剩余格中基于核映射的濾子

吳蘇朋， 趙　彬

(1 陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710119； 2 安康學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)系, 陜西 安康 725000)

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剩余格中基于核映射的濾子

吳蘇朋1，2， 趙彬1*

(1 陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710119； 2 安康學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)系, 陜西 安康 725000)

摘要：在剩余格中, 基于核映射引入了對(duì)合濾子、擴(kuò)展對(duì)合濾子、Glivenko濾子的概念, 討論了它們的性質(zhì)且給出了它們的特征定理。分析了濾子的一種帶有核映射的擴(kuò)張形式的代數(shù)性質(zhì), 得到了擴(kuò)展對(duì)合濾子的應(yīng)用。進(jìn)一步, 在MTL代數(shù)中引入了相對(duì)偽布爾濾子的概念, 得到了相對(duì)偽布爾濾子的特征定理。

關(guān)鍵詞:剩余格; 核映射; 對(duì)合濾子; 擴(kuò)展對(duì)合濾子; Glivenko濾子; 相對(duì)偽布爾濾子

MR subject classification: 06F07

文獻(xiàn)[1-2]在剩余格中提出相對(duì)非的概念, 詳細(xì)地討論了相對(duì)非的性質(zhì), 得到了帶有相對(duì)非的Glivenko 定理;證明了所有相對(duì)正則元之集在恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算下構(gòu)成剩余格, 研究了它成為特殊剩余格的充分必要條件;同時(shí)，也分析了許多帶有相對(duì)非的問(wèn)題, 例如把Glivenko性質(zhì)、半分離性質(zhì)、廣義Riecan態(tài)等順利推廣到相對(duì)非背景下。進(jìn)一步, 在此基礎(chǔ)上, 文獻(xiàn)[3]利用剩余格中核映射的概念和性質(zhì), 得到了相對(duì)于核的Glivenko定理, 證明帶有核映射的所有不動(dòng)點(diǎn)之集在相應(yīng)的運(yùn)算下構(gòu)成剩余格。同時(shí), 研究了基于核映射的廣義態(tài)性質(zhì)。文獻(xiàn)[4]細(xì)致而深入地研究了R0代數(shù)上的自同態(tài)核, 證明了R0代數(shù)上的自同態(tài)核完全由R0代數(shù)上某個(gè)元素的雙相對(duì)非決定。

濾子理論在研究各種邏輯代數(shù)中發(fā)揮重要的作用。從邏輯學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看, 濾子是可證公式之集, 不同的濾子對(duì)應(yīng)不同的可證公式之集。文獻(xiàn)[5-8]在BL代數(shù)中研究了幾種不同的濾子(如素濾子、蘊(yùn)涵濾子、正蘊(yùn)涵濾子、奇異濾子和布爾濾子等)。文獻(xiàn)[9]主要研究了MTL代數(shù)中EIMTL-濾子、關(guān)聯(lián)濾子及強(qiáng)濾子的性質(zhì)及它們之間相互關(guān)系。文獻(xiàn)[10]研究了MTL代數(shù)中EIMTL-濾子和弱蘊(yùn)涵濾子的特征定理及其應(yīng)用。文獻(xiàn)[11-15]研究并總結(jié)了剩余格中各種不同濾子的性質(zhì)和等價(jià)刻畫(huà),討論了各種不同濾子之間的關(guān)系。

受文獻(xiàn)[3,8-10,12,16-17]的啟發(fā), 本文在剩余格中, 基于核映射引入了對(duì)合濾子、擴(kuò)展對(duì)合濾子和Glivenko濾子的概念, 討論了它們的性質(zhì), 給出了以上3種特殊濾子的特征定理，分析了濾子的帶有核映射的擴(kuò)張形式的代數(shù)性質(zhì), 得到了擴(kuò)展對(duì)合濾子的應(yīng)用。進(jìn)一步, 在MTL代數(shù)中引入了相對(duì)偽布爾濾子的概念, 得到了相對(duì)偽布爾濾子的特征定理。

