數(shù)列極限概念的教學(xué)策略

極限概念是高等數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念之一。數(shù)列極限的概念是學(xué)員最先學(xué)習(xí)的極限概念。它的分析定義是用“ ”語言給出的，因此也稱之為“ ”定義。這種定義精細(xì)的刻畫了極限過程中諸變量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，表達(dá)了極限概念的本質(zhì)，為極限運(yùn)算的算數(shù)化奠定了基礎(chǔ)，凡是學(xué)過微積分的人，無不贊賞它的完美。但對于初學(xué)者來說，由于它比較抽象難懂，卻成了學(xué)習(xí)途中的一道“坎”。如何能讓學(xué)員盡快理解、接受數(shù)列極限的這個(gè)抽象定義呢？本文探討一下“ ”定義的教學(xué)問題。

1 培養(yǎng)學(xué)員的極限思想

要理解極限概念必須要有極限思想。因此，教員可以先從具體淺顯的實(shí)例入手，調(diào)動(dòng)學(xué)員的直覺思維，使學(xué)員對極限概念獲得感性的認(rèn)識。如在課程剛剛開始時(shí)，首先提出中國數(shù)學(xué)史的兩個(gè)問題：

第一個(gè)問題：公元前300年左右，中國杰出的學(xué)者莊子在他的文章《天下篇》中的一句話——“一尺之棰，日取其半，萬載不竭”，這句話是什么意思？在教員與學(xué)員共同對其進(jìn)行解釋之后，使學(xué)員具備了最初的極限思想。

第二個(gè)問題：在古時(shí)候，并沒有我們現(xiàn)在計(jì)算圓的面積時(shí)所使用的圓的面積公式 ，那么古人是如何計(jì)算圓的面積呢？隨后用古人計(jì)算圓面積的方法——?jiǎng)⒒盏母顖A術(shù)來讓學(xué)員對“極限”有一個(gè)模糊的概念。在講第二個(gè)問題割圓術(shù)的時(shí)候，我也為學(xué)員詳細(xì)介紹了其歷史背景：劉徽在用割圓術(shù)計(jì)算圓面積的時(shí)候，一直計(jì)算到了圓的內(nèi)接正192邊形，將圓周率精確到了小數(shù)點(diǎn)后兩位3.14，因此后人稱此值為“徽率”。隨后到了南北朝時(shí)期，祖沖之也用了同樣的方法計(jì)算到圓的內(nèi)接正24576邊形，得到圓周率3.1415926，然后內(nèi)接多邊形邊數(shù)再加倍，即圓內(nèi)接內(nèi)接正49152邊形，將圓周率定在3.1415926-3.1415927之間。在西方，這個(gè)成績是由法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)于1593年取得的，比祖沖之要晚了一千一百多年。而在當(dāng)時(shí)，科技是非常落后的，這個(gè)精確的結(jié)果就是祖沖之用小木棍一點(diǎn)一點(diǎn)測量得出來的。通過這一史實(shí)不僅可以增強(qiáng)學(xué)員對極限思想的理解，還能同時(shí)培養(yǎng)學(xué)員的愛國主義精神，并激勵(lì)學(xué)員要學(xué)習(xí)古人為了科學(xué)不懼困難，不斷鉆研的精神。

2 概念的引出

2.1 引導(dǎo)學(xué)員理解極限的描述性定義

有了數(shù)列的概念之后，再給出幾個(gè)具體的數(shù)列的例子，其作用在于一方面讓學(xué)員感受到底什么是數(shù)列，另一方面通過這些具體的數(shù)列引出數(shù)列極限的描述性定義。隨后通過將數(shù)列在數(shù)軸上進(jìn)行描點(diǎn)的方法，讓學(xué)員觀察隨著n無限增大時(shí)，數(shù)列的變化趨勢。引導(dǎo)學(xué)員給出

數(shù)列極限的一個(gè)描述性定義。

（描述性）定義1 當(dāng)n無限增大時(shí)，數(shù)列{ }無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)a，則a叫做數(shù)列{ }的極限。記為

，或

2.2 引導(dǎo)學(xué)員理解極限的精確性定義

上面是數(shù)列極限的描述性定義，它簡單、直觀，使學(xué)員容易了解數(shù)列極限大體上是怎么一回事。但另一方面，它又顯得頗為膚淺，使人感覺很不準(zhǔn)確，主要原因一是缺乏精細(xì)的數(shù)量分析；二是未采用純粹的數(shù)學(xué)語言刻劃變量變化的過程。如何從直觀的描述性定義出發(fā)達(dá)到抽象的分析定義呢？在此首先對定義1的實(shí)質(zhì)進(jìn)行分析如下。

n無限增大時(shí)， 無限接近常數(shù)a。

只要n充分大， 與a就可以任意接近。

只要n充分大， 與a的距離就可以任意小。

只要n充分大， 可以任意小。

只要n大于某個(gè)正整數(shù)N， 可以小于任意給定的正數(shù) 。

為了讓學(xué)員更清楚這一點(diǎn)，可以通過一個(gè)數(shù)列具體進(jìn)行分析。通過上面對描述性定義的逐步遞推與對具體數(shù)列進(jìn)行的分析，數(shù)列極限的精確定義——“ ”定義也就自然而然的給出來了。

3 關(guān)于極限概念的幾點(diǎn)說明

3.1 的任意性與N的存在性

定義中 是任意給定的，這一點(diǎn)非常重要。首先，正數(shù) 是可以任意小的，因而才能由不等式 表明 與a無限接近；其次，正數(shù) 又是給定的，因而才能對 的過程進(jìn)行定量的分析。

定義中正整數(shù)N的存在性，是 與a是否無限接近的關(guān)鍵。如果對于任意給定的無論多么小的正數(shù) ，都存在一個(gè)正整數(shù)N，使得N項(xiàng)后的每一項(xiàng)與a的距離均小于給定的正數(shù) ，則 以a為極限；反之， 不以a為極限。

3.2 與N的關(guān)系

通過具體的數(shù)列分析可以讓學(xué)員感覺到，N是由 所確定的。通常情形下， 越小，N越大。但是盡管如此，N 只是依賴于 而產(chǎn)生，不是由 唯一所確定。事實(shí)上，對于給定的 ，若N能滿足要求，則大于N的任何一個(gè)自然數(shù)更能滿足要求，故N后的每一項(xiàng)都可做到。因此N等于多少無關(guān)緊要，只要存在即可，也正是由于這種確定的不唯一性，才使得它可以刻劃這個(gè)變化的過程。

4 結(jié)束語

數(shù)列極限的概念是教學(xué)過程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，也是教學(xué)過程中的難點(diǎn)。以上將在教學(xué)實(shí)踐中的一點(diǎn)體會整理出來呈現(xiàn)給大家，以期在教學(xué)的探討中起到拋磚引玉的作用。相信通過廣大教員的共同努力，數(shù)列極限概念的教學(xué)方法必然會得到更大的發(fā)展，教學(xué)效果必然會得到更大的提高。