高中數(shù)學(xué)解題思想的另一種解讀q

學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，是一個(gè)不斷具體研究新問(wèn)題，抽象概括形成經(jīng)驗(yàn)，新問(wèn)題成為熟知問(wèn)題，不斷積累，構(gòu)建學(xué)生知識(shí)體系的過(guò)程。

觀察一個(gè)新數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題多次具體化實(shí)驗(yàn)，研究它們的共性，得到性質(zhì)或規(guī)律，對(duì)它下定義，并翻譯為代數(shù)語(yǔ)言、幾何語(yǔ)言、解析幾何語(yǔ)言，這是對(duì)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的最初級(jí)的抽象化；利用定義下的性質(zhì)和規(guī)律去解決實(shí)際問(wèn)題，這是具體化。

學(xué)生遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題分為熟知問(wèn)題和新問(wèn)題，熟知問(wèn)題用已知的各種思想方法解決問(wèn)題， 新問(wèn)題分為可化歸和不可化歸問(wèn)題，可化歸新問(wèn)題用聯(lián)想、發(fā)散、分析、綜合思想解決問(wèn)題，不可化歸新問(wèn)題用具體化、抽象化解決問(wèn)題。

一、應(yīng)用問(wèn)題

熟知的應(yīng)用問(wèn)題，直接翻譯為代數(shù)語(yǔ)言（代數(shù)式、方程）、幾何語(yǔ)言（平面、立體）、解析幾何語(yǔ)言（平面、立體、函數(shù)、方程），數(shù)形結(jié)合從而解決問(wèn)題。觀察一個(gè)新的應(yīng)用問(wèn)題，通過(guò)對(duì)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題多次具體化實(shí)驗(yàn)，得到性質(zhì)或規(guī)律，翻譯為代數(shù)語(yǔ)言、幾何語(yǔ)言、解析幾何語(yǔ)言。再數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題

二、函數(shù)與方程問(wèn)題

在解一個(gè)函數(shù)與方程問(wèn)題過(guò)程中，我們會(huì)遇到兩類題，一類題是熟知的問(wèn)題，一類是新問(wèn)題，

1、熟知的問(wèn)題

利用已經(jīng)積累出的解題思想和方法解決問(wèn)題，如熟知類型的問(wèn)題，可以用待定系數(shù)法先設(shè)后算。

2、新問(wèn)題，

1）通過(guò)實(shí)驗(yàn)，其中一部分可以通過(guò)化歸變形為熟知問(wèn)題；

代數(shù)式化歸方法：

A、整式：因式分解，展開(kāi)，配方（二次式），化分式，… b、分式：分式性質(zhì)（分子、分母有理化），通分，分離，… c 、 無(wú)理式：分子、分母有理化，統(tǒng)一、分離根式，… d、 指數(shù)式：恒等式變形，提取公因式，… e 、 對(duì)數(shù)式：恒等式變形，統(tǒng)一、分離，… f 、 復(fù)合式：換元法，…

各式互化：就是這些代數(shù)式之間的相互轉(zhuǎn)化，生式：利用運(yùn)算性質(zhì)構(gòu)造出需要的一個(gè)式子。 消式：利用運(yùn)算性質(zhì)消去不需要的一個(gè)式子。

