基于Kriging模型的土質(zhì)邊坡可靠度計(jì)算方法

滕　斌， 陳　浩

(重慶科創(chuàng)職業(yè)學(xué)院， 信息與建筑工程學(xué)院， 重慶 永川　402160)

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基于Kriging模型的土質(zhì)邊坡可靠度計(jì)算方法

滕斌， 陳浩

(重慶科創(chuàng)職業(yè)學(xué)院， 信息與建筑工程學(xué)院， 重慶 永川402160)

[摘要]邊坡可靠度計(jì)算過(guò)程因其功能函數(shù)隱式特征及高度非線性而較為繁瑣，結(jié)合Janbu法與Kriging插值函數(shù)方法建立一種易于操作的邊坡可靠度計(jì)算方法。首先，根據(jù)Janbu法原理建立邊坡可靠度計(jì)算的功能函數(shù)；然后，通過(guò)對(duì)變異性較大的參數(shù)進(jìn)行拉丁超立方抽樣，抽取一定規(guī)模的隨機(jī)樣本，同時(shí)引入Kriging插值函數(shù)方法，結(jié)合上述抽樣樣本構(gòu)件新的功能函數(shù)，用Kriging代理模型解決原邊坡穩(wěn)定功能函數(shù)所存在的隱式問(wèn)題；最后，通過(guò)一個(gè)工程實(shí)例，表明該方法具有較高的計(jì)算效率，與傳統(tǒng)蒙特卡洛法相比，精度優(yōu)良，具有很強(qiáng)的工程實(shí)用價(jià)值。

[關(guān)鍵詞]邊坡工程； Janbu法； 可靠度； Kriging算法； 蒙特卡洛法

1概述

穩(wěn)定性分析是目前巖土工程界的一個(gè)核心問(wèn)題，尤其是邊坡穩(wěn)定分析事關(guān)公路、鐵路、建筑物等的安全保障評(píng)價(jià)的核心內(nèi)容，具有實(shí)用性強(qiáng)，涉及面廣等特點(diǎn)。邊坡穩(wěn)定分析經(jīng)過(guò)多年發(fā)展，理論基礎(chǔ)及計(jì)算方法已經(jīng)得到不斷的提升與改善，尤其是近年來(lái)計(jì)算機(jī)的普及是其進(jìn)入到一個(gè)全新階段[1]。但是邊坡的穩(wěn)定性主要取決于巖土的物理力學(xué)特性[2，3]、破壞模式等多種因素，同時(shí)邊坡工程所處的環(huán)境具有較大的不確定性、離散性與復(fù)雜性[4]，受上述因素的影響，在邊坡穩(wěn)定分析中各種參數(shù)的取值具有很強(qiáng)的不確定性，因此將邊坡穩(wěn)定性方法研究歸結(jié)起來(lái)可分為兩類(lèi)：即確定性方法和不確定性方法，確定性方法是邊坡穩(wěn)定性研究的基本方法，它包括極限平衡分析法、極限分析法、數(shù)值分析法。不確定性方法主要有隨機(jī)概率分析法等。

極限平衡法是邊坡穩(wěn)定分析的傳統(tǒng)方法，該方法是基于確定性模型，通過(guò)安全系數(shù)定量評(píng)價(jià)邊坡的穩(wěn)定性，該方法原理簡(jiǎn)易、計(jì)算方便，因此被工程界廣泛應(yīng)用。該法基于剛塑性理論，只注重土體破壞瞬間的變形機(jī)制，而不關(guān)心土體變形過(guò)程，只要求滿(mǎn)足力和力矩的平衡、Mohr-Coulomb準(zhǔn)則。但在計(jì)算邊坡安全系數(shù)時(shí)不能考慮參數(shù)的不確定性，沒(méi)有考慮土體本身的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，不能反映邊坡變形破壞的過(guò)程，其求解過(guò)程大致如下： ①先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和理論，預(yù)設(shè)一個(gè)可能形狀的滑動(dòng)面； ②通過(guò)分析臨近破壞情況，建立土體外力與內(nèi)部強(qiáng)度所提供抗力之間的平衡模式； ③根據(jù)上述模式計(jì)算土體在自身荷載作用下的邊坡穩(wěn)定性過(guò)程。但由于其概念簡(jiǎn)單明了，且在計(jì)算方法上形成了大量的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)和計(jì)算模型，仍為邊坡穩(wěn)定性分析最主要的分析方法。在工程實(shí)踐中，可根據(jù)邊坡破壞滑動(dòng)面的形態(tài)來(lái)選擇相應(yīng)的極限平衡法。目前常用的極限平衡法有瑞典條分法、Bishop法[5]、Janbu法、Spencer法、Sarma法Morgenstern-Price法和不平衡推力法等。

