慢增長的Laplace-Stieltjes變換的級

楊曉英

(新疆師范大學 數(shù)學科學學院，新疆 烏魯木齊 830054)

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慢增長的Laplace-Stieltjes變換的級

楊曉英

(新疆師范大學 數(shù)學科學學院，新疆 烏魯木齊 830054)

摘 要：文章借助一類慢增長函數(shù)Λ,在此定義下,得到了半平面上慢增長的Laplace-Stieltjes變換的最大模和最大項指標之間的關系,推廣了Dirichlet級數(shù)的有關結果。

關鍵詞：Laplace-Stieltjes變換; 級; 慢增長

關于Dirichlet級數(shù)增長性的研究已經(jīng)有很多結果【1-6】。許多作者研究了增長快速的整函數(shù)(ρ=∞), 2006年Ganti和Srivastava【7】定義了慢增長的Taylar整函數(shù)的廣義級和廣義型(ρ∈(0,+∞))。近幾年，霍穎瑩【8】研究了慢增長的Dirichlet級數(shù)的廣義級和廣義型(ρ∈(0,+∞))。文章研究半平面上慢增長的Laplace-Stieltjes變換的廣義級,得到了一個相應的結論,可以看做對Dirichlet級數(shù)研究的擴展。

設α(y)是任何有限閉區(qū)間[0,X]上有界變差的實或復函數(shù)?？紤]Laplace-Stieltjes變換：

(1)

取序列{λn}：0<λ1<λ2<…<λn<…<+∞,滿足

(2)

記σu(F)為一致收斂橫坐標,設變換滿足

(3)

N(σ,F)=max{λn,An*e-λnσ=μ(σ,F):n∈N,σ∈R}.

設Λ表示一組函數(shù)α(x),滿足下面的條件：

1.α(x)是定義在[δ,+∞)上正的可微的嚴格遞增函數(shù),且α(x)→+∞(x→+∞);

2.α(x)～klog[P]x(x→+∞),其δ,k∈(0,+∞),log[1]x=logx,log[P]x=log[P-1]logx,這里的P為正整數(shù)。易得

(4)

可見,函數(shù)α(x)是慢增長的函數(shù)。

定義設α(x)∈Λ，由(1)定義的整函數(shù)F(s)的廣義級可定義為

1幾個引理

引理1設Laplace-Stieltjes變換(1)和{λn}滿足(2)和(3),對于任意給定的σ∈R,

證明用[10]中引理1的類似證明可得。

引理2[11]設α(x)∈Λ，其反函數(shù)為α-1(σ)，則

其中A>0,B>0.

證明 用[8]中引理3的類似證明可得。

2定理及證明

定理設Laplace-Stieltjes變換(1)和{λn}滿足(2)和(3),則

對上式兩邊做慢增長函數(shù)，

α[logμ(σ,F)-logμ(σ1,F)]≤α[(σ-σ1)α-1[(B+ε)α(1/σ)]],

由引理2得

α[(σ-σ1)α-1[(B+ε)α(1/σ)]]≤(B+1+ε)α(1/σ).

再由引理3, 定理的第1個不等號成立。

α(N(σ,F))≤(1+ο(1))α(2N(σ,F))<(1+ο(1))α(∫σσ+2N(x,F)dx)

≤(1+ο(1))α(logMμ(σ+2,F))≤(A+ε+ο(1))α(1/σ).

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[11] 孔蔭瑩,霍穎瑩.慢增長的隨機Dirichlet級數(shù)[J].數(shù)學年刊,2012,33A(3):323-328.

On Orders and Types of Laplace-Stieltjes Transform of Slow Growth

YANG Xiao-ying

(SchoolofMathmaticsXinjiangNomalUniversity,Urumqi,Xinjiang, 830054,China)

Abstract:The paper uses a kind of slow growth function Λ and obtains some relations between the maximum modulus and the index of maximum term by the slow growth function of Laplace-Stieltjes transforms in the half-plane. And extends some results of Dirichlet series in the half plane .

Key words:Laplace-Stieltjes transforms; Generalized order; Slow growth function

中圖分類號:O174.52

文獻標識碼：A

文章編號：1008-9659(2016)01-046-03

[作者簡介]楊曉英(1976-)，女，新疆奇臺人，講師，碩士，主要從事高等數(shù)學數(shù)學教育及課程論方面的研究。

[收稿日期]2015-12-15