1預(yù)備知識(shí)

定義1[1]一個(gè)(2,2,2,2,0,0)型代數(shù)L=(L,∧,∨,?,→,0,1)稱為一個(gè)剩余格，如果

(1) (L,∧,∨,0,1)是有界格，其中最小元為0，最大元為1；

(2) (L,?)是帶有單位元1的交換半群，這里1是L的最大元；

(3)L上有伴隨對(duì)(?,→)，即?x、y、z∈L,x?y≤z?x≤y→z。

定義2[1]設(shè)L是剩余格，若?x、y∈L，有(x→y)∨(y→x)=1,則稱L是MTL代數(shù)。

命題1[1]設(shè)L是剩余格，?x、y、z、w∈L，則

(1)x→y=1當(dāng)且僅當(dāng)x≤y;

(2) 1→x=x,x→x=1;

(3) ((x→y)→y)→y=x→y;

(4) 若x≤y,則y→z≤x→z,

若y≤z,則x→y≤x→z;

(5)x?y→z=x→(y→z)=y→(x→z);

(6)x→y≤(y→z)→(x→z),

y→z≤(x→y)→(x→z);

(7) (x→y)?(y→z)≤x→z;

(8)x∨y≤((x→y)→y)∧((y→x)→x);

(9)x→y∧z=(x→y)∧(x→z),

x∨y→z=(x→z)∧(y→z);

(10)x?(y∨z)=(x?y)∨(x?z);

(11)x?y≤x?(x→y)≤x∧y≤

x∧(x→y)≤x;

(12)x→y≤x°z→y°w，其中°∈{?,∧,∨,→}。

進(jìn)一步，若L是MTL代數(shù)，則

(13)x?(y∧z)=(x?y)∧(x?z);

(14)x∨y=((x→y)→y)∧((y→x)→x);

(15)x→y∨z=(x→y)∨(x→z),

x∧y→z=(x→z)∨(y→z)。

定義3[1]設(shè)L是剩余格，?≠F?L，若F滿足以下條件：(Ⅰ)1∈F,(Ⅱ)?x、y∈L，當(dāng)x→y,x∈F時(shí)，y∈F，則稱F是L的濾子。若F≠L，則稱F是L的真濾子。若真濾子F滿足?x、y∈L，當(dāng)x∨y∈F時(shí)，有x∈F或y∈F，則稱F是L的素濾子。

若F是L的濾子，則F可以誘導(dǎo)出L上的同余關(guān)系，記為~F，即x~Fy?x→y,y→x∈F。L/F表示L關(guān)于~F的商代數(shù)。容易驗(yàn)證(L/F,∧，∨，?,→,[0],[1])是剩余格，其中L/F=L/~F,[x]F°[y]F=[x°y]F,°∈{∧,∨,?,→}。

設(shè)A?L，則包含A的所有濾子之集的交稱為由A生成的濾子，記為〈A〉。

命題3[1]設(shè)L是剩余格，A?L，則

(1) 〈A〉={x∈L|?n∈N,?a1、a2、…、an∈A使得a1?a2?…?an≤x};

(2) 〈A〉={x∈L|?n∈N,?a1、a2、…、an∈A使得an→(an-1→(…→(a1→x)…))=1};

(3) 若F、G是L的濾子，則〈F∪G〉={x∈L|?a∈F,b∈G使得a?b≤x}。

定義4[9,12]設(shè)L是剩余格，F(xiàn)是L的濾子，

下面給出剩余格上核映射的概念和基本性質(zhì)。關(guān)于核映射的更多相關(guān)知識(shí)請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[1,16-17]。

定義5[1]設(shè)L是剩余格，μ:L→L是L上的映射，若μ滿足以下條件：?x、y∈L，

(1)x≤μ(x);

(2) 若x≤y,則μ(x)≤μ(y);

(3)μ(μ(x))=μ(x);

(4)μ(x)?μ(y)≤μ(x?y)；

則稱μ是L上的核映射或核算子。

命題4[1]設(shè)L是剩余格，若μ是L上的核映射，?x、y∈L，則

(1)x→y≤μ(x→y)≤μ(x)→μ(y);

