趙 凱,蔡靈倉(cāng),張修路,羅 雰
(1.中國(guó)工程物理研究院流體物理研究所沖擊波物理與爆轟物理實(shí)驗(yàn)室,四川綿陽(yáng) 621999;2.西南科技大學(xué)極端條件物質(zhì)特性實(shí)驗(yàn)室,四川綿陽(yáng) 621010)
過(guò)渡金屬M(fèi)o是高壓物理中常用的基準(zhǔn)材料之一,它的物態(tài)方程(Equation of State,EOS)被用于金剛石壓砧(Diamond Anvil Cell,DAC)實(shí)驗(yàn)中紅寶石熒光的標(biāo)定。自20世紀(jì)90年代以來(lái),實(shí)驗(yàn)和理論計(jì)算對(duì)于Mo的高壓相結(jié)構(gòu)及其穩(wěn)定性一直存在爭(zhēng)議[1-6]。在室溫下,Mo以體心立方(bcc)結(jié)構(gòu)的形式存在。然而,由于過(guò)渡金屬d電子軌道未完全填充的特殊性,高溫高壓下Mo的相轉(zhuǎn)變路徑仍未得到清楚的闡釋。因此,研究高壓下Mo的相行為,有助于形成對(duì)d電子過(guò)渡金屬高壓物性的系統(tǒng)了解。
Hixson等人[1]實(shí)驗(yàn)測(cè)量了Mo的Hugoniot聲速,發(fā)現(xiàn)其在210 GPa壓強(qiáng)附近出現(xiàn)拐折,故認(rèn)為在沖擊熔化之前Mo先發(fā)生了固-固相變,但隨后的靜高壓實(shí)驗(yàn)結(jié)果[2-3]并不支持這種論斷。與此同時(shí),Moriarty[4]和Boettger等人[5]以及Belonoshko等人[6]基于第一原理,計(jì)算研究了Mo的體心立方(bcc)、面心立方(fcc)及密排六方(hcp)結(jié)構(gòu)的相穩(wěn)定性,他們的結(jié)果也不支持在210 GPa附近發(fā)生相變。Cazorla等人[7]考慮非諧效應(yīng)之后進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果表明,在0~600 GPa范圍內(nèi),Mo的fcc和hcp高溫相不會(huì)比bcc相更穩(wěn)定。Wang等人[8]根據(jù)粒子群優(yōu)化算法對(duì)鉬的高壓穩(wěn)定結(jié)構(gòu)進(jìn)行了探索,預(yù)測(cè)了零溫下在660 GPa處的bcc→dhcp相變。以上研究多集中于討論Mo高壓相的熱力學(xué)穩(wěn)定性,而決定其動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性的晶格動(dòng)力學(xué)卻鮮有涉及。
本研究利用第一原理密度泛函方法,研究高壓下Mo的bcc和dhcp相的總能和彈性常數(shù),并利用線性響應(yīng)理論計(jì)算聲子色散關(guān)系;再基于準(zhǔn)諧德拜(Debye)模型研究其熱力學(xué)性質(zhì),如德拜溫度、熱膨脹系數(shù)和熱容量等。
采用CASTEP程序包[9]計(jì)算Mo在零溫下的總能、彈性常數(shù)和聲子譜。交換相關(guān)泛函選用廣義梯度近似(Generalized Gradient Approximation,GGA)的Wu-Cohen(WC)方法[10]。采用Vanderbilt超軟贗勢(shì)[11]描述離子實(shí)與價(jià)電子之間的相互作用,所使用的電子組態(tài)是4s24p64d55s1。布里淵區(qū)的k點(diǎn)積分采用Monkhorst-Pack(MP)方法[12]。經(jīng)過(guò)仔細(xì)測(cè)試,平面波截?cái)嗄苓x為1 keV,布里淵區(qū)的k點(diǎn)采樣分別選為28×28×28(bcc)和25×25×8(dhcp)。為了消除Pulay應(yīng)力的影響,計(jì)算中使用了有限基組修正。自洽場(chǎng)計(jì)算的收斂閾值設(shè)置為1.0 μeV/atom。幾何優(yōu)化采用BFGS算法[13],自洽場(chǎng)的收斂條件設(shè)置為:原子能量偏差小于0.2 μeV/atom,最大海爾曼-費(fèi)曼力偏差小于0.5 eV/nm,最大應(yīng)力偏差小于0.1 GPa,最大位移偏差小于0.000 2 nm。
采用密度泛函微擾理論[14]計(jì)算聲子色散曲線。其中,布里淵區(qū)k點(diǎn)積分采用14×14×14的MP網(wǎng)格,使用模守恒贗勢(shì)[15]描述芯態(tài)電子與價(jià)電子的相互作用,電子組態(tài)為4d55s1,動(dòng)力學(xué)矩陣采用11×11×11的q點(diǎn)網(wǎng)格進(jìn)行計(jì)算。
