《線性代數(shù)》的“可視化”教學研究

陳芬饒玖

【摘要】《線性代數(shù)》是高等院校理工科以及經(jīng)濟管理等文科大學生的必修基礎課，針對獨立院校學生的特點和培養(yǎng)的目標和， 通過教學案例， 利用Matlab軟件的繪圖功能實現(xiàn)線性代數(shù)的概念、定理、應用的“可視化”，完成將數(shù)學知識由抽象到直觀的轉化這一過程。調(diào)動學生對《線性代數(shù)》課程的學習興趣，以促進應用型人才的培養(yǎng)。

【關鍵詞】線性代數(shù) 可視化 Matlab

【基金項目】武漢學院教研項目（JY201514）。

【中圖分類號】O151.2-4；G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）03-0064-02

《線性代數(shù)》課程是獨立院校理工科以及經(jīng)濟管理類等文科大學生的必修基礎課， 具有抽象、嚴密、邏輯性強的特點。當前的《線性代數(shù)》課程教學內(nèi)容存在概念多而抽象、直觀信息少、理論多應用少等問題， 而獨立院校學生形象思維發(fā)達， 抽象能力弱， 邏輯推理能力不強， 導致學生內(nèi)心對這門課程比較排斥， 學習興趣不高。事實上，獨立院校主要培養(yǎng)應用型人才， 《線性代數(shù)》學科內(nèi)容在數(shù)學建模中有大量應用。因此， 研究《線性代數(shù)》課程的“可視化”教學具有十分重要的意義。所謂“可視化”就是化抽象為直觀， 打破傳統(tǒng)教學四步曲——概念， 定理， 證明， 習題的框框， 通過跨學科的案例教學， 將線性代數(shù)的知識立體生動的展現(xiàn)在學生面前。這樣不僅可以充分調(diào)動學生的興趣， 而且可以開放學生的靈活性、想象力和創(chuàng)造性， 挖掘學生的潛力， 提高學生的數(shù)學素養(yǎng)， 達到培養(yǎng)應用型人才的目標[1]. 《線性代數(shù)》課程教學的“可視化”研究主要包含三個方面， 即概念可視化， 定理可視化， 應用可視化。本文主要就三個方面闡述如何選取教學案例，如何利用Matlab軟件實現(xiàn)線性代數(shù)概念、定理以及應用“可視化”。

1.概念可視化

Matlab是一種高效率的用于科學工程計算的高級語言， 最開始是作為矩陣實驗室（Matrix Laboratory）提供使用LINPACK和EISPACK矩陣軟件包接口的， 后來逐漸發(fā)展成為用于科學計算、圖示交互系統(tǒng)的程序設計語言。Matlab不僅在數(shù)值計算上具有很強的優(yōu)勢， 而且在數(shù)據(jù)可視化方面的功能也很強大， 它可以給出數(shù)據(jù)的二維、三維甚至四維的圖形表現(xiàn)。通過對圖像立面、色彩、渲染、光線及視角等的控制，可以把數(shù)據(jù)的特征表現(xiàn)得淋漓盡致?！毒€性代數(shù)》的特點之一是定義多，概念多。傳統(tǒng)教學方法就是直接給出定義，沒有相關背景說明。這種與外部世界隔離的封閉式教學，不利于學生了解數(shù)學的概念、方法和理論的來龍去脈，不利于學生運用數(shù)學工具解決實際問題。下面展示Matlab軟件在《線性代數(shù)》中部分概念的“可視化”實現(xiàn)方面的教學案例。

在傳統(tǒng)的教學模式里，對角矩陣， 上（下）三角形矩陣等特殊矩陣總是在給出矩陣定義后直接列舉出。雖然這些定義不難接受，但介紹過程實在乏味。學生往往有這樣的疑問“為什么要定義這么多的特殊矩陣？”“這些矩陣有什么作用？”。其實在這部分知識的教學中，可以將矩陣和數(shù)字圖像處理聯(lián)系起來， 為這些特殊矩陣添加一個具體背景[2]，這樣不僅可以消除學生的疑問，還可以拓寬學生的知識面。在圖像處理中數(shù)字圖像可以用m行n列矩陣表示，元素aij表示圖像在該點的灰度值。所以單位矩陣用圖像表示出來就是圖1（a）的效果。很多學生常將上三角形矩陣和下三角形矩陣定義混淆， 但如果借助數(shù)字圖像知識解釋三角矩陣就直觀很多， 也不易混淆。圖像信息集中在主對角線上方的就是上三角形矩陣（如圖1（b））， 圖像信息集中在主對角線下方的就是下三角形矩陣（如圖1（c））?！吧稀薄跋隆睆娬{(diào)的是矩陣信息所在的位置。

數(shù)字圖像除了能很好的解釋矩陣的定義，還可以演示矩陣的運算。如矩陣加法用圖像表現(xiàn)出來就是兩幅圖像疊加（如圖2）， 矩陣數(shù)乘用圖像表現(xiàn)出來的就是調(diào)節(jié)圖像明暗（如圖3），這樣形象生動的實例教學， 不僅可以調(diào)動學生學習的積極性，還可以讓學生對所學的知識印象深刻。