(2)μ(x)→μ(y)=x→μ(y);

(3)μ(x→μ(y))=x→μ(y);

(4)μ(μ(x)∧μ(y))=μ(x)∧μ(y);

(5)μ(x?y)=μ(x?μ(y))=μ(μ(x)?μ(y));

(6)μ(x∨y)=μ(μ(x)∨μ(y))。

設(shè)L是剩余格，若μ是L上的核映射。令Regμ(L)={x∈L|μ(x)=x}，在Regμ(L)上定義?x、y∈Regμ(L),x∨μy=μ(x∨y),x?μy=μ(x?y)。此外，由命題4的(3)和(4)可知，Regμ(L)對(duì)→、∧封閉。

命題5[1]設(shè)L是剩余格，μ是L上的核映射，則(Regμ(L),∧,∨μ,?μ,→,μ(0),1)是剩余格。

記Dμ(L)={x∈L|μ(x)=1}，可以驗(yàn)證Dμ(L)是濾子。則Dμ(L)可以誘導(dǎo)出L上的同余關(guān)系，記為~μ，x~μy?x→y,y→x∈Dμ(L)。L/Dμ(L)表示L關(guān)于~μ的商代數(shù)。定義[μ]：L/Dμ(L)→L/Dμ(L)為?x∈L，[μ]([x])=[μ(x)]，則[μ]是L/Dμ(L)上的核映射。

命題6[1]設(shè)L是剩余格，若μ是L上的核映射，?x、y∈L，則以下結(jié)論等價(jià)：

(1) Reg[μ](L/Dμ(L))=L/Dμ(L);

(2)μ(μ(x)→x)=1;

(3)μ(x→y)=μ(x)→μ(y)=x→μ(y);

(4)μ是M到Regμ(L)的滿同態(tài)且Regμ(L)?L/Dμ(L)。

下文若無(wú)特別說(shuō)明，L均指剩余格且μ是L上的核映射。

2基于核映射的濾子

定義6設(shè)F是L的濾子，若?x∈L，μ(x)→x∈F，則稱F是L的μ-對(duì)合濾子。

定義7若?x∈L，μ(x)→x=1，即μ(x)=x，則稱L是μ-對(duì)合剩余格。

例1設(shè)L={0,a,b,c,1}且偏序?yàn)?

0abc1000000a00aaab0ababc0aacc10abc1

→0abc1011111aa1111b0c1c1c0bb1110abc1

xx0abc1000a111aaaabc1bbbbb11cccc1c11111111

若取F={1}。容易驗(yàn)證F是a-對(duì)合濾子，且L是a-對(duì)合剩余格。

定理1設(shè)F是L的濾子，則以下結(jié)論等價(jià)：

(1)F是L的μ-對(duì)合濾子；

(2) (μ(x)→μ(y))→(x→y)∈F;

(3) 若μ(x)→μ(y)∈F，則x→y∈F;

(4)L/F是μ-對(duì)合剩余格。

證明(1)?(2)，假設(shè)F是L的μ對(duì)合濾子。由于μ(y)→y≤(μ(x)→μ(y))→(μ(x)→y)≤(μ(x)→μ(y))→(x→y),則(μ(x)→μ(y))→(x→y)∈F。

(2)?(3)，假設(shè)μ(x)→μ(y)∈F。由(2)和定義3(F2)可得，x→y∈F。

(3)?(1)，取(3)中x=μ(y),則μ(μ(y))→μ(y)=μ(y)→μ(y)=1∈F。故μ(y)→y∈F。

(1)?(4)，顯然成立。

定義8設(shè)F是L的濾子，若?x∈L，μ(x)∈F，有x∈F，則稱F是L的擴(kuò)展μ-對(duì)合濾子。

定義9若?x∈L，當(dāng)μ(x)=1，有x=1，則稱L是擴(kuò)展μ-對(duì)合剩余格。

例2設(shè)L={0,a,b,c,1}，其中0

→0abc1011111ab1b11b0a111c0ab1110abc1

0abc10000111aaaa111bbb1b11cccccc11111111

取F={1}，則F是L的擴(kuò)展c-對(duì)合濾子且L是擴(kuò)展c-對(duì)合剩余格。

定理2設(shè)F是L的非空子集，則F是L的擴(kuò)展μ-對(duì)合濾子當(dāng)且僅當(dāng)?x、y∈L，有(Ⅰ)1∈F;(Ⅲ)若μ(x→y)∈F,x∈F，則y∈F。

