鏡像對稱性多邊形構(gòu)型等邊凸多面體解析計算方法

王曉東，周豐峻，張　偉

(1.河南科技大學 土木工程學院，河南 洛陽 471023；2.總參工程兵科研三所，河南 洛陽 471023)

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鏡像對稱性多邊形構(gòu)型等邊凸多面體解析計算方法

王曉東1，周豐峻2，張偉1

(1.河南科技大學 土木工程學院，河南 洛陽 471023；2.總參工程兵科研三所，河南 洛陽 471023)

摘要：基于組合多面體理論，利用計算機圖形學相關(guān)矩陣變換，建立了鏡像對稱性多邊形構(gòu)型等邊凸多面體解析計算方法，并得到了等邊凸多面體由構(gòu)型和徑長唯一確定的結(jié)論，該方法可直接運用到大跨度單層球形網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)設(shè)計中。等邊凸面體由平面多邊形板塊組成，便于設(shè)計和加工；主體桿件只有一種，便于預制及快速構(gòu)建。

關(guān)鍵詞：計算機圖形學；鏡像；等邊凸多面體；單層球形網(wǎng)殼

0引言

沿座邊和沿角展開多面體由正五邊形和六邊形網(wǎng)格組成[1]，且具有鏡像對稱性[2](與正20面體對稱性相同，所屬對稱群為Ih)，本文將其統(tǒng)稱為鏡像對稱性多邊形構(gòu)型多面體。

具有正20面體對稱性的球形網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)因具有高度對稱性、造型優(yōu)美、網(wǎng)格均勻以及受力合理等優(yōu)點而倍受青睞[3-5]。其中，三角形構(gòu)型網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)主要是美國工程師R.Fuller于1954年提出的短程線網(wǎng)殼[5]，其節(jié)點由5根或6根桿件匯交而成。而具有正20面體對稱性的多邊形構(gòu)型網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)，節(jié)點由3根桿件[1]匯交而成，具有自身質(zhì)量輕、用鋼量少等優(yōu)勢[6]，目前其計算方法主要基于“突角和相等”假定[6-8]。本文在此基礎(chǔ)上建立了等邊凸多面體解析計算方法，使得結(jié)構(gòu)主體桿件只有一種，便于工廠預制及結(jié)構(gòu)快速構(gòu)建[8]，從而縮短工期。

該方法基于組合多面體理論，以獨立角點坐標為未知變量，利用多面體對稱性及計算機圖形學相關(guān)矩陣變換[9]求解單元內(nèi)相關(guān)角點的坐標。然后，建立方程組使獨立六邊形各角點共平面，使獨立桿件兩兩相等，使正五邊形角點到球心距離為定值，并據(jù)此編寫相關(guān)計算程序求解各獨立角點坐標。凸多面體六邊形網(wǎng)格具有平面性，故板塊可做成便于加工的平面形式，從而減少模具費用。

1基于組合多面體理論的凸多面體約束條件

1.1拓撲約束

由文獻[1]可知：從平面單元映射到空間單元，包括拓撲鄰接和拓撲關(guān)聯(lián)等在內(nèi)的拓撲關(guān)系不變。

1.2對稱性約束

圖1　92面體平面單元

在沿座邊或沿角展開平面單元圖中，可按下述原則確定一個正三角形：三角形形心與單元中心重合，三角形棱邊穿過單元最外層六邊形形心。例如，圖1為92面體平面單元，圖1中確定的正三角形為加粗虛線。顯然也可以反過來對正三角形進行網(wǎng)格劃分，得到平面單元。

若無特殊說明，本文中的平面單元是對圖2所示△O5O51O52進行網(wǎng)格劃分得到的。對稱性約束是指：若平面單元中的幾何元素(包括點、棱邊和六邊形)關(guān)于△O5O51O52的棱邊或高對稱，則對平面單元進行拓撲變換后，幾何元素關(guān)于△O5O51O52的棱邊或高與點O確定的平面對稱。例如，對圖2中的△O5O51O52進行網(wǎng)格劃分，得到的162面體平面單元見圖3，其中，點P1與點A1關(guān)于O5O52對稱，對平面單元進行拓撲變換后，點P1與點A1關(guān)于面OO5O52對稱(面OO5O52見圖2)。