若土坡下面有軟弱夾層，或土坡位于傾斜巖層面上，滑動(dòng)面形狀受到夾層或硬層影響而呈現(xiàn)非圓弧形狀，一些常用的計(jì)算方法將不適用，如瑞典條分法、Bishop法。而Janbu法[6]假設(shè)了條間合力點(diǎn)的位置，并令豎向荷載合力通過(guò)條塊底面中心，可同時(shí)考慮條間豎向力和水平力的作用，滿(mǎn)足所有力及力矩平衡條件，因此其適合任意的破壞類(lèi)型。在實(shí)際工程中常常會(huì)遇到非圓弧滑動(dòng)面的突破穩(wěn)定分析，因此Janbu法具有很強(qiáng)的工程實(shí)用性。但是基于Janbu法建立的穩(wěn)定功能函數(shù)大多為隱式函數(shù)，對(duì)常規(guī)可靠度求解相當(dāng)困難，如常用的一次二階矩法、二次二階矩法、蒙特-卡洛法等，但隨著計(jì)算方法的不斷創(chuàng)新與改善，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)邊坡穩(wěn)定可靠度進(jìn)行了大量的實(shí)用研究[7，8]。Kriging模型由南非地質(zhì)學(xué)者Krige D G[9](1951)最早提出，該方法的半?yún)?shù)化插值技術(shù)的計(jì)算性能優(yōu)良。本文將Kriging抽樣模擬方法引入到邊坡工程可靠度計(jì)算中，以解決邊坡功能函數(shù)的隱式問(wèn)題，具有計(jì)算精度高、計(jì)算效率優(yōu)良等特點(diǎn)，具有很好的工程實(shí)用價(jià)值。

2基于Janbu法的邊坡穩(wěn)定功能函數(shù)

圖1　Janbu條分法的計(jì)算簡(jiǎn)圖Figure 1　A diagram calculation of janbu method

取任一土條如上圖所示，需求的未知量有：土條底部法向反力Ni(n個(gè))；法向條間力之差△Ei(n個(gè))；切向條間力Xi(n-1個(gè))及安全系數(shù)Fs?？赏ㄟ^(guò)對(duì)每一土條力和力矩平衡建立3n個(gè)方程求解。

對(duì)每一土條取豎向力的平衡，則：

(1)

再取水平向力的平衡，有：

ΔEi=Nisinαi-Tficosαi=

(2)

由圖1可以看出：土條條塊側(cè)面的法向力E，顯然有E1=ΔE1，E2=ΔE1+ΔE2依次類(lèi)推，有：

(3)

對(duì)土條中點(diǎn)取力矩平衡，并略去高價(jià)微量，則：

Xi=-Eitanαti+htiΔEi/bi

(4)

再由整個(gè)土坡∑Ei=0可得

(5)

根據(jù)安全系數(shù)的定義和摩爾-庫(kù)倫破壞準(zhǔn)則：

(6)

聯(lián)合求解式(1)及式(6)，得：

(7)

將式(7)代入式(5)，可得基于Janbu法的邊坡穩(wěn)定性系數(shù)Fs如下：

(8)

綜上，可以發(fā)現(xiàn)式(8)，基于Janbu法的邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)Fs本身都是ci，tanφi，Wi及Fs自身的函數(shù)，即屬于隱式函數(shù)，同時(shí)為非線性。然而邊坡功能函數(shù)的建立是以穩(wěn)定性系數(shù)為基礎(chǔ)的，即：

Z=Fs-1

(9)

