作圖教學(xué)：述理與述法并重——以“過直線外一點作已知直線的垂線”為例

☉江蘇省如皋市東陳初中　杭石琴

?

作圖教學(xué)：述理與述法并重——以“過直線外一點作已知直線的垂線”為例

☉江蘇省如皋市東陳初中杭石琴

尺規(guī)作圖是學(xué)生的基本數(shù)學(xué)技能之一.對于尺規(guī)作圖，我們不僅要讓學(xué)生知道作圖的基本步驟，還要讓他們知曉實施這些步驟的理由.顯然，尺規(guī)作圖教學(xué)，我們不僅要讓學(xué)生“知其然，還要知其所以然”.也就是說，我們應(yīng)同時將作圖的理由和作圖的方法在尺規(guī)作圖教學(xué)中加以明晰，讓學(xué)生清楚尺規(guī)作圖的知識基礎(chǔ)、技能基礎(chǔ)和思想方法基礎(chǔ)，使今后的尺規(guī)作圖能夠明明白白、清清楚楚.筆者近期在執(zhí)教“過直線外一點作已知直線的垂線”時，借助學(xué)生已有知識先明晰了作圖的理由，再讓學(xué)生結(jié)合具體情境探究作圖的方法，取得了不錯的成效.現(xiàn)將這次教學(xué)的歷程與各位做個分享，希望能給您帶來啟示.

一、教學(xué)片斷及分析

1.知識應(yīng)用，提前述理

通過探索，學(xué)生剛剛獲得了“與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上”.

師：如圖1，如果PA=PB，那么點P在AB的垂直平分線上嗎？

圖1

生（齊）：在！

（教師在圖1中補(bǔ)作點Q）

師：如果QA=QB.請問，點Q也在AB的垂直平分線上嗎？

生（齊）：在！

師：PQ與AB有怎樣的關(guān)系呢？

生1：PQ垂直平分AB.

師：為什么？

生2：根據(jù)剛剛得到的結(jié)論，點P在AB的垂直平分線上，Q也在AB的垂直平分線上，所以PQ垂直平分AB.

師：為什么？

生3：兩點確定一條直線呀！

師：非常好！看來，只要能找到“到線段兩個端點距離相等”的兩個點，就可以作出這條線段的垂線了！

2.自主探索，述法究理

師：接下來將利用剛剛所獲得的知識與經(jīng)驗，來探索一個新的基本尺規(guī)作圖：過直線外一點作出已知直線的垂線.（教師板書）

投影：

已知：直線MN和MN外一點P（如圖2）.

圖2

求作：MN的垂線，使它經(jīng)過點P.

學(xué)生活動：探究作圖方法，并在小組內(nèi)交流.

10分鐘后小組交流結(jié)束，教師請一名學(xué)生展示作圖過程，如圖3.

圖3

生4：我先以P為圓心、任意長為半徑作圓，與MN交于兩點A、B.再分別以A、B為圓心，任意長為半徑畫弧交于點Q.作直線PQ，PQ就是MN的垂線.

師：你能說說這么作圖的理由嗎？

生4：作第一條弧，是為了找到圖3中的點A和點B，使得PA=PB.

師：那么，作第二、三兩條弧呢？

生4：得出點Q，使得QA=QB.

師：得出的直線PQ是MN的垂線嗎？

生5：是的！

師：為什么？

生5：根據(jù)剛才的探究，PA=PB，QA=QB，點P、Q都在AB的垂直平分線上，所以PQ⊥AB.

師：太棒了！看來你不僅知道怎么去作，還知道了為什么可以這么做！

3.步驟微調(diào)，完善作法

師：在你們的作圖過程中，三個關(guān)鍵點A、B和Q都出現(xiàn)了嗎？

（有學(xué)生在搖頭，示意并沒有全部出現(xiàn)）

師：怎么會沒出現(xiàn)呢？

生6：作第一條弧時，半徑必須比較長，太短了與直線MN就沒有交點.