采用準(zhǔn)諧德拜模型[16]研究Mo在高溫高壓下的熱力學(xué)性質(zhì),非平衡態(tài)Gibbs自由能G*可以寫作
G*(V;p,T)=E(V)+pV+Avib[Θ(V);T]
(1)
式中:V、p、T分別為體積、壓強(qiáng)和溫度,pV表示恒定的靜水壓條件;E(V)是晶體的基態(tài)總能;Θ是德拜溫度;Avib是Helmholtz振動(dòng)自由能,可以寫作
(2)
式中:n是元胞中的原子數(shù);kB是玻爾茲曼常數(shù);德拜積分D定義為
(3)
對(duì)于各向同性固體,德拜特征溫度Θ可以表示為
(4)
式中:?是約化普朗克常量,M是每個(gè)元胞的分子質(zhì)量,BS是絕熱體積模量,μ是泊松比,f(μ)由下式給出
(5)
在給定的壓力和溫度下,對(duì)非平衡Gibbs函數(shù)G*(V;P,T)求V的極小值,即
[?G*(V;p,T)/?Vp,T=0
(6)
求解(6)式方程,可以獲得熱力學(xué)物態(tài)方程,從而求出等溫體積模量BT、熱容量(定容熱容CV和定壓熱容Cp),以及熱膨脹系數(shù)α
(7)
(8)
Cp=CV(1+αγT)
(9)
(10)
式中:γ是Grüneisen系數(shù),定義為
(11)
為了研究Mo的bcc→dhcp相變的臨界壓力,我們計(jì)算了0~1 000 GPa范圍內(nèi)bcc和dhcp相Mo的零溫焓值Hbcc和Hdhcp,結(jié)果如圖1所示。可以看出,Mo在約620 GPa處發(fā)生了bcc→dhcp相變,這與前人的計(jì)算結(jié)果[8]存在約40 GPa的差異,主要原因是采用的波函數(shù)基組和交換相關(guān)泛函不同?;跍?zhǔn)諧德拜模型,研究了不同溫度下Mo的等溫壓縮線。如圖2所示,我們的結(jié)果與Hixson等人[17]的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算結(jié)果符合得很好,但是293 K溫度下的體積卻明顯小于Wang等人[18]基于經(jīng)典平均場(chǎng)理論計(jì)算的結(jié)果,這是因?yàn)閃ang等人采用全勢(shì)線性綴加平面波的方法求解基態(tài)能量,而本研究使用的是贗勢(shì)平面波方法??梢钥闯觯?20 GPa相變點(diǎn)附近,Mo原子體積有輕微的變化。
圖1 bcc和dhcp鉬的零溫焓值之差ΔH隨外界靜水壓的變化關(guān)系Fig.1 Enthalpy difference between bcc and dhcp Mo vs. pressure
圖2 不同溫度下計(jì)算得到的bcc和dhcp鉬的等溫壓縮線Fig.2 Calculated isotherms of bcc and dhcp Mo at given temperatures
圖3、圖4分別給出了零壓和17.2 GPa下bcc-Mo的聲子譜,并與Farber等人[19]的非彈性X射線散射實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比??梢钥闯?,當(dāng)外界壓力為17.2 GPa時(shí),沿著Γ-N方向,TA[110]?001?橫聲學(xué)模的實(shí)驗(yàn)值明顯高于計(jì)算值;而沿著Γ-H方向,TA模在q=0.8處出現(xiàn)明顯的過(guò)度彎曲,這與Farber等人[19]計(jì)算結(jié)果的趨勢(shì)一致。零壓時(shí),我們的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值在大體趨勢(shì)上符合很好,但TA[110]?001?橫聲學(xué)模在布里淵區(qū)邊界(即N點(diǎn)附近)與實(shí)驗(yàn)值差距仍較為明顯。
圖3 零壓下bcc-Mo的聲子色散關(guān)系(空心點(diǎn)是Farber等人[19]的實(shí)驗(yàn)值)Fig.3 Phonon dispersion of bcc-Mo at 0 GPa (Open symbols are the experimental data by Farber et al.[19])