2.定理可視化

《線性代數(shù)》的另一個特點是定理多，證明多。有的證明非常復雜，對于獨立學院的學生來講，完全搞懂定理的證明不是一件容易的事情。獨立學院培養(yǎng)的是應用型人才，能夠運用數(shù)學的能力去解決實際問題。因此，獨立院校學生不一定要弄懂定理嚴格的證明。大多數(shù)的《線性代數(shù)》教材在敘述向量組的線性相關性時， 一般都是從定理到定理、從證明到證明， 這樣既讓學生難以理解，也不利于知識的吸收。其實，如果在授課過程中增一些生活中的簡單案例，可以讓學生更容易理解定理的內(nèi)容。并且還可以拓寬學生的思路， 培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，加強學生對數(shù)學知識應用的能力。下面，我們用向量組的線性相性的定理說演示定理的可視化。

定理 設向量組a1，a2，…，at線性無關，它能由向量組β1，β2，…，βr線性表示，則

這個定理的表述中含有2個字母，證明較為復雜，很多學生對這個定理的結論記不住。如果教師在上課的時候給這個定理加一個好理解的背景，比如“抄作業(yè)”。假設某班作業(yè)有5個相互獨立的原始版本， 組成一個向量組（A），（A）中的向量是線性無關的，其秩為5。抄作業(yè)的同學組成一個向量組（B），若只有一個同學抄作業(yè)， （假設一對一抄， 且抄的作業(yè)與原始版本一模一樣， 即線性相關）請問向量組A可以有向量組B線性表出嗎？顯然不行，因為（A）中還有4個版本的作業(yè)沒有被抄到。只有當抄作業(yè)的學生人數(shù)超過5人時， 且秩為7（即保證抄了原始的5個版本）， 這時向量組（A）才能由向量組（B）線性表出。有了這樣的背景， 相信即使這個定理換一種說法， 換其它字母表示，學生還是能正確判斷出向量個數(shù)的多少的。

3.應用可視化

《線性代數(shù)》知識主要應用于數(shù)學建模中。在建模過程中，讓學生充分理解課本知識，體會建模思想，學會將理論應用到實際中，從而達到培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維、意識和能力的目的。在大數(shù)據(jù)時代和信息共享的今天，不管是國內(nèi)外的教材，還是在互聯(lián)網(wǎng)上，都有很多涉及到到工程技術，經(jīng)濟管理，社會科學的線性代數(shù)的例子。我們用文獻（3）中的例子來說明應用的可視化。

例[3]發(fā)展與環(huán)境問題已經(jīng)成為21世紀各國政府關注的重點，為了定量分析污染水平與工業(yè)發(fā)展水平的關系，有人提出了一下工業(yè)增長模型：

設x0是某地區(qū)目前的污染水平，y0是目前的工業(yè)發(fā)展水平；若干年后的污染水平和工業(yè)發(fā)展水平分別為x1和y1，它們之間的關系為x1=3x0+y0，y1=2x0+2y0，即或a1=Aa0，其中a1=x1y1，a0=x0y0，A=3 12 2.

若當前的污染水平與工業(yè)發(fā)展水平為a0=（x0，y0）T=（1，1）T， 則若干年后的污染水平和工業(yè)發(fā)展水平為

a1=x1y1=3 12 211=44=411=4a0，

上式表明， 矩陣A乘以向量a0所得的向量a1恰是a0的4倍。這里4和向量a1分別是矩陣A的特征值和特征向量。

4.結束語

《線性代數(shù)》是一門應用非常廣泛的學科。隨著計算機科學的發(fā)展和廣泛應用，許多實際問題可以通過離散化的數(shù)值計算得到定量的解決，而作為處理離散問題的線性代數(shù)， 成為從事科學研究和工程設計的科技人員必備的數(shù)學基礎。傳統(tǒng)的手工計算，只能解決一些低階、變量較少的問題，而在實際中出現(xiàn)的大量的線性問題，都是高階的和有很多變量的問題。由此可見，線性代數(shù)求解與計算機密不可分，使用MATLAB語言輔助線性代數(shù)的教學，今年來已成為較為流行的教學模式[4，5]?，F(xiàn)代化數(shù)學教學應充分利用Matlab、Maple等多媒體工具。理論與實際相結合，傳輸學生具體知識的同時，培養(yǎng)學生建立數(shù)學模型，利用計算機的能力。數(shù)學不是抽象的代名詞，數(shù)學是可以被看見的。

參考文獻：

[1]王正盛.中外線性代數(shù)教材的比較與探討[J].大學數(shù)學， 2009，25（1）：200-203.

[2]岡薩雷斯.數(shù)字圖像處理（MATLAB版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2005.

[3]強靜仁，陳芬，孟曉華.線性代數(shù)[M].武漢：華中科技大學出版社，2012.

[4]王亮，等.基于MATLAB的線性代數(shù)應用教程[M].北京：科學出版社， 2008.

[5]陳懷琛，等.工程線性代數(shù)（MATLAB版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2007.