關于三角剖分的簡單分析

■張堯 馬聰 劉翔

（遼寧省地質勘查院遼寧大連116100）

關于三角剖分的簡單分析

■張堯 馬聰 劉翔

（遼寧省地質勘查院遼寧大連116100）

在物探的工作過程中，為了繪制等值線圖，必須對實測的離散數據進行網格化。由于受到了客觀要求，我們工作中繪制的等值線圖所使用的網格化方法均為三角形剖分法。在長期使用三角剖分的繪圖工作過程中遇到了種種現象，如：所繪等值線與手繪等值線相似性較大；所繪等值線圓滑程度不理想；所繪等值線容易出現順線的趨勢等?，F本人試圖對以上現象進行簡單分析，并將一些感想寫下來。

三角剖分網格化物探

本人所在二級單位主要使用mapgis及GeoIPAS作為繪圖軟件繪制物探的等值線圖。以上兩種軟件分別提供了數種不同的網格化方法，為了與三角剖分做比較，現列舉幾種主要的加以描述：

克里格方法是根據相鄰變量的值,利用變差函數所揭示的區(qū)域化變量的內在聯系來估計空間變量數值。該方法總是盡可能地去描述原數據所隱含的趨勢特征,以區(qū)域化變量理論為基礎,以變差函數為主要工具,在保證研究對象的估計值滿足無偏性條件和最小方差條件的前提下求得估計值[1]。

最小曲率法采用迭代的方法逐次求取網格節(jié)點數據,其插值面類似一個薄的、線性—彈性形變板,該“板”經過所有的數據點,且每個數據點具有最小曲率。在盡可能體現原數據的同時,最小曲率法產生盡可能的光滑曲面,繪制的圖件比較美觀。

徑向基函數法,是多個數據插值方法組合的一種多形式網格化方法。其基函數是由單個變量的函數構成的,通過選擇不同的基本函數來定義不同的加權方法,進行不同方式的網格化。所有徑向基函數插值法都是準確的插值器,它們都能盡量適應數據。

三角形剖分法是一種嚴格的插值方法,使用最佳的Delaunay三角形,通過直線連接各數據點形成一系列三角形,并且所有的三角形互不相交,每個三角形內的網格節(jié)點值由該三角平面決定。由于采用所有的數據點去構造三角形,因而原數據能得到很好的體現,給定三角形內的全部節(jié)點都要受到該三角形的表面限制。最佳三角形的選取原則為：三角形三個內角盡量都是銳角，三條邊長度盡量相等，最小角最大化。因此最適合三角剖分的離散數據排列方式如圖1所示，即連成的三角形均是等邊三角形。

各種網格化方法原理及切入點雖然各異，但最終目的相同，都是為了做成連續(xù)的曲面，盡量真實的反應實際的地球物理場狀況。各種網格化方法決定待插值結果的因素我認為有以下幾點（待補充）

（1）插值所使用的數學模型。這是決定不同網格化方法的直接因素，采用不同的插值方法對最終結果的精度及曲線的圓滑程度等都有直接影響。為了盡量達到更高的精度，一些網格化方法使用較為繁瑣而復雜的函數，所繪制等值線圓滑而細膩。相對而言，三角剖分采用的差值方法相當于兩個線性插值的疊帶（如果待插點位于三角形邊上則插值方法僅為線性插值），函數非常簡單，因此所繪制的等值線不夠圓滑，較為生硬。Mapgis在以TIN成圖的過程中可以對曲線做一定程度的圓滑處理，這是在網格已經生成之后所做的，應屬拋開插值單獨做圓滑處理，是為了盡量扼制局部的曲率突變，而非考慮實際地球物理場的規(guī)律，處理程度若較大會使精度大幅下降，有時甚至出現等值線交叉的情形。

圖1 三角剖分最理想的網度

（2）待插值與參與插值原始數據的距離。以此為切入點的網格化方法稱為距離法，由此將過程細化復雜化而衍生出一系列方法。各種網格化方法均或多或少受距離影響，即待插點越接近原始數據，則其結果越受之控制。三角剖分顯然也受距離影響，如圖2所示：A、B、C為圍成三角形的三個原始數據，D點為待插點。若其余條件未變而使C點處于如圖2-2位置，D點與C點間的距離減少，相較圖2-1,D點的結果更受C點控制。

圖2

（3）參與每一待插點的插值過程的原始數據范圍。參與單一待插點差值的原始數據范圍越小，越能突出局部細節(jié)，范圍越大則越突出區(qū)域特征而扼制局部細節(jié)。范圍過大則生成曲面過于平緩、細節(jié)大量流失，范圍過小則不能連成完整曲面。一些網格化方法可以自由選擇圈定原始數據范圍，可以使結果細節(jié)完善或反映區(qū)域信息，與之相比三角剖分網格不能脫離最佳三角形，已進行最優(yōu)選而得到唯一結果（除非最佳三角形不只一種可能性），參與單點插值的原始數據只能為2-3個，所繪等值線為唯一結果。

綜上所述我認為三角剖分相較于其他網格化方法是一種簡單、直接、結果唯一的插值方法，當精度要求不高時算是一種比較好的網格化方法?，F試圖對前文所述現象加以解釋：

所繪等值線與手繪等值線相似性較大，我認為造成這種現象的原因在于兩者均有以下特征：1.尊重原始數據。三角剖分由于采用線性插值，因此不會產生高于原始數據最高值及低于原始數據最低值的點，曲面極大值與極小值與原始數據的位置與數值均保持完全一致；2.原始數據點與點之間的差值分配按照線性分配；3.圓滑方式相似。單憑人力在有限的原始數據中不能發(fā)現最能反映客觀地球物理場的規(guī)律，因此手繪的圓滑處理出于一定程度上的合理以及美觀的目的，與前文三角剖分的圓滑方式類似。

所繪等值線圓滑程度不理想，前文已經提到是由于三角剖分使用線性函數插值，不再闡述。

所繪等值線容易出現順線的趨勢，這是由于我們的物探工作所采用的網度都是線距大于點距，形成的最佳三角形最短邊是第二短邊的1/2.5或1/5，并不十分理想。如圖3-1所示，A、B、C為三個實測點，其中A、B為同一條線上相鄰測點，A、C為相鄰線上同一測點。以A、B、C構成最佳三角形，其對應的三條邊分別為a、b、c，由于三個點均為實測點，其對代插點的控制能力相同。在c，a上分別取點D、E，令BD=BE=r，D點的插值結果受A、B點的數據的控制，E點的插值結果受B、C控制。現不斷變化r值觀察D、E的受控情況：當r趨于0時，D、E均只受B控制，受控制程度相同；隨著r不斷變大，D、E受B的控制不斷減小并分別漸漸開始受A、C的控制，總的受控程度均漸漸降低。由于AD

圖3

圖4

[1]劉兆平，楊進，武煒.地球物理數據網格化方法的選取 [J].物探與化探，2010，34（1）93-9

P631[文獻碼]B

1000-405X（2016）-6-84-2