高速旋轉薄壁圓柱殼的行波共振特性研究

王　宇， 谷　月， 李　暉， 韓　冰(. 遼寧科技大學 機械工程與自動化學院，遼寧　鞍山　405；.遼寧科技大學 理學院，遼寧　鞍山　405；.東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽　089)

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高速旋轉薄壁圓柱殼的行波共振特性研究

王宇1， 谷月2， 李暉3， 韓冰1(1. 遼寧科技大學 機械工程與自動化學院，遼寧鞍山114051；2.遼寧科技大學 理學院，遼寧鞍山114051；3.東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽110819)

摘要：基于傳遞矩陣法研究了不同邊界條件下高速旋轉薄壁圓柱殼的行波共振特性。首先，基于Love 殼體理論，考慮離心力、科氏力和慣性力的影響，建立了旋轉態(tài)薄壁圓柱殼的振動微分方程；然后，引入傳遞矩陣方法，根據(jù)殼體子段間的狀態(tài)向量表達式，推導了結構的整體傳遞矩陣；最后，通過高精度的精細積分法進行求解，得到了兩端簡支、兩端固支和固支-自由邊界條件下的共振特性。算例結果表明，傳遞矩陣方法適合于求解高速旋轉薄壁圓柱殼的行波共振特性，在三種邊界條件下以周向模態(tài)的振動為主；在工作轉速和1倍頻激振力作用下，共振裕度小于10%的共振轉速點僅有一個，而在其他倍頻激振下的共振轉速點不在安全裕值范圍內。

關鍵詞：高速旋轉；薄壁圓柱殼；邊界條件；傳遞矩陣法；共振特性

在汽輪機和航空發(fā)動機等動力旋轉機械中廣泛采用著薄壁圓柱殼結構，在服役過程中，很多振動疲勞損傷故障是由于復雜工況引起的共振造成的，對高速旋轉薄壁圓柱殼構件的共振特性進行研究，判斷發(fā)生共振時的轉速、頻率和振型之間的關系，具有重要的參考價值和工程意義。

關于旋轉態(tài)圓柱殼和轉子系統(tǒng)的振動問題，相關學者進行了許多研究，但是對于高速旋轉薄壁圓柱殼共振特性的研究還比較少，目前的研究成果主要有：Ng等[1]基于Donnell殼體理論，研究了周期載荷作用時旋轉圓柱殼的共振特性。Sun等[2]基于Sanders殼體理論，采用傅里葉級數(shù)展開法研究了旋轉圓柱殼的振動特性。Hosseini-Hashemi等[3]采用狀態(tài)空間法，求解了旋轉功能梯度中厚圓柱殼的固有頻率和臨界轉速。李健等[4]應用Donnell殼體理論和復分析法，提出了確定旋轉薄壁懸臂圓柱殼共振頻率及轉速的方法。王海霞等[5]針對航空發(fā)動機機匣振動超限的情況，得出固有頻率共振是引起發(fā)動機機匣振動超限的主要原因。曹登慶等[6]考慮鼓盤式轉子中轉子渦動與鼓筒間的耦合作用，分析了轉子渦動對鼓筒振動特性的影響。金路等[7]以單盤對稱轉子為對象，研究了在臨界轉速點的振動和共振過程。李永強等[8]采用Flügge殼體理論，得到了圓柱殼波動共振轉速的計算公式。劉彥琦等[9]基于Love殼體理論，分析了旋轉圓柱殼的自由振動特性和幾何參數(shù)的影響。李波波等[10]采用有限元法分析了轉子系統(tǒng)振動的Campbell 圖和臨界轉速等特性。孫述鵬[11]研究了轉動薄壁圓柱殼的行波振動特性，分析了葉輪機械中鼓筒部件的動力學特性?？嫡佥x等[12]通過傳遞矩陣法，對含軸型盤轉子系統(tǒng)的臨界轉速進行了分析，并對前3階臨界轉速進行了比較。田野等[13]采用有限元方法研究了整體式轉子和焊接式轉子的臨界轉速，討論了支撐和裝配方式對臨界轉速的影響。

基于Love殼體理論，在兩端簡支、兩端固支和固支-自由三種邊界條件下，采用傳遞矩陣法對高速旋轉薄壁圓柱殼的振動特性進行求解，得到了在不同倍頻激振作用下的共振特性，找出激振力頻率與行波頻率接近時發(fā)生共振的條件，并通過文獻對兩端簡支邊界條件下的共振特性進行比較。