該功能函數(shù)為復(fù)雜的隱式函數(shù)，采用傳統(tǒng)求解方法十分困難，需要尋求新的替代求解方法。

3可靠度計(jì)算方法

3.1拉丁超立方抽樣方法

拉丁超立方法(Latin Hypercube Sampling)試驗(yàn)設(shè)計(jì)是由McKay等(1980)專(zhuān)門(mén)為仿真試驗(yàn)提出的一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)類(lèi)型。它是一種充滿(mǎn)空間設(shè)計(jì)，使輸入組合相對(duì)均勻地填滿(mǎn)整個(gè)試驗(yàn)區(qū)間。拉丁超立方法原理如下所示：

① 定義參與計(jì)算機(jī)運(yùn)行的抽樣數(shù)目N；

③ 對(duì)每一列僅抽取一個(gè)樣本，各列中樣本的位置是隨機(jī)的。

3.2Kriging插值函數(shù)方法

(10)

此處，λi為待定加權(quán)系數(shù)。

由于Kriging插值函數(shù)是根據(jù)無(wú)偏估計(jì)和方差最小兩項(xiàng)要求來(lái)確定上式中的加權(quán)系數(shù)λi的，故稱(chēng)為最優(yōu)內(nèi)插法。

① 無(wú)偏估計(jì)原理。

(11)

將式(10)代入(11)式，應(yīng)有：

(12)

(13)

利用式(10)，經(jīng)推導(dǎo)方差：

(14)

i=1，2…，N

(15)

由式(15)和式(12)組成n+1階線性方程組，求解此線性方程組便可得到n個(gè)加權(quán)系數(shù)λi和拉格朗日算子φ。該線性方程組可用矩陣形式表示：

γ11γ12…γ1N1γ21γ22…γ2N1……γN1γN2…γNN111…10ì?í??????üty??????λ1λ2?λN?ì?í??????üty??????=γ10γ20?γN01ì?í??????üty??????

(16)

3.3基于Janbu法的邊坡穩(wěn)定可靠度計(jì)算

本文利用Kriging算法處理非線性問(wèn)題的高度適應(yīng)性，解決了基于Janbu法的邊坡穩(wěn)定功能函數(shù)的高度非線性問(wèn)題，該方法具體求解可靠度過(guò)程如下所示：

① 根據(jù)Janbu法的求解過(guò)程，建立邊坡穩(wěn)定功能函數(shù)表達(dá)式；

② 采用拉丁超立方抽樣方法，對(duì)工程實(shí)際中變異性較大的相關(guān)參數(shù)，抽取樣本空間n=20的隨機(jī)樣本x1，x2，x3，…，xn；

③ 根據(jù)隨機(jī)抽樣樣本，采用相關(guān)的數(shù)值分析軟件如Ansys，Abaqus，F(xiàn)lac等求出其功能函數(shù)值。

④ 根據(jù)抽樣樣本及其功能函數(shù)值，利用Kriging差值函數(shù)原理建立邊坡功能函數(shù)的Kriging代理模型；

⑤ 進(jìn)行中心抽樣，利用蒙特-卡洛法計(jì)算原理輸出失效概率。

4工程實(shí)例分析

某邊坡橫向坡面圖如圖2所示，假設(shè)該邊坡為粘土土質(zhì)邊坡，土質(zhì)均勻，坡高20 m，坡長(zhǎng)10 m，為公路路基常見(jiàn)的邊坡形式，取變異性較大的粘聚力c、內(nèi)摩擦角φ、重度γ為抽樣樣本對(duì)象，其力學(xué)特性如表1所示。

圖2　邊坡剖面圖(單位： m)Figure 2　Geometry of slope(units： m)

表1 邊坡土層物理力學(xué)性質(zhì)特性統(tǒng)計(jì)特征Table1 Physicalandmechanicalparameterspropertiesandstatisticalcharacteristicsofslope隨機(jī)變量取值范圍均值/μ標(biāo)準(zhǔn)差/σc/MPa6.2～9.57.20.17φ/(°)13.6～15.914.280.30γ/(kN·m-3)18.7～21.220.90.56

