淺談如何化解一類數(shù)學題型

這類題目，歷來都是很多學生學習的難點，成為知識的薄弱點。為了解決這一問題，本文將談談證明這類題的解題策略。

一、利用已掌握的知識，直接通過推理證得

這是常用的方法，在牽涉到二次方程、二次函數(shù)的一些題型中，經(jīng)常利用判別式直接證明。

例1，已知二次函數(shù)y=x2﹢﹙a2-1﹚x=﹙a-2﹚，，求證；不論a為何實數(shù)，拋物線與x軸一定有兩個不同的交點。

證明；△=﹙a2-1﹚2-4﹙a-2﹚

=a4-2a-4a﹢9 =﹙a2-2﹚2﹢2﹙a-1﹚2﹢3

∴不論a為何實數(shù)，都有△﹥0∴拋物線與x軸一定有兩個不同的交點

二、通過取特殊值開路，由特殊過渡到一般性證明

既然字母不論為何值總有某結(jié)論成立，因此當字母取一些特殊值時，結(jié)論肯定成立，通過取特殊值時得出結(jié)論，再去驗證字母取任何值時的結(jié)論也成立。

例2，已知二次函數(shù)y=x2-mx﹢ ﹙m2﹢2m-8﹚，當m每取一個值時，就得到圖象的一個頂點。證明不論m為何數(shù)值，所得圖象的頂點在一條直線上。

證明；當m=0和m=2時，二次函數(shù)分別是

（1）y=x2-2--------------（1）

（2）y=x2-2x -------------（2）

（1）的頂點P的坐標是﹙0， 2﹚（2）的頂點Q的坐標是﹙1，-1﹚設經(jīng)過P、Q的直線方程是y﹦kx﹢b，將P、Q的坐標代入得 解得

∴ 過P、Q的直線方程是y﹦x﹣2

二次函數(shù)y=x2-mx﹢ ﹙m2﹢2m-8﹚的頂點坐標是

A（ ），即（ ）

把A的坐標代入y﹦x ﹣2得：左邊﹦ 右邊﹦

∴A的坐標滿足直線方程y﹦x-2∴題中的二次函數(shù)的頂點都在直線y﹦x-2上。

三、通過特殊位置的圖形所提供的線索，找到證題的途徑和明確證題的方向

對于一些幾何題，由于圖形不論如何變化，總有某結(jié)論成立，我們可以選取圖形的特殊位置，在這種情況下，往往結(jié)論清楚地顯現(xiàn)出來，證題就有了明確的方向，就便于我們找到證題途徑。

例4：如圖﹙1﹚，長為L的弦PQ﹙長度小于直徑2R﹚的兩端在半圓弧AB上滑動，試證明：不論PQ在什么位置上，從P、Q分別引AB的垂線，其垂足P′、Q′與PQ的中點M所成的三角形都相似。

分析：如果PQ恰好與AB平行，如圖1（2），顯然△M P′Q′為等腰三角形，因此不論PQ在什么位置上，所構(gòu)成的三角形都可望是等腰三角形。又由于這些等腰三角形都相似，所以底角都相等，應該是與定長L、R有關(guān)的定角。

在圖1﹙2﹚中，若連接OM、OP，則PP′OM是矩形，

∴COS∠MP′O=COS∠MPO= ∴∠MP′O為定角

那么對于如圖1﹙1﹚所示的一般情況△MP′Q′也一定是等腰三角形，且COS∠MP′O= 連接OM、OP、OQ，則PM=QM= ，

∠1∠2，COS∠1= 現(xiàn)在只要證明∠MP′Q′∠1， ∠MQ′P′=∠2

這由P、P′O、M與M、O、Q′、Q風別四點公圓立即證得。

（作者單位：詔安仙塘中學）