1旋轉態(tài)薄壁圓柱殼的行波共振特性

1.1旋轉態(tài)薄壁圓柱殼模型

旋轉態(tài)薄壁圓柱殼的模型如圖1(a)所示，在柱坐標系Oxθz中，原點O為端面上的圓心，圓柱殼以角速度Ω繞x軸轉動，u(x,θ,t)、v(x,θ,t)和w(x,θ,t)分別為中面上任意一點在縱向、切向和徑向三個方向上的位移，L、H和R分別為薄壁圓柱殼的長度、壁厚和中面半徑。

圖1　旋轉態(tài)薄壁圓柱殼模型Fig.1 A model of rotating thin cylindrical shell

1.2基于傳遞矩陣法的共振特性求解

如圖1所示，將薄壁圓柱殼沿長度方向分成n0個子段，每個區(qū)段的長度分別為L1,L2,…,Li,…Ln0，基于Love殼體理論[14]，每一區(qū)段薄壁圓柱殼的振動微分方程為

(1a)

(1b)

(1c)

等效Kirchhoff面內切力Vx和橫向剪力Sx為

(2a)

(2b)

中面法線繞x軸的轉角θx、內力Nx和內力矩Mx的表達式為

(3a)

(3b)

(3c)

定義位移解的形式為

(4a)

(4b)

(4c)

式中，m表示軸向半波數(shù)，n表示周向波數(shù)，ωmn表示行波頻率，“+”和“-”表示科氏力引起的后行波和前行波。

沿薄壁圓柱殼的縱向分為n0個子段，共n0+1個截面，任一截面上的狀態(tài)向量為

(5)

在狀態(tài)向量中的位移、轉角、內力和內力矩表示為

(6)

對變量進行整合，得到一階常微分方程組為

(7)

對于某一區(qū)段的兩個相鄰截面，從一個端面至另一個端面的傳遞關系為

(i=1,…,n0)

(8)

其中，相鄰兩個截面的傳遞矩陣關系為

(i=1,…,n0)

(9)

在兩端簡支、兩端固支和固支-自由邊界條件下，行波頻率采用以下方法進行求解，即

(10)

令式(11)的系數(shù)行列式為零，可求得行波頻率，即

det(T′)=0

(11)

(12)

(13)

當激振力頻率與行波頻率成如下關系時殼體將發(fā)生共振，即

ωmn=N·ωe

N=1,2,3…

(14)

式中，ωmn為行波頻率，ωe為激振力頻率。

可以通過Campbell圖判斷高速旋轉的構件是否會產(chǎn)生共振，其中橫坐標表示轉速，縱坐標表示振動頻率，射線表示激振頻率，共振點對應的轉速即為共振轉速Nr，在周期性變化的激振力作用下，激振頻率表達式為

ωe=K·Nw

(15)

式中：K為諧波系數(shù)，Nw為工作轉速，本文取15 000 r/min。

在啟動或停止等轉速發(fā)生變化過程中，在工作轉速附近的共振轉速是比較危險的，通常用共振裕度來進行描述，其表達式為

(16)

2算例求解與分析

在兩端簡支、兩端固支和固支-自由三種邊界條件下，對高速旋轉薄壁圓柱殼的共振特性進行分析，選取材料為Ti-5Al-2.5Sn合金[16]，其幾何參數(shù)和材料參數(shù)分別為：長度L=0.256 m，壁厚H=0.002 5 m，中面半徑R=0.16 m，楊氏模量E=1.10×1011Pa，泊松比μ=0.31，密度ρ=4 480 kg/m3。

(1) 兩端簡支邊界條件

在轉動坐標系和兩端簡支邊界條件下，當轉速在0～2×104r/min時，將傳遞矩陣法和文獻[17]求得的行波頻率值進行比較，行波頻率值如表1所示，誤差圖如圖2所示。由表1可知，采用兩種方法得到的結果變化規(guī)律一致，當轉速為0 r/min時，最低階固有頻率均對應(1,5)模態(tài)，隨著靜頻值的增加，對應的模態(tài)振型均為(1,6)、(1,4)、(1,7)、(1,3)和(1,8)；當轉速逐漸增加時，由于科氏力作用引起了行波頻率出現(xiàn)分離現(xiàn)象，即出現(xiàn)了前行波頻率和后行波頻率，并且后行波頻率大于前行波頻率。由圖2可知，通過兩種方法得到的行波頻率誤差值小于6%，并且隨著轉速的增加誤差值呈現(xiàn)減小趨勢。