圖4 17.2 GPa下bcc-Mo的聲子色散關(guān)系(空心點(diǎn)是Farber等人[19]的實(shí)驗(yàn)值)Fig.4 Phonon dispersion of bcc-Mo at 17.2 GPa (Open symbols are the experimental data by Farber et al.[19])
為研究Mo的高壓相變,我們計(jì)算了600~1 000 GPa范圍內(nèi)Mo的聲子譜,部分結(jié)果如圖5所示。當(dāng)外界壓力從600 GPa上升到800 GPa時(shí),TA[110]?001?橫聲學(xué)模在q=0.25附近出現(xiàn)強(qiáng)烈的軟化。當(dāng)壓力達(dá)到1 000 GPa時(shí),TA[110]?001?模在q=0.25和0.33處均出現(xiàn)虛頻,而這兩個(gè)振動(dòng)模分別對(duì)應(yīng)bcc→dhcp和bcc→9R的結(jié)構(gòu)相變[20]。盡管bcc-Mo的動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定性出現(xiàn)在1 000 GPa附近,但是結(jié)構(gòu)相變可能在此之前已經(jīng)發(fā)生。這與Krasilnikov等人[21]計(jì)算的1 000 GPa聲子譜有較大差異,他們的結(jié)果中,僅在q=0.25 附近出現(xiàn)虛頻。因此,高壓下dhcp和9R結(jié)構(gòu)的相對(duì)穩(wěn)定性還需要進(jìn)一步深入的研究。為進(jìn)一步精確地判定bcc-Mo發(fā)生動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定的壓力點(diǎn),我們分別計(jì)算了925和950 GPa下的TA[110]?001?模,結(jié)果如圖6所示,在950 GPa處聲子譜就已經(jīng)出現(xiàn)了虛頻。圖7給出了600和900 GPa下dhcp-Mo的聲子譜,可以看出,在600 GPa時(shí)dhcp-Mo已經(jīng)是動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定的結(jié)構(gòu),從而保證了本研究所確定的620 GPa相變點(diǎn)的有效性。
圖5 不同靜水壓下bcc-Mo的聲子色散關(guān)系Fig.5 Phonon dispersions of bcc-Mo under different pressures
圖6 bcc-Mo在925和950 GPa下的聲子色散關(guān)系Fig.6 Phonon dispersions of bcc-Mo at 925 and 950 GPa
圖7 不同靜水壓下dhcp-Mo的聲子色散關(guān)系Fig.7 Phonon dispersions of dhcp-Mo under different pressures
基于彈性常數(shù)的第一原理計(jì)算,預(yù)測(cè)了bcc和dhcp結(jié)構(gòu)Mo的力學(xué)穩(wěn)定性,結(jié)果分別如圖8和表1所示。對(duì)于立方晶體,在外部靜水壓作用下的力學(xué)穩(wěn)定性判據(jù)如下[22]
(12)
而六角密堆積結(jié)構(gòu)的力學(xué)穩(wěn)定性判據(jù)則是
(13)
從圖8可以看出,在0~1 000 GPa范圍內(nèi),bcc-Mo是力學(xué)穩(wěn)定的,我們所計(jì)算的彈性穩(wěn)定性與Krasilnikov等人[21]計(jì)算結(jié)果的趨勢(shì)一致,但呈現(xiàn)出較大的波動(dòng),表明bcc-Mo的力學(xué)性能隨著壓力的增加而表現(xiàn)出復(fù)雜的變化行為。表1列出了不同壓力下dhcp-Mo的力學(xué)穩(wěn)定性判據(jù)。結(jié)果表明,在400 GPa以上,dhcp結(jié)構(gòu)都是穩(wěn)定的。結(jié)合以上熱力學(xué)和晶格動(dòng)力學(xué)計(jì)算結(jié)果可以判斷,dhcp結(jié)構(gòu)在620 GPa以上是可以穩(wěn)定存在的相。
圖8 bcc-Mo的力學(xué)穩(wěn)定性隨壓力的變化關(guān)系Fig.8 Mechanical stability of bcc-Mo as a function of pressure
表1 1 000 GPa范圍內(nèi)dhcp-Mo的力學(xué)穩(wěn)定性Table 1 Mechanical stability of dhcp-Mo up to 1 000 GPa