對于平面單元，將位于△O5O2O3內(nèi)及邊界上的角點稱為特征角點，將形心位于△O5O2O3內(nèi)及邊界上的六邊形稱為特征六邊形，將中點位于△O5O2O3內(nèi)及邊界上的六邊形稱為特征棱邊。例如，圖3所示單元中，六邊形I～III為特征六邊形，點P1～P4及點M為特征角點，A1P1等加粗棱邊為特征棱邊。

圖2 正20面體圖3 162面體平面單元

1.3平面性約束

平面性約束是指平面單元拓撲變換為空間單元后，特征六邊形依然具有平面性。同時滿足拓撲約束、對稱性約束和平面性約束的多面體是凸多面體。

1.4等邊約束

等邊約束是指平面單元拓撲變換為空間單元后，所有特征棱邊長度相等。同時滿足拓撲約束、對稱性約束、平面性約束和等邊約束的多面體是等邊凸多面體。

1.5徑長約束

定義正五邊形角點到球心距離為標準徑長。徑長約束由標準徑長確定。

2正20面體相關(guān)參數(shù)求解

求解圖2所示正20面體的相關(guān)參數(shù)，利用對稱性建立多邊形構(gòu)型凸多面體約束方程。

2.1繞過原點任一軸的旋轉(zhuǎn)變換矩陣

空間一軸過坐標原點，且單位方向向量為(a,b,c)，則繞該軸的旋轉(zhuǎn)變換矩陣[9]Br為：

Br=a2+(1-a2)cosθ ab(1-cosθ)+csinθ ac(1-cosθ)-bsinθab(1-cosθ)-csinθb2+(1-b2)cosθbc(1-cosθ)-asinθac(1-cosθ)+bsinθbc(1-cosθ)-asinθc2+(1-c2)cosθé?êêêêù?úúúú

(1)

2.2正20面體中心對稱軸相關(guān)參數(shù)求解

2.3鏡像對稱面方程求解

2.4關(guān)于對稱平面的對稱變換矩陣

(Ⅰ)設(shè)平面#1的方程為ax+by+cz=0(a2+b2+c2≠0)，點A(x,y,z)關(guān)于面#1的對稱變換矩陣推導方法如下：先將面#1連同點A一起旋轉(zhuǎn)至面#1與xOy面重合；然后，按關(guān)于xOy面對稱變換的方法處理；最后，將面#1連同變換后的點反轉(zhuǎn)到原來位置上[9]。對稱變換矩陣為：

(2)

(Ⅱ)關(guān)于面OO5O52、面OO5O22和面OO51O2的對稱變換矩陣分別為：

3沿座邊展開多面體

圖4　組合42面體平面單元

3.1設(shè)定未知變量并由對稱性約束求相關(guān)角點坐標

設(shè)點P1、M經(jīng)拓撲變換后的坐標分別為：

點P1與點A1關(guān)于面OO5O52對稱，點P1與點C1關(guān)于面OO51O2對稱，故點A1和點C1坐標分別為：

3.2根據(jù)平面性約束建立方程

由六邊形I的對稱性知：六邊形Ⅰ具有平面性?P1M⊥OO2。由此建立約束方程：

(3)

3.3根據(jù)等邊約束建立方程

令特征棱邊兩兩相等，建立約束方程：

(4)

3.4根據(jù)徑長約束建立方程

令標準徑長為100，建立約束方程：

(5)

聯(lián)立方程(3)～方程(5)解得等邊凸42面體特征角點坐標為：

P1(17.476 777 162 483 51，95.477 393 660 613 52，24.054 720 114 545 802)；

M(35.852 948 150 265，79.845 688 955 441 87，49.347 349 629 615 15)。

根據(jù)已求特征角點坐標、拓撲約束和對稱性約束建立的等邊凸42面體全球模型見圖5，網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)半球模型見圖6。

圖5 等邊凸42面體全球模型圖6 等邊凸42面體網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)半球模型

