人,教授,博士,博士生導(dǎo)師,主要從事微分方程定性理論方面的研究.

    基金項目:國家自然科學(xué)基金項目(11261013);廣西高校重點實驗室基金項目

    文章編號:1672-6871(2016)03-0082-05

    DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.03.018

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