函數(shù)與方程：利用方程、方程組的所有性質(zhì)進(jìn)行恒等變形、消元。

2）另一部分是無(wú)法化歸的新的函數(shù)與方程問(wèn)題，我們要進(jìn)行各種研究，把這些新問(wèn)題，翻譯為代數(shù)語(yǔ)言、幾何語(yǔ)言、解析幾何語(yǔ)言，通過(guò)具體化，而后抽象化研究，再通過(guò)合情推理和邏輯推理，形成解題思想和方法，把新問(wèn)題就變成熟知問(wèn)題。如：①函數(shù)一級(jí)抽象問(wèn)題：從函數(shù)解析式取幾組解，由代數(shù)語(yǔ)言抽象概括出函數(shù)性質(zhì)，或由這幾組解用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖像，抽象出函數(shù)的性質(zhì)。②函數(shù)二級(jí)抽象問(wèn)題：從含參函數(shù)解析式中取參數(shù)的若干的值，得到若干函數(shù)解析式或圖像，抽象概括出這若干個(gè)解析式那些符合題意，具有應(yīng)有的性質(zhì)，那些不具有應(yīng)有的性質(zhì)。③函數(shù)三級(jí)抽象問(wèn)題：無(wú)解析式的函數(shù)問(wèn)題，可以具體化，估取若干符合已知的函數(shù)，或估畫符合已知的函數(shù)的圖像，然后抽象概括出函數(shù)問(wèn)題的性質(zhì)結(jié)論。

隨著熟練程度的提高，可以用部分思想具體化代替書(shū)面具體化，最后全部用思想具體化而后抽象概括。

三、三角函數(shù)恒等變形

三角函數(shù)恒等變形，三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則產(chǎn)生聯(lián)想從而化歸變形。

（1）一看“角”，通過(guò)看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式.

①看同角與不同交的關(guān)系，善于把不同角化同角。

②看角和、差、倍、半的關(guān)系，善于拆角。

③看整體角之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)整體角間的和差倍半的關(guān)系。

④看已知角和未知角間的關(guān)系，進(jìn)行已知角與未知角的互化。

（2）二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見(jiàn)的有“切化弦”。

（3）三看“結(jié)構(gòu)特征”和次數(shù)，分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向.高次式要降冪擴(kuò)角。

四、立體幾何問(wèn)題和不等式問(wèn)題

通過(guò)調(diào)查可以看出，正向思維，從已知開(kāi)始，通過(guò)聯(lián)想、試驗(yàn)、綜合思維，從已知推出發(fā)散的很多結(jié)論，繼續(xù)聯(lián)想、試驗(yàn)、綜合、發(fā)散得出很多結(jié)論；逆向思維，從結(jié)論出發(fā)，回找它成立的條件，及條件成立的條件。立體幾何問(wèn)題和不等式問(wèn)題難度大，常需要這種綜合分析法尋找解題思路，不等式還可以用比較法、綜合法、分析法、放縮法等。從結(jié)論出發(fā)， 回找它成立的條件是逆向思維；從結(jié)論的否定出發(fā)，回推，構(gòu)造矛盾，就叫反證法。

五、解析幾何問(wèn)題

利用坐標(biāo)系把幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，解決幾何問(wèn)題，是解析幾何主要解題思想，所以要迅速建立坐標(biāo)系，設(shè)未知數(shù)和曲線方程，準(zhǔn)備轉(zhuǎn)化。

積極聯(lián)想，綜合使用幾何條件得到代數(shù)方程，要尋找每個(gè)條件最適當(dāng)?shù)挠梅ā５玫椒匠探M后，不要馬上求解，閱讀結(jié)論，進(jìn)行逆向思維，通常按高考考察方向，解析幾何有兩種題型，求解題和兩個(gè)變量的關(guān)系式題，根據(jù)未知數(shù)個(gè)數(shù)和方程個(gè)數(shù)判斷解的可行性，不可解則條件未有完全使用，存在弱信號(hào)條件被忽略，重新審題，挖掘弱信號(hào)條件，完成解題思路。

六、平面向量，善于用向量幾何語(yǔ)言，向量代數(shù)（基底思、化歸）語(yǔ)言，向量坐標(biāo)解析幾何語(yǔ)言三種語(yǔ)言，形成的三種思想解決向量問(wèn)題。

七、一類關(guān)于自然數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可用數(shù)列有關(guān)知識(shí)，歸納猜想，類比猜想，數(shù)學(xué)歸納法解決有關(guān)問(wèn)題。

（作者單位：陜西省山陽(yáng)中學(xué)）