4沿角展開多面體

以組合122面體作為沿角展開多面體的算例。圖7為組合122面體平面單元，其中，六邊形I～III為特征六邊形，點P1～P3為特征角點，P1A1等加粗邊為特征棱邊。根據(jù)對稱性約束，對平面單元進行拓撲變換后，點P1、P2位于面OO5O52上；面OO5O22為六邊形Ⅰ的對稱面；面OO5O52和OO51O2為六邊形Ⅱ的對稱面；六邊形Ⅲ有3個穿過棱邊中點的對稱面。面、軸等空間幾何元素元圖2。

圖7　組合122面體平面單元

4.1設(shè)定未知變量并根據(jù)對稱性求相關(guān)角點坐標

設(shè)特征角點P1、P2、P3坐標分別為p1=(0,y1,z1)，p2=(0,y2,z2)，p3=(x3,y3,z3)。 點P1、P3分別與點A1、A3關(guān)于面#53對稱，點P3與點B3關(guān)于面#23對稱。故點A1、A3、B3坐標分別為a1=(0,y1,z1)Bm5，22，a3=(x3,y3,z3)Bm5，22，b3=(x3,y3,z3)Bm51，2。

4.2根據(jù)平面性約束建立方程

由各特征六邊形經(jīng)拓撲變換后的對稱性：

(Ⅰ)六邊形Ⅰ具有平面性?面P1P2P3⊥面OO5O22。由點P1、P2、P3的坐標可求出面P1P2P3的法向量σ1。令σ1與面OO5O22法向量的點積等于0，即：

(6)

(7)

(Ⅲ)六邊形Ⅲ恒為平面六邊形。

4.3根據(jù)等邊約束建立方程

令特征棱邊兩兩相等，建立約束方程：

(8)

(9)

(10)

(11)

4.4根據(jù)徑長約束建立方程

令標準徑長為100，建立約束方程：

(12)

聯(lián)立方程(6)～方程(12),解得特征角點坐標為：

P1(0，98.455 080 744 761 96，17.509 913 636 063 487)；

P2(0，94.593 651 368 860 11，37.728 620 338 600 194)；

P3(19.229 132 760 508 03，90.732 221 992 958 26，43.976 544 313 966 69)。

根據(jù)已求特征角點坐標、拓撲約束和對稱性約束建立的等邊凸122面體全球模型見圖8，網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)半球模型見圖9。

圖8等邊凸122面體全球模型圖9等邊凸122面體網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)半球模型

5鏡像對稱性等邊凸多面體由構(gòu)型和徑長唯一確定

表1為鏡像對稱性等邊凸多面體未知變量與約束方程數(shù)量統(tǒng)計表。由表1可知：使鏡像對稱性多邊形構(gòu)型多面體為等邊凸多面體的約束方程個數(shù)，等于設(shè)定的未知變量個數(shù)，故當單元構(gòu)型和徑長一定時，對應的等邊凸多面體是唯一確定的。

表1　鏡像對稱性等邊凸多面體未知變量與約束方程數(shù)量統(tǒng)計

注：未知變量為特征角點坐標，約束方程包括平面性約束方程、等邊約束方程和徑長約束方程。

6結(jié)論

(1)本文方法是根據(jù)多面體的性質(zhì)建立的，以特征角點坐標為未知變量，利用拓撲約束、對稱性約束、等邊約束、徑長約束及計算機圖形學相關(guān)矩陣變換理論，建立約束方程。(2)對于鏡像對稱性多邊形構(gòu)型多面體，當單元構(gòu)型和徑長一定時，對應的等邊凸多面體是唯一確定的。等邊凸多面體不僅所有多邊形網(wǎng)格具有平面性，而且所有棱邊長度均相等。(3)這一系列球形等邊凸多面體可直接運用到單層球形網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)設(shè)計中。由于主體桿件只有一種，因此，便于桿件批量預制及網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)快速構(gòu)建。由于多邊形網(wǎng)格具有平面性，因此，玻璃或其他材質(zhì)屋面可以做成平面形式，便于加工。

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中圖分類號：TU33

文獻標志碼：A

收稿日期：2015-07-08

作者簡介：王曉東(1991-),男,河南安陽人,碩士生;周豐峻(1938-),男,山東黃縣人,院士,博士生導師,主要從事空間結(jié)構(gòu)的研究.

基金項目：國家自然科學基金項目(51208182,51309233)

文章編號：1672-6871(2016)03-0064-05

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.03.014