證明假設(shè)F是L的擴(kuò)展μ-對(duì)合濾子，顯然1∈F。若?x、y∈L,μ(x→y)∈F,x∈F，則x→y∈F,由定義3(Ⅱ)知,y∈F。反過(guò)來(lái)，設(shè)F滿足(Ⅰ)和(Ⅲ)。首先證明F是L的濾子。設(shè)?x、y∈L,x→y∈F,x∈F，由定義5中(1)可得μ((x→y)→μ(x→y))=μ(1)=1,則μ((x→y)→μ(x→y))∈F。利用兩次(Ⅲ)得,y∈F，則F是L的濾子。再取(Ⅲ)中x=1可知，F(xiàn)是L的擴(kuò)展μ-對(duì)合濾子。

定理3設(shè)F是L的上集，則以下結(jié)論等價(jià)：

(1)F是L的擴(kuò)展μ-對(duì)合濾子；

(2) 若x→y∈F,μ(x)∈F，則y∈F;

(3) 若μ(x→y)∈F,μ(x)∈F，則y∈F;

(4) 若x→μ(y)∈F,μ(x)∈F,則y∈F;

(5) 若x→μ(y)∈F,x∈F,則y∈F；

(6)L/F是擴(kuò)展μ-對(duì)合剩余格。

證明(1)?(2)，設(shè)F是L的擴(kuò)展μ-對(duì)合濾子且x→y∈F,μ(x)∈F。由定義8可知，x∈F。再由定義3(Ⅱ)知,y∈F。反之，設(shè)x→y∈F,x∈F。由x≤μ(x)且F是上集可得，μ(x)∈F。再由(2)知，y∈F，則F是濾子。進(jìn)一步，取(2)中的y=x，則F是L的擴(kuò)展μ-對(duì)合濾子。

(2)?(3)，由(2)和F是L的上集知，F(xiàn)是L的濾子。再設(shè)μ(x→y)∈F,μ(x)∈F。由于x→x=1，(x→y)→(x→y)=1,則x、x→y∈F。再由定義3(Ⅱ)知，y∈F。

(3)?(4)，由(3)和F是L的上集知，F(xiàn)是L的濾子。再設(shè)x→μ(y)∈F，μ(x)∈F，由1=μ(1)=μ(x→x)∈F和(3)可知，x∈F。由定義3(Ⅱ)知，μ(y)∈F。又μ(1→y)=μ(y)且μ(1)=1∈F，則y∈F。

(4)?(5)，由(4)和F是L的上集知，F(xiàn)是L的濾子。再設(shè)x→μ(y)∈F，x∈F。由于x≤μ(x),則μ(x)∈F，由(4)知y∈F。

(5)?(1)，首先說(shuō)明F是L的濾子。設(shè)x→y∈F,x∈F。由于F是L的上集，則x→μ(y)∈F。由(5)可知，y∈F。再取(5)中x=1,說(shuō)明F是L的擴(kuò)展μ-對(duì)合濾子。

(1)?(6)，顯然成立。

定理4設(shè)F是L的濾子，則Fμ={x∈L|?a1、a2、…、an∈F，使得μ(an→μ(…μ(a2→μ(a1→x))…))∈F}是包含F(xiàn)的最小擴(kuò)展μ-對(duì)合濾子。

