例談三次函數(shù)問題的求解

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例談三次函數(shù)問題的求解

◇四川胡靜

由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù),而二次函數(shù)又是我們所熟知的一類函數(shù),所以有關(guān)三次函數(shù)問題已成為近年高考命題的一個熱點和亮點.本文擬通過相關(guān)問題的求解,揭示三次函數(shù)的圖象規(guī)律,以便從理論上指導(dǎo)學生的解題實踐.

1根據(jù)函數(shù)的圖象特征,求解析式

圖1

圖2　　　　　　　　　　圖3

2根據(jù)函數(shù)的零點特征,求參數(shù)的取值范圍

A(2,+∞);B(1,+∞);

C(-∞,-2);D(-∞,-1)

圖4

圖5　　　　　　　圖6

3根據(jù)函數(shù)的極值特征,求滿足的條件

①a=-3,b=-3; ②a=-3,b=2;

③a=-3,b>2; ④a=0,b=2; ⑤a=1,b=2.

當a=-3時,因為Δ>0,所以f(x)呈現(xiàn)增減增的形狀,且易知2個極值點為x=±1.對于①:因為f(-1)=-1<0,f(1)=-5<0,可得方程f(x)=0僅有1個實根;對于②:因為f(-1)=4>0,f(1)=0,所以可得方程f(x)=0僅有2個實根;對于③:因為f(-1)=2+b>0,f(1)=b-2>0,所以可得方程f(x)=0僅有1個實根.

當a=0或a=1時,因為Δ≤0,所以f(x)的圖象在R上遞增,顯然方程f(x)=0僅有1個實根.

綜上,所給條件中使得該三次方程僅有1個實根的條件是①③④⑤.

4根據(jù)函數(shù)的拐點特征,巧解題

故所求式的值為1 007×2=2 014.

綜上,明確一元三次函數(shù)的“圖象”規(guī)律,有利于我們從整體上把握問題本質(zhì),從相關(guān)規(guī)律、特點出發(fā)迅速探求解題思路.

(作者單位：四川省彭州市第一中學)