表1　兩端簡支邊界條件下旋轉薄壁圓柱殼的行波頻率比較 /Hz

圖2　兩端簡支邊界條件下旋轉薄壁圓柱殼的行波頻率誤差圖Fig.2 An error chart of travelling wave frequencies for a rotating thin cylindrical shell under simply supported-simply supported boundary condition

圖3　兩端簡支邊界條件下旋轉薄壁圓柱殼的Campbell圖Fig.3 A Campbell chart for a rotating thin cylindrical shell under simply supported-simply supported boundary condition

對于高速旋轉的薄壁圓柱殼構件，通過兩種方法得到的Campbell圖如圖3所示。在K=1、K=2和K=3倍頻激勵下，與前6階模態(tài)存在多個共振點，行波頻率線與激振頻率線K=2和K=3的交點均遠離工作轉速15 000 r/min，但是在工作轉速附近容易發(fā)生共振的共振點僅有1個，即在K=1倍激振力作用下，與(1,5)階模態(tài)形成共振，通過傳遞矩陣法得到的共振點頻率為1 598 Hz，共振轉速為15 245 r/min，與工作轉速的共振裕度為1.63%，通過文獻得到的共振點頻率為1 615 Hz，共振轉速為15 415 r/min，與工作轉速的共振裕度為2.77%，即很可能引起(1,5)階模態(tài)的振動，而在其他交點處的共振裕度均大于10%。當薄壁圓柱殼構件在共振轉速下運行時很容易發(fā)生共振現(xiàn)象，在實際升速和降速過程中，如果只是在共振轉速時短暫停留，可以避免共振造成的危害，應采取措施調整構件的固有頻率或激振力頻率，以保證在工作轉速時有充分的裕度，減少共振現(xiàn)象的發(fā)生。

(2) 兩端固支邊界條件

對于兩端固支邊界條件下的旋轉態(tài)薄壁圓柱殼，在轉動坐標系下通過傳遞矩陣方法得到的Campbell圖如圖4所示。當轉速為0 r/min時，按照靜頻值從小到大的順序，前6階模態(tài)振型依次為(1,6)、(1,5)、(1,7)、(1,4)、(1,8)和(1,3)。在K=1、K=2和K=3倍頻激勵下，與前6階模態(tài)存在多個共振點，行波頻率線與激振頻率線K=2和K=3的交點均遠離工作轉速15 000 r/min，但是在工作轉速附近容易發(fā)生共振的共振點僅有1個，即在K=1倍激振力作用下，與(1,3)階模態(tài)形成共振，得到的共振點頻率為1 707 Hz，共振轉速為16 300 r/min，與工作轉速的共振裕度為8.67%，即很可能引起(1,3)階模態(tài)的振動，而在其它交點處的共振裕度均大于10%。

圖4　兩端固支邊界條件下旋轉薄壁圓柱殼的Campbell圖Fig.4 A Campbell chart for a rotating thin cylindrical shell under clamped-clamped boundary condition

圖5　固支-自由邊界條件旋轉薄壁圓柱殼的Campbell圖Fig.5 A Campbell chart for a rotating thin cylindrical shell under clamped-free boundary condition

(3) 固支-自由邊界條件

對于固支-自由邊界條件下的旋轉態(tài)薄壁圓柱殼，在轉動坐標系下通過傳遞矩陣方法得到的Campbell圖如圖5所示。當轉速為0 r/min時，按照靜頻值從小到大的順序，對應的前6階模態(tài)振型依次為(1,4)、(1,3)、(1,5)、(1,6)、(1,2)和(1,7)。在K=1、K=2和K=3倍頻激勵下，與前6階模態(tài)存在多個共振點，得到的行波頻率線與激振頻率線K=2和K=3的交點均遠離工作轉速為15 000 r/min，但是在工作轉速附近容易發(fā)生共振的共振點僅有1個，即在K=1倍激振力作用下，與(1,6)階模態(tài)形成共振，得到的共振點頻率為1 545 Hz，共振轉速為14 750 r/min，與工作轉速的共振裕度為1.67%，即很可能引起(1,6)階模態(tài)的振動，而在其它交點處的共振裕度均大于10%。

