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    對于圓錐曲線教學(xué)的一些思考

    2016-04-29 00:00:00卜耀鋒
    新課程·下旬 2016年10期

    摘 要:圓錐曲線是高中平面解析幾何中的重要內(nèi)容,其中蘊含了重要的數(shù)學(xué)思想方法。在教學(xué)該部分知識對學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求較高,對教師的教學(xué)能力要求較高,為了使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識,應(yīng)該重視基礎(chǔ)知識和基本思想方法。

    關(guān)鍵詞:圓錐曲線;思想方法;基礎(chǔ)知識

    圓錐曲線知識是平面解析幾何的重要內(nèi)容,橢圓、雙曲線以及拋物線歷年來都是高考必考的知識,也是高考考查的重點知識之一。從多年的教學(xué)和高考復(fù)習(xí)過程來看,學(xué)生對圓錐曲線內(nèi)容的學(xué)習(xí)和掌握程度不是很好,無論是知識的習(xí)得,還是問題的解決以及思想方法的應(yīng)用都存在著一定的困難,追溯產(chǎn)生困難的根源,就是教師在教學(xué)中忽視的一些細節(jié),學(xué)生在學(xué)習(xí)中沒有掌握基礎(chǔ)知識和基本思想方法。

    一、重視圓錐曲線概念教學(xué)

    比如,在橢圓的概念教學(xué)中,首先,展示生活中的橢圓的實例,人造衛(wèi)星運行軌跡、盤子等,使得學(xué)生直觀感受數(shù)學(xué)源于生活又高于生活。其次,通過學(xué)生親自動手操作實驗畫“橢圓”,展示學(xué)生畫出的橢圓,然后總結(jié)圖像的特征,給橢圓下定義。因此,對概念的內(nèi)涵和外延把握不準確,從而導(dǎo)致在解決問題時就會出現(xiàn)解題思路受阻、錯解等現(xiàn)象。例(教材第42頁練習(xí)題3)已知經(jīng)過橢圓的右焦點F2作垂直于x軸的直線AB,交橢圓于A,B兩點,F(xiàn)1是橢圓的左焦點。

    (1)求△AF1B的周長;

    (2)如果AB不垂直于x軸,△AF1B的周長有變化嗎?為什么?

    當AB垂直于x軸時,是一種特殊情況,對于概念不熟悉的同學(xué),先求解了A、B兩點的坐標,利用勾股定理求出F1A、F1B,進而求出三角形的周長。第二問中當不垂直于軸時,學(xué)生就束手無策了。在提示下,學(xué)生可以將△AF1B的周長拆分成AF1+AF2+BF1+BF2,利用定義就可以轉(zhuǎn)化為AF1+AF2+BF1+BF2=4a=20.

    二、酌情處理圓錐曲線方程推導(dǎo)

    圓錐曲線的定義揭示了圓錐曲線的本質(zhì)特征,利用解析法將曲線上滿足動點的代入,由曲線和方程的關(guān)系,求出圓錐曲線方程。事實上會發(fā)現(xiàn),在圓錐曲線方程推導(dǎo)過程中學(xué)生對代數(shù)式的處理能力較弱,一是出現(xiàn)化簡方向上的思維障礙,二是不能準確進行代數(shù)運算,即學(xué)生代數(shù)運算能力偏弱。數(shù)學(xué)問題的解決離不開推力計算。因此,在學(xué)習(xí)過程中要有意識的訓(xùn)練學(xué)生,但是也要注意難易程度的控制,不要刻意的訓(xùn)練偏、繁、怪的計算,注重算式的推理計算,思維邏輯推理運算。

    三、準確理解圓錐曲線的性質(zhì)

    結(jié)合圓錐曲線的方程探討圓錐曲線的性質(zhì),利用圓錐曲線的性質(zhì)解決圓錐曲線的問題。準確理解圓錐曲線的性質(zhì)是解決圓錐曲線問題前提,比如,在圓錐曲線的問題中以標準方程來研究性質(zhì)的,因此,在拿到圓錐曲線方程時先將方程代數(shù)變換為標準方程,確定方程中的參數(shù),準確理解橢圓的頂點,長軸和短軸,長軸長和短軸長,長半軸長和短半軸長等定義,準確確定這些參數(shù)的取值,雙曲線的頂點,實軸和虛軸,實軸長和虛軸長,實半軸長和虛半軸長,漸進線方程等概念。注意區(qū)分橢圓與雙曲線中a、b、c的數(shù)量關(guān)系。圓錐曲線離心率的取值范圍等。

    四、注重數(shù)形結(jié)合方法在圓錐曲線中的應(yīng)用

    考試大綱對圓錐曲線的要求是理解數(shù)形結(jié)合思想方法。事實上數(shù)形結(jié)合思想方法是數(shù)學(xué)中的一種重要的思想方法,如果能順利實現(xiàn)數(shù)與形的合理,就會使得一些抽象的數(shù)學(xué)問題形象、具體、簡單,當然,這種轉(zhuǎn)化必須要有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)作為基礎(chǔ),比如,基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念、公理、定理以及重要的結(jié)論等,這些都是實現(xiàn)數(shù)與形順利轉(zhuǎn)化的前提。

    五、合理控制試題難度,重視基礎(chǔ)知識

    比如,求橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程;雙曲線的離心率的問題;直線與圓錐曲線的綜合考查圓錐曲線的性質(zhì)等問題,難度適中。在解答題中,第一小問主要考查圓錐曲線的方程,離心率等問題,第二問通??疾橹本€與圓錐曲線的綜合問題,涉及定值、最值、恒成立、參數(shù)范圍確定等問題,有一定的難度,有時在這一問設(shè)置難度,充當壓軸題的角色。

    六、酌情介紹圓錐曲線的定義

    教材中,閱讀與思考內(nèi)容給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義:已知點是平面上的一個定點,l是平面上不過點F的一條定直線,點M到點F的距離和它到直線l的距離之比是一個常數(shù)e。統(tǒng)一定義中隨著的變化,曲線的屬性也隨之變化,當時,軌跡是橢圓,當01時,軌跡是拋物線,定點是曲線的焦點,比值是它的離心率,定直線是它的準線。圓錐曲線的直角坐標方程的統(tǒng)一形式為:(1-e2)x2+y2-2pe2x-p2e2=0,隨著e的變化,對應(yīng)著不同的曲線。作為教材的拓展內(nèi)容,學(xué)有余力的學(xué)生可以去學(xué)習(xí),但是對于大部分學(xué)生而言,這部分內(nèi)容可以不掌握。從考試大綱來看,對于第二定義及統(tǒng)一方程沒有要求,那么在教學(xué)中介紹第二定義及方程無疑是增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔(dān)和壓力。

    圓錐曲線內(nèi)容抽象,性質(zhì)也因曲線的不同較為復(fù)雜,所以學(xué)生對這部分知識不容易理解和記憶,那么在教學(xué)過程中就要做到心中有數(shù),根據(jù)學(xué)情設(shè)計教學(xué),讓學(xué)生學(xué)有所得,不盲目追求難度和高度,注重基礎(chǔ)和過程,加強學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教育。

    參考文獻:

    王娟.試析新課程下高中數(shù)學(xué)中圓錐曲線教學(xué)[J].教育教學(xué)論壇,2016(6):277-278.

    編輯 王潔瓊

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