134課題學習最短路徑問題

一、本課主要內(nèi)容

本節(jié)課以一則公益廣告為載體開展對節(jié)能環(huán)保的教育，進而提出數(shù)學能為節(jié)能減排做出什么貢獻呢？引出本節(jié)課的主題：最短路徑問題的課題研究，讓學生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）問題。

二、學習目標

能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想。

三、學習重點

利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題.

四、引入新知

問題：這個視頻同學看懂了嗎？來說說看懂了什么？

引言：節(jié)約是一種的美德，特別是對于資源慢慢匱乏的今天，我們更要把這一美德繼續(xù)傳承下去。無論節(jié)約能源還是節(jié)省資源都是我們當今非常關(guān)注的問題，那么作為學數(shù)學的我們能為節(jié)省資源提供哪些思路和方法呢？這就是今天我們要學習的內(nèi)容最短路徑問題 （板書：標題）

五、探究新知

問題：最短路徑問題，最短，我們學過與最短有關(guān)的知識嗎？

垂線段最短；兩點之間，線段最短（板書：垂線段最短；兩點之間，線段最短；并畫圖）

現(xiàn)在我們來看這樣一個實際問題：

一、問題提出

如圖，要在燃氣管道l上修建一個泵站C，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站C修在管道的什么地方，可以最節(jié)省材料？（圖略）

問題：這個實際問題誰能解決？沒關(guān)系，咱們數(shù)學可以解決，那你會把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題嗎？哪位同學試試？

問題：泵站C修在管道l的什么地方，可以最省材料？這個最省材料該怎么理解呢？

（板書：實際問題抽象數(shù)學問題點和線的問題）

點C在直線l上有無數(shù)種可能，到底點C在哪里可以使線段AC+BC的和最短呢？面對這樣一個未知問題，我們可以把它轉(zhuǎn)化成已學的知識來解決嗎？用哪個已知的知識來解決呢？

二、第一次嘗試、驗證

問題：哪一個最短的方法可以幫我解決這個問題呢？不防猜想、嘗試一下，畫一畫，找一找點C。以小組為單位進行討論 （在黑板中間位置畫圖）

有同學已經(jīng)找到點C了，請同學上來說說你是怎么找到點C的呢？還有哪一位同學找到了點C？來說一說

同學們能積極的思考，并付之實踐，非常值得表揚，來給咱們自己一點掌聲，鼓勵一下。這位同學找的點C會使線段AC+BC的和最短嗎？我們得驗證一下才行，今天我們來玩玩高科技，老師用幾何畫板來直觀的演示一下。

三、第二次嘗試、驗證

問題：通過幾何畫板的演示，我們發(fā)現(xiàn)剛剛找的點C并不能讓線段AC+BC的和最短，那現(xiàn)在我們該怎么辦呢？要把它轉(zhuǎn)化成哪個已學的知識來解決呢？

問題：那么我們?nèi)绾伟堰@個問題轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短呢？

我這樣連接AB行嗎？

大家的意思是說，在連接線段AB使用兩點間線段最短的同時，還要與直線l有交點！

問題：怎樣才能讓這條最短的線段與直線l有交點呢？

要是能把其中一個點能變到直線的另一側(cè)就好了，就可以輕而易舉的解決問題了，那就請大家再開動小腦袋，想一想，試一試，畫一畫，找找點C吧。以小組為單位進行討論

問題：哪一位同學愿意說一下你們小組的想法？還有其他的方法嗎？

這兩位同學用不同的畫法找到了點C，如果在一幅圖上的話，這兩個點C是同一個點嗎？看我們看看，是同一個點C嗎？哪位同學可以說說為什么？

這個點C真的可以讓AC+BC最短嗎？我們用幾何畫板演示一下，好像是哦。

問題：為什么這個點C可以讓AC+BC最短呢？又是通過什么方法實現(xiàn)兩點之間線段最短呢？

原本是求AC+BC最短的，怎么會轉(zhuǎn)化成AB’最短呢？

為什么AC+BC=AB’？

我們還需要來證明，如果我認為C不是使AC+BC最短的點，那我就再找一點C’來驗證

問題：回憶一下剛剛我們怎么解決這個實際問題的？

把實際問題——數(shù)學問題

把同側(cè)的兩點——異側(cè)的兩點（軸對稱）

用兩點之間，線段最短這個已學的知識，解決實際問題，實現(xiàn)了化未知為已知。

問題：軸對稱在解決最短距離的問題上起到了什么作用？

在這一題目的解決過程中，用軸對稱做出圖形的變換起到至關(guān)重要的作用，既幫助我們把同側(cè)兩轉(zhuǎn)化成異側(cè)兩點，也幫助我們使用了兩點之間，線段最短。

這樣到目前為止，在解決最短路徑問題上我們有了三種模型，

第一，一點一線；第二，異側(cè)的兩點一線；第三，同側(cè)的兩點一下問題

先看我們已經(jīng)畫好的圖形，在畫到這個直線之前我先做了什么？這就化折為直

為什么要畫線段呢？

在畫到這個線段之前我們又用到了什么？

四、練習鞏固

1.如圖，在平面直角坐標系中，點A（-2，4），B（4，2），在x軸上取一點P，使點P到點A和點B的距離之和最小，則點P的位置怎么求？

問題：在解決這個問題時，我們應該用哪個模型？誰是村莊？誰是煤氣管道？

如果是在圖形里，還可以解決最短路徑問題嗎？我們一起試試

2.已知等腰ABC，AB=AC，AD是BC邊上的高，E是AB邊上的中點，

在AD上找到點p，使PB+PE最短

1、誰是村莊，誰是煤氣管道？

2、為什么點B的對稱點是C；

在解這個題目時，我們用了兩種方法做對稱，找到了同一個點P，大家喜歡哪一種做法？為什么？如果圖中不能直接找到對稱點，我們就只能自己畫了

剛才幾個問題同學解決的非常好，那我們來總結(jié)一下，今天這節(jié)課你學到了什么知識，哪些解題方法呢？

相信同學們通過這節(jié)課的學習會合理的使用這三個數(shù)學模型解決最短路徑問題，為節(jié)省資源做出貢獻，做一個環(huán)保小衛(wèi)士，但是千萬不這樣使用最短路徑哦！

今天我們的作業(yè)是挑戰(zhàn)新高度，模型四和模型五，你能自己解決嗎？

五、挑戰(zhàn)新高度

六、板書