3結論

本文基于傳遞矩陣方法，通過算例分析了兩端簡支、兩端固支和固支-自由三種邊界條件下高速旋轉薄壁圓柱殼的共振特性，繪制了相應的Campbell圖，主要結論如下：

(1) 在兩端簡支邊界條件下，通過傳遞矩陣法和文獻對高速旋轉薄壁圓柱殼的行波頻率和共振特性進行了比較，靜頻值的第一階固有頻率均發(fā)生在(1,5)階模態(tài)，隨著靜頻值增加，模態(tài)振型變化關系相一致，并且行波頻率的誤差值小于6%，驗證了傳遞矩陣法的有效性，在K=1倍激振力作用下，在工作轉速附近容易激起(1,5)階模態(tài)而引起共振現(xiàn)象。

(2) 在三種邊界條件下，在K=1、K=2和K=3倍頻激振力作用時前6階行波頻率曲線與激振頻率射線存在多個交點，但是在工作轉速附近共振裕度小于10%的共振轉速點分別只有一個，容易引起殼體的共振，應保證構件在工作轉速附近有充分的裕度，防止共振現(xiàn)象的發(fā)生。同時，邊界條件對高速旋轉薄壁圓柱殼的共振特性有較大影響，不同的邊界條件容易引起不同階次模態(tài)的共振，只要共振轉速不常在工作轉速下工作，可以避免由于共振引起的疲勞損傷等故障。

參 考 文 獻

[ 1 ] Ng T Y, Lam K Y, Reddy J N. Parametric resonance of a rotating cylindrical shell subjected to periodic axial loads[J]. Journal of Sound and Vibration, 1998, 214(3): 513-529.

[ 2 ] Sun S, Chu S, Cao D. Vibration characteristics of thin rotating cylindrical shells with various boundary conditions[J]. Journal of Sound and Vibration,2012,331(18):4170-4186.

[ 3 ] Hosseini-Hashemi S, Ilkhani M R, Fadaee M.Accurate natural frequencies and critical speeds of a rotating functionally graded moderately thick cylindrical shell[J]. International Journal of Mechanical Sciences,2013,76:9-20.

[ 4 ] 李健,郭星輝,李永剛. 薄壁圓柱殼旋轉波動振動分析[J]. 東北大學學報:自然科學版,2007,4:553-556.

LI Jian, GUO Xing-hui, LI Yong-gang. Analysis of wavy vibration of rotating thin cylindrical shells[J]. Journal of Northeastern University:Natural Science, 2007, 4: 553-556.

[ 5 ] 王海霞,袁惠群,馮鑫. 發(fā)動機附件機匣振動分析與故障排除方法[J]. 振動.測試與診斷, 2013(增刊1):206-209.

WANG Hai-xia, YUAN Hui-qun, FENG Xin. Vibration analysis and troubleshooting method of engine accessory gearbox[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2013(Sup1): 206-209.

[ 6 ] 曹登慶,孫述鵬,劉倫. 不平衡轉子渦動對鼓筒振動特性影響[J]. 振動與沖擊,2014,02:69-75.

CAO Deng-qing, SUN Shu-peng, LIU Lun. Effect of unbalanced rotor whirl on drum vibration[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 02:69-75.

[ 7 ] 金路,廖明夫,宋明波. 轉子在臨界轉速點的振動和阻尼比的估計方法[J]. 振動.測試與診斷,2012,3:502-504.

JIN Lu, LIAO Ming-fu, SONG Ming-bo. Vibration of rotors at critical speed and estimation method of damping ratio[J].Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis,2012,3:502-504.

[ 8 ] 李永強,郭星輝,顏世英. 圓柱殼波動振動響應分析[J]. 應用力學學報, 2001, 3: 85-90, 152-153.

LI Yong-qiang, GUO Xing-hui, YAN Shi-ying. Vibration response analysis of circular cylindrical shells[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2001, 3: 85-90,152-153.

[ 9 ] 劉彥琦,褚福磊. 幾何參數(shù)對旋轉薄壁圓柱殼振動特性的影響[J]. 振動與沖擊,2012,31(13):22-25.