利用準(zhǔn)諧德拜模型,計(jì)算了bcc和dhcp相Mo在不同溫度下的熵S、德拜溫度Θ、熱膨脹系數(shù)α,以及Grüneisen參數(shù)γ。如圖9所示,在給定溫度下,Mo的德拜溫度隨壓力的升高而增大,而在給定壓力下,它隨著溫度的升高而減小,且在620 GPa相變點(diǎn)附近變化很小。圖10給出了熵S隨壓力和溫度的變化關(guān)系。可以看出,S隨著壓力的增加逐漸減小,隨著溫度的升高而增大,說(shuō)明外界壓力和溫度的施加分別對(duì)應(yīng)著有序和無(wú)序的競(jìng)爭(zhēng)。應(yīng)該注意到,德拜模型所能計(jì)算的熵,乃是出于對(duì)理想聲子氣體的統(tǒng)計(jì)。圖7說(shuō)明,在相變點(diǎn)附近,聲子氣體的混亂程度幾乎沒有變化。
圖9 不同溫度下Mo的德拜溫度隨壓力的變化關(guān)系Fig.9 Debye temperature of Mo vs. pressure at different temperatures
圖10 不同溫度下Mo的熵隨壓力的變化關(guān)系Fig.10 Entropy of Mo as a function of pressure at different temperatures
圖11是不同溫度下Mo的熱膨脹系數(shù)α隨壓力的變化關(guān)系。由圖11可以看出,在100 GPa以下,隨著壓力的增加,α的變化較為劇烈,且不同溫度下α的差值變化也較大;而當(dāng)壓力高于300 GPa后,隨著壓力的增加,α變化較小,且不同溫度下α的差值幾乎不變。這說(shuō)明當(dāng)壓力較小時(shí),尚不能對(duì)溫度產(chǎn)生的膨脹效應(yīng)起到很好的抑制作用;而當(dāng)壓力足夠高時(shí),即便非常高的溫度也難以讓原子間距明顯地增大。在620 GPa附近,bcc和dhcp結(jié)構(gòu)相的熱膨脹系數(shù)差異很小,但均隨著溫度的升高而逐漸增大。
如圖12所示,在給定溫度下,Mo的定容熱容CV隨壓力升高而減小,且溫度越低,熱容曲線的斜率越大,下降得就越快;在5 000 K以上,CV幾乎不隨壓力變化,并趨近經(jīng)典的Dulong-Petit極限3nNAkB(n是分子中的原子數(shù),NA為阿伏伽德羅常數(shù),kB為波爾茲曼常數(shù)),對(duì)于Mo,n=1,Dulong-Petit極限約等于24.95 J/(mol·K)。而在一定壓力下,CV隨著溫度的升高而增大。這說(shuō)明增加壓力和降低溫度對(duì)調(diào)節(jié)熱容量的變化有相同的效果。
圖11 不同溫度下Mo的熱膨脹系數(shù)隨壓力的變化關(guān)系Fig.11 Thermal expansions of Mo vs. pressure at different temperatures
圖12 不同溫度下Mo的熱容量隨壓力的變化關(guān)系Fig.12 Isochoric heat capacity of Mo as a function of pressure at different temperatures
基于平面波贗勢(shì)密度泛函理論,研究了過(guò)渡金屬M(fèi)o在高壓下的結(jié)構(gòu)性質(zhì)、相變、晶格動(dòng)力學(xué)以及熱力學(xué)性質(zhì)。計(jì)算得出的等溫壓縮線與前人的理論計(jì)算結(jié)果符合得很好。通過(guò)比較bcc和dhcp相的焓值之差,預(yù)測(cè)了620 GPa處發(fā)生bcc→dhcp的結(jié)構(gòu)相變。聲子譜的計(jì)算結(jié)果在較低壓力下與實(shí)驗(yàn)非常吻合,而在較高壓力下,bcc結(jié)構(gòu)可能會(huì)向dhcp或9R結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變,其相變路徑還有待進(jìn)一步深入的研究。最后,系統(tǒng)地研究了高壓高溫下Mo的熱力學(xué)性質(zhì),如德拜溫度、熵、熱膨脹系數(shù)以及熱容量等。計(jì)算結(jié)果表明,在相變臨界點(diǎn)620 GPa附近,Mo的熱力學(xué)性質(zhì)并沒有發(fā)生顯著的變化;而升高壓力或降低溫度,對(duì)于熱力學(xué)性質(zhì)的調(diào)制有相同的效果。
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