以前文所述Janbu法進(jìn)行求解計(jì)算，并運(yùn)用拉丁超立方抽樣方法進(jìn)行樣本抽樣，所抽取的擬合樣本如表2所示。并運(yùn)用表2所示樣本及其特征函數(shù)值，建立Kriging差值函數(shù)模型，最后進(jìn)去可靠度求解。計(jì)算結(jié)果如表3所示，可以看出，采用直接蒙特卡洛法進(jìn)行求解，需要大量的計(jì)算次數(shù)，才能取得穩(wěn)定結(jié)果，而采用本文方法，只需20次計(jì)算量，便能求出合理的計(jì)算介紹，如果把蒙特卡洛法作為精確解，則本文方法誤差只有2.18%，滿(mǎn)足工程要求。

表2 算例抽樣樣本Table2 Samplesofengineeringexample樣本序號(hào)c/kPaΦ/(°)γ/(kN·m-3)樣本序號(hào)c/kPaΦ/(°)γ/(kN·m-3)19.50014.56819.489118.45814.20521.06826.72115.05320.937127.58913.96319.09537.06815.65819.226138.80513.60018.70048.28414.32619.884147.76314.81119.75359.32614.08420.542156.54713.72119.62169.15315.77920.279166.37415.41619.35877.93714.68920.147177.41615.17420.01686.89515.90021.200188.63213.84220.67498.11115.53720.805198.97914.44718.963107.24215.29518.832206.20014.93220.411

表3 工程實(shí)例1計(jì)算結(jié)果對(duì)比Table3 Comparisonofresultsforexample1計(jì)算方法計(jì)算量/次失效概率Pf可靠度指標(biāo)β相對(duì)誤差/%蒙特卡洛法1055.33×10-43.2725—本文方法204.13×10-43.34392.18

5結(jié)論與建議

本文基于目前Janbu法建立的邊坡穩(wěn)定功能函數(shù)具有隱式特征及高度非線性問(wèn)題，研究一種計(jì)算效率較高邊坡穩(wěn)定可靠度計(jì)算方法，具體取得了如下成果：

① 根據(jù)Janbu法理論，建立基于極限平衡條件的邊坡穩(wěn)定功能函數(shù)表達(dá)式。

② 引入Kriging插值函數(shù)法，對(duì)高度非線性的邊坡功能函數(shù)進(jìn)行代理求解，以解決邊坡穩(wěn)定功能函數(shù)隱式特征這一特點(diǎn)。

③ 建立邊坡穩(wěn)定可靠度計(jì)算流程。且通過(guò)一個(gè)工程實(shí)例，表明該方法求解過(guò)程清晰，計(jì)算效率高，計(jì)算精度能滿(mǎn)足工程要求，具有較好的工程實(shí)用價(jià)值。

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Reliability Calculation Method of Soil Slope Engineering Based on Kriging Model

TENG Bin， CHEN Hao

(Kechuang Vocation College， College of Information and Architectural Engineering， Yongchuan， Chongqing 402160， China)

[Abstract]Slope reliability calculation process is more difficult by complicated characteristics and its implicit function of highly nonlinear function，In this paper，an easy-to-operate method slope reliability calculation has been established by Janbu method and Kriging interpolation method.First，creating a performance function of slope reliability calculation method based on Janbu principle.Then，the large variability of parameters were performed sampling through Latin Hypercube Sampling method，to extract a random sample of a certain size，while introduction of Kriging interpolation function method，and combined with new features function above sampling sample components to solve the implicit question of original slope stabilization function.Finally，an engineering example was analyzed by above method，show that how that the method has higher efficiency and excellent accuracy compared to traditional Monte Carlo method.

[Key words]slope engineering； janbu method； reliability； kriging interpolation method； monte carlo method

[中圖分類(lèi)號(hào)]U 416.1+4

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1674-0610(2016)01-0143-04

[作者簡(jiǎn)介]滕斌(1981-)，男，四川德陽(yáng)人，講師，主要從事建筑及巖土方面教學(xué)及研究。

[基金項(xiàng)目]重慶市高等教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目(113256)

[收稿日期]2014-10-11