師：哦！原來是這樣??！有沒有什么方法能保證半徑的長度適宜呢？

生7：我們可以先在MN的下方取一點K，（快步走到黑板前，添上點K，如圖3）以P為圓心、PK為半徑作圓.

師：這是個不錯的主意！還有什么值得注意的地方嗎？

生8：以A、B為圓心作弧時，半徑要比AB的一半長，否則也會沒有交點.

師：是的！看來今天的作圖還有很多地方是要注意的，大家一定要小心哦?。ń處熗队巴暾淖鲌D步驟，并進(jìn)行了示范作圖）

師：通過剛剛的探索，我們不僅探究得出了“過直線外一點作已知直線的垂線”這一基本作圖的作法，并且知道了這一作法的數(shù)學(xué)道理.今后的尺規(guī)作圖學(xué)習(xí)，我們也將從方法和理由這兩個角度展開學(xué)習(xí)，希望今天的學(xué)習(xí)能給后面的學(xué)習(xí)提供幫助.

二、片斷分析

這是從學(xué)生剛剛獲得的幾何知識入手，將由定理生成的基本圖形進(jìn)行復(fù)合，形成圖1，對圖1展開深度探究，通過層層追問，使學(xué)生知道了點P和點Q都在直線MN的垂直平分線上，進(jìn)而抽象出“只要能找到‘到線段兩個端點距離相等’的兩個點，就可以作出這條線段的垂線了”這一作垂線的方法，這實際上也是“過直線外一點作已知直線的垂線”的方法.至此，本節(jié)課要探究的尺規(guī)作圖的基本理由已經(jīng)陳述完畢.接下來，教師直接拋出了本節(jié)課探究的話題，讓學(xué)生利用剛剛獲得的知識自主探究，并將探究的結(jié)果在小組中進(jìn)行交流.有了前面知識和經(jīng)驗的鋪墊，學(xué)生不負(fù)眾望，順利給出了作圖的方法.在接下來的全班交流中，就是緊扣學(xué)生給出的方法，通過反復(fù)提問，將作圖的每一個步驟都與數(shù)學(xué)知識緊密關(guān)聯(lián)在一起，讓述法與述理同步進(jìn)行，作圖不再是“孤單”的程序化的步驟，而是與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本活動經(jīng)驗緊密聯(lián)系在一起的數(shù)學(xué)基本技能，理論與實踐緊密地結(jié)合在了一起.針對學(xué)生探索中出現(xiàn)的一些問題，教師展開進(jìn)一步矯正，給出了完整的作法，并通過投影和自身的演示將作圖步驟和作圖過程進(jìn)行了“定格”，讓每一位學(xué)生“知其然，且知其所以然”，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)由知識向方法的完美過渡.

三、幾點感悟

1.理法同行，誰都不是“教學(xué)雞肋”

尺規(guī)作圖是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容.傳統(tǒng)教學(xué)，對作法教學(xué)非常重視.至于作圖的理由，教師在教學(xué)中一般都一帶而過，不作為教學(xué)的重點呈現(xiàn)，使得作圖述理淪為“教學(xué)雞肋”.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（下稱“課標(biāo)（2011版）”）對尺規(guī)作圖提出了明確要求，要求我們不僅要重視作法教學(xué)，還要重視作圖理由的教學(xué).“理法同行”是當(dāng)下初中數(shù)學(xué)課堂尺規(guī)作圖教學(xué)的基本要求，一線數(shù)學(xué)教師應(yīng)努力落實.本文案例中，教師將這一理念很好地落實到了教學(xué)實踐中.在作圖方法探究之前，教師就已經(jīng)提前將作圖的理由進(jìn)行了“預(yù)埋”，借助本節(jié)課獲得知識的應(yīng)用，將尺規(guī)作圖成果中的基本作圖（圖1）展示在學(xué)生面前.接下來的探究是對知識應(yīng)用的再度順應(yīng)，有了圖1的鋪墊，作圖方法探究就變得非常順利了.然而當(dāng)學(xué)生給出作法后，教師并沒有就此停住，而是將作圖理由進(jìn)一步明晰.應(yīng)該說，整個教學(xué)過程中，理與法同行，誰都不是“教學(xué)雞肋”，它們都是教學(xué)的主要內(nèi)容，是師生交流互動探究的核心話題.