證明(1)由于?x∈F,μ(x→x)=1∈F，則x∈Fμ。

(2) 如果?x∈L，μ(x)∈Fμ，那么存在a1、a2、…、an∈F，使得μ(an→μ(…μ(a2→μ(a1→μ(x)))…))∈F。

又1→x=x,則μ(an→μ(…μ(a2→μ(a1→μ(1→x)))…))∈F，故x∈Fμ。

(3) 設(shè)x∈Fμ,x→y∈Fμ，則存在a1、a2、…、an、b1、b2、…、bm∈F，使得μ(an→μ(…μ(a2→μ(a1→x))…))∈F，μ(bm→μ(…μ(b2→μ(b1→(x→y)))…))∈F。

令α=μ(an→μ(…μ(a2→μ(a1→x))…)),

β=μ(bm→μ(…μ(b2→μ(b1→(x→y)))…)),

則

β→(α→μ(an→μ(…μ(a2→μ(a1→μ(bm→

μ(…μ(b2→μ(b1→y))…))))…)))=

β→(μ(an→μ(…μ(a2→μ(a1→x))…))→

μ(an→μ(…μ(a2→μ(a1→μ(bm→

μ(…μ(b2→μ(b1→y))…))))…)))≥

β→((an→μ(…μ(a2→μ(a1→x))…))→

(an→μ(…μ(a2→μ(a1→μ(bm→

μ(…μ(b2→μ(b1→y))…))))…)))≥

β→(μ(an-1→μ(…μ(a2→μ(a1→x))…))→

μ(an-1→μ(…μ(a2→μ(a1→μ(bm→

μ(…μ(b2)→μ(b1→y))…))))…)))≥…≥

β→(x→μ(bm→μ(…μ(b2→μ(b1→y))…)))≥

x→(β→μ(bm→μ(…μ(b2→μ(b1→y))…)))≥

x→(μ(bm→μ(…μ(b2→μ(b1→(x→y)))…))→

μ(bm→μ(…μ(b2→μ(b1→y))…)))≥

x→((bm→μ(…μ(b2→μ(b1→(x→y)))…))→

(bm→μ(…μ(b2→μ(b1→y))…)))≥…≥

x→((x→y)→y)=(x→y)→(x→y)=1。

由α∈F，β∈F且F是濾子可知，y∈Fμ，所以Fμ是包含F(xiàn)的擴(kuò)展μ-對(duì)合濾子。明顯地，若G是包含F(xiàn)的任何擴(kuò)展μ-對(duì)合濾子，都有Fμ?G。

由定理4和命題4(3)可得以下結(jié)論。

推論1設(shè)F是L的濾子，則Fμ={x∈L|?a1、a2、…、an∈F，使得(an→(an-1→(…→(a2→μ(a1→x))…)))∈F}={x∈L|?a1、a2、…、an∈F，使得an?an-1?…?a2→μ(a1→x)∈F}。

由定理4和{1}是最小濾子可得。

推論2Dμ(L)是L的最小擴(kuò)展μ-對(duì)合濾子，且θ={(x,y)∈L×L|μ(x→y)=μ(y→x)=1}是L上使得L/θ是擴(kuò)展μ-對(duì)合剩余格的最小同余。

定義10設(shè)F是L的濾子，若?x∈L，μ(μ(x)→x)∈F，則稱F是L相對(duì)于核映射μ而言的Glivenko濾子，簡(jiǎn)稱為μ-Glivenko濾子。

定義11若?x∈L,μ(μ(x)→x)=1，則稱L具有μ-相對(duì)Glivenko性質(zhì)。

0abc100(00y→y)11111aa(aay→y)11111bb(bby→y)b1111cc(ccy→y)cccc111(11y→y)11111

定理5設(shè)F是L的濾子，則以下結(jié)論等價(jià)：

(1)F是L的μ-Glivenko濾子；

(2) (x→μ(y))→μ(x→y)∈F;

(3) (x→y)→μ(μ(x)→y)∈F;