LIU Yan-qi, CHU Fu-lei. Effects of geometric parameters on vibration characteristics of rotating thin circular cylindrical shell[J].Journal of Vibration and Shock,2012,31(13):22-25.

[10] 李波波,賓光富,韓清凱,等. 基于有限元的多轉子串聯(lián)軸系扭轉振動特性分析[J]. 湖南科技大學學報:自然科學版,2014,2:31-35.

LI Bo-bo, BIN Guang-fu, HAN Qing-kai, et al. The method of multi-rotor tandem shafting torsional vibration characteristic analysis based on the finite element[J]. Journal of Hunan University of Science & Technology：Natural Science Editon, 2014, 2:31-35.

[11] 孫述鵬. 轉動薄壁圓柱殼的動力學特性研究[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學,2013.

[12] 康召輝,任興民,劉婷婷. 一種軸型盤轉子系統(tǒng)臨界轉速的計算分析[J]. 機械科學與技術, 2008, 10: 1177-1180.

KANG Zhao-hui, REN Xing-min, LIU Ting-ting. Calculation and analyse of the critical speeds of a rotor system with great thickness[J]. Mechanical Science and Technology, 2008, 10:1177-1180.

[13] 田野,孫巖樺,丁成偉,等. 不同支撐和轉子裝配方式的高速電機臨界轉速分析[J]. 振動與沖擊,2013,32(8):24-30.

TIAN Ye, SUN Yan-hua, DING Cheng-wei, et al. Critical speeds of a high speed motor with different supports and rotor assembly[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013,32(8): 24-30.

[14] Li H, Lam K Y, Ng T Y. Rotating shell dynamics[M]. Elsevier, 2005.

[15] 向宇, 黃玉盈, 黃健強. 一種新型齊次擴容精細積分法[J]. 華中科技大學學報: 自然科學版,2002,30(11):74-76.

XIANG Yu, HUANG Yu-ying, HUANG Jian-qiang. A method of homogenization of high precision direct integration[J]. Journal of Huazhong University of Science and Technology: Nature Science, 2002, 30(11): 74-76.

[16] 《中國航空材料手冊》編輯委員會. 中國航空材料手冊[M]. 北京: 中國標準出版社, 2002.

[17] 洪杰, 郭寶亭, 朱梓根. 高速轉動殼體行波振動實驗研究[J]. 航空動力學報, 1998, 13(4): 390-394.

HONG Jie, GUO Bao-ting, ZHU Zi-gen. Experimental investigation on travelling wave vibration of high-speed rotating shell[J]. Journal of Aerospace Power, 1998, 13(4): 390-394.

Travelling wave resonance characteristics of a high-speed rotating thin cylindrical shell

WANGYu1,GUYue2,LIHui3,HANBing1(1. School of Mechanical Engineering and Automation, University of Science and Technology Liaoning, Anshan 114051, China;2. School of Science, University of Science and Technology Liaoning, Anshan 114051, China;3. School of Mechanical Engineering and Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

Abstract:The traveling wave resonance characteristics of a high-speed rotating thin cylindrical shell were studied under different boundary conditions based on the transfer matrix method. Firstly, the vibration differential equations of the rotating thin cylindrical shell were set up based on Love’s shell theory considering the effects of centrifugal forces, coriolis forces and inertial forces. Secondly, with the state vector expression between sub-segments, the transfer matrix method was introduced to derive the overall transfer matrix of the structure. Finally, its resonance characteristics were solved with the high-precise integration method under simply supported-simply supported, clamped-clamped and clamped-free boundary conditions. The example’s results showed that the transfer matrix method is suitable for solving the resonance characteristics of the high-speed rotating thin cylindrical shell, and the vibration modes in circumferential direction are the main contributors to the resonance of the shell under three boundary conditions; there is only one resonance rotating speed point when the resonance margin is less than 10% under the operating rotating speed and the first octave excitation, but the resonance rotating speed points under other octave excitations are not within the safe margin range.

Key words:high-speed rotating; thin cylindrical shell; boundary conditions; transfer matrix method; resonance characteristics

中圖分類號:O326; TH113.1

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.05.036

收稿日期：2015-02-02修改稿收到日期：2015-03-17

基金項目：遼寧科技大學博士科研啟動基金;青年教師科研基金資助項目(2014QN13)

第一作者 王宇 男，博士，講師，1979年10月生