2.理法并述，強(qiáng)化數(shù)學(xué)“四基”教學(xué)

尺規(guī)作圖，是初中數(shù)學(xué)最重要的基本技能之一，是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)結(jié)論、探究解題思路與驗證數(shù)學(xué)猜想的重要工具.就問題解決而言，復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題的化解，需要借助尺規(guī)作圖來呈現(xiàn)所有的“可能”，這些“可能”與數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗緊密聯(lián)系在一起.因此，想要學(xué)生作出符合要求的圖形，就必須充分調(diào)動已經(jīng)獲得的“四基”.所以在尺規(guī)作圖教學(xué)中，我們就不能只強(qiáng)調(diào)作圖的方法，而應(yīng)將作圖步驟與數(shù)學(xué)“四基”關(guān)聯(lián)在一起，使學(xué)生形成知識提取應(yīng)用的有效網(wǎng)絡(luò).以本文中的案例為例，“過直線外一點作已知直線的垂線”這一尺規(guī)作圖只用了“垂直”，但我們從這個作圖教學(xué)的前奏和后延看，垂直平分線的性質(zhì)與判定是繞不開的一個“坎”.在教學(xué)中，我們就應(yīng)從垂直平分線入手，當(dāng)他們獲得這一基礎(chǔ)知識后，給予適當(dāng)練習(xí)，一方面鞏固舊知，另一方面讓學(xué)生的認(rèn)知又向前邁出一步，逼近所要獲得的作圖方法.當(dāng)學(xué)生獲得作圖方法后，教師還應(yīng)將作法與已經(jīng)獲得的基礎(chǔ)知識關(guān)聯(lián)起來，讓學(xué)生的技能形成與知識獲得同步.

3.理法并重，相互促進(jìn)共“謀”發(fā)展

過去的尺規(guī)作圖教學(xué)沿襲了數(shù)學(xué)教學(xué)“重實踐”的特點，重視作法教學(xué)，這是非?？少F的.在“課標(biāo)（2011版）”頒布后，對尺規(guī)作圖教學(xué)提出了“要重視作圖理由”的要求.一線教師對此高度贊同，并努力將課標(biāo)理念落在了實處，他們將述理與述法放在作圖教學(xué)的同一個高度上，使兩者成為作圖教學(xué)的“左膀”與“右臂”.隨著作圖教學(xué)的不斷深入，我們發(fā)現(xiàn)“理法并重，能有效推動學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知不斷走高”.當(dāng)學(xué)生的知識到達(dá)較高的位置后，便會從道理上給予作法更準(zhǔn)確的支持，使學(xué)生能夠更加清晰地掌握尺規(guī)作圖的基本步驟；當(dāng)尺規(guī)作圖的技能漸趨熟練時，高位的技能展示將會給學(xué)生數(shù)學(xué)問題的深度探究注入不竭動力，隨之而來的便是基于作圖之上的新的知識生成、思想感悟和經(jīng)驗積淀.這樣的相互依存，共同促進(jìn)，讓知識與技能混合在一起，組合出現(xiàn)，很好地服務(wù)于學(xué)生數(shù)學(xué)知識的獲得和數(shù)學(xué)問題的解決.我們有理由相信，隨著學(xué)生數(shù)學(xué)知識的不斷積聚，有著理論支撐的作圖技能將會嵌入到學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)之中，成為個人素養(yǎng)的重要組成部分.

參考文獻(xiàn)：

1.王冰.重視過程教學(xué)發(fā)展思維能力——“12.1軸對稱（第2課時）”的教學(xué)設(shè)計及其特點［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2013（6）.

2.印冬建.明理：尺規(guī)作圖教學(xué)的新要求——以“作一個角的平分線”為例［J］.教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2012（12）.

3.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

*本文系江蘇省教學(xué)科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題《初中數(shù)學(xué)“微話題探討式學(xué)習(xí)”教學(xué)策略研究》（編號：E-c/2013/8）的研究成果.