(4)L/F具有μ-相對(duì)Glivenko性質(zhì)。

證明(1)?(2)，假設(shè)F是L的μ-Glivenko濾子。由于?x、y∈L，μ(y)→y≤(x→μ(y))→(x→y)≤(x→μ(y))→μ(x→y),則μ(μ(y)→y)≤μ((x→μ(y))→μ(x→y))=(x→μ(y))→μ(x→y)。由假設(shè)可知，μ(μ(y)→y)∈F，所以(x→μ(y))→μ(x→y)∈F。反之，取x=μ(y)即可。

(1)?(3)，假設(shè)F是L的μ-Glivenko濾子。由于?x、y∈L，μ(x)→x≤(x→y)→(μ(x)→y)≤(x→y)→μ(μ(x)→y),則μ(μ(x)→x)≤μ((x→y)→μ(μ(x)→y))=(x→y)→μ(μ(x)→y)。由假設(shè)可知，μ(μ(x)→x)∈F，所以(x→y)→μ(μ(x)→y)∈F。反之，取x=y即可。

(1)?(4)，顯然成立。

一般地，μ-對(duì)合濾子既是擴(kuò)展μ-對(duì)合濾子又是μ-Glivenko濾子，反之也成立。但是，擴(kuò)展μ-對(duì)合濾子和μ-Glivenko濾子之間沒(méi)有必然聯(lián)系。

3濾子的一種擴(kuò)張形式

推論3設(shè)F是L的濾子，則以下結(jié)論成立:

命題8設(shè){Fα}α∈Γ是L的一族濾子，則

命題9設(shè)F是L的濾子且F?G?L，則G/F是L/F的濾子當(dāng)且僅當(dāng)G是L的濾子。

證明假設(shè)G/F是L/F的濾子。?x∈F，則[x]=[1]∈G/F，故x∈G，即F?G。設(shè)x∈G,x→y∈G，則[x]∈G/F,[x]→[y]=[x→y]∈G/F。由假設(shè)可知，[y]∈G/F，即y∈G。反之，假設(shè)G是L的濾子。設(shè)[x]∈G/F,[x]→[y]∈G/F，則x∈G,x→y∈G。又G是L的濾子，則y∈G，即[y]∈G/F。

4MTL代數(shù)中相對(duì)偽布爾濾子

例4設(shè)L={0,a,b,c,1}，偏序?yàn)?

→0abc1011111ac1111baa111caab1110abc1

0abc1000000a0000ab00bbbc00bcc10abc1

0abc101caa0a11aaab111bbc1111c11111

0abc1000acc1aaaa111bbbbb11cccccc11111111

定理6設(shè)F是L的濾子，則以下結(jié)論等價(jià):

(1)F是L的a-偽布爾濾子；

(2)?(3)，由于

(3)?(4)，由于

(4)?(1)，由于

定理7設(shè)F是L的a-偽布爾濾子，則

參考文獻(xiàn)：

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〔責(zé)任編輯宋軼文〕

The filters based on nuclei in residuated lattices

WU Supeng1,2, ZHAO Bin1*

1 School of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University,Xi′an 710119, Shaanxi, China;2 Department of Mathematics and statistics, Ankang University,Ankang 725000, Shaanxi, China)

Abstract:The notions of the extended involutive and Glivenko filters based on nuclei in residuated lattices are defined and some properties of them are discussed, their characteristic theorems are obtained. Based on nuclei, algebraic properties of the extended set of the filter are introduced and then an application of extended involutive filters is showed.The concepts of relative pseudo-boolean filters are proposed in MTL-algebras, some characteristic theorems are given.

Keywords:residuated lattices; nucleus; involutive filter; extended involutive filter; Glivenko filter; relative pseudo-boolean filter

中圖分類號(hào)：O141.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

*通信作者：趙彬,男,教授,博士生導(dǎo)師。E-mail: zhaobin@snnu.edu.cn

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(11531009,11501343); 中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(GK201501001)

收稿日期：2015-03-05

doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2016.02.122

文章編號(hào)：1672-4291(2016)02-0004-07

第一作者： 吳蘇朋,女,博士研究生,講師，研究方向?yàn)槟：壿?。E-mail: wusupeng@snnu.edu.cn