探討求函數(shù)極限的常用方法

【摘要】函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，也是解決其他問(wèn)題的基礎(chǔ)。結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，文章討論了求函數(shù)極限的四種常見(jiàn)方法。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)極限 計(jì)算

【中圖分類號(hào)】O13 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）03-0162-01

函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，而這部分內(nèi)容的掌握直接影響到導(dǎo)數(shù)和積分的學(xué)習(xí)，現(xiàn)對(duì)求函數(shù)極限的四種常用方法進(jìn)行總結(jié)，談?wù)勂淅斫獾膫?cè)重點(diǎn)，使能夠更靈活的運(yùn)用這些方法求極限。

一、基本方法：四則運(yùn)算法求極限

利用函數(shù)的四則運(yùn)算法對(duì)有理函數(shù)及有理分式函數(shù)求極限。對(duì)于有理整函數(shù)而言，其求極限方法相對(duì)簡(jiǎn)單，函數(shù)的極限就是把自變量的極限值代入函數(shù)的結(jié)果。對(duì)于有理分式函數(shù)求極限的方法有幾種，求極限之前，對(duì)有理分式函數(shù)有時(shí)需要化簡(jiǎn)或變形，常用方法有：約分、通分、因式分解、分子或分母的有理化，三角函數(shù)恒等變形等等，化簡(jiǎn)或變形后，根據(jù)實(shí)際情況，選擇如下方法：

（1）當(dāng)g（x0）≠0，f（x0）≠0時(shí)，利用商的法則求極限；

（2）當(dāng)g（x0）=0，f（x0）≠0時(shí)，利用無(wú)窮大量與無(wú)窮小量關(guān)系，則 =∞

（3）當(dāng)g（x0）=0，f（x0）≠0時(shí)，適合的 未定式，利用洛必達(dá)法則

需要特別強(qiáng)調(diào)的是：四則運(yùn)算中，和與積的運(yùn)算法則只可推廣到有限項(xiàng)。

二、利用兩個(gè)重要極限求函數(shù)極限

在求函數(shù)極限的過(guò)程中，若能利用這兩個(gè)極限進(jìn)行替換，則整個(gè)過(guò)程將相對(duì)簡(jiǎn)單很多，但是在運(yùn)用過(guò)程中，對(duì)學(xué)生而言，特別要強(qiáng)調(diào)的是：兩個(gè)重要極限自變量的變化趨勢(shì)，第一個(gè)重要極限中自變量是趨于零的；第二個(gè)是趨于無(wú)窮大的。在教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，學(xué)生很多的時(shí)候只是觀察到求極限的函數(shù)，而沒(méi)有觀察自變量的變化趨勢(shì)，很容易發(fā)生錯(cuò)誤。

例如 則不能利用第一個(gè)重要極限計(jì)算，而要利用有界函數(shù)與無(wú)窮小的積仍是無(wú)窮小來(lái)計(jì)算。

三、無(wú)窮小量等價(jià)替換求函數(shù)極限

求極限過(guò)程中無(wú)窮小量等價(jià)替換為：當(dāng)x→0時(shí)，x～sin x，x～tan x

ln（1+x）～x，ex-1～x，arcsinx～x，arctanx～x等等。

要能夠靈活應(yīng)用無(wú)窮小量等價(jià)替換求函數(shù)極限，需要特別強(qiáng)調(diào)兩個(gè)問(wèn)題：

（1）在自變量的變化趨勢(shì)中，需要替換的兩個(gè)變量必須為無(wú)窮小量，若不是則不能進(jìn)行無(wú)窮小量等價(jià)替換，例：當(dāng)x→∞時(shí)，sina x 不能等價(jià)替換x.

（2）若能用無(wú)窮小量的等價(jià)替換，則要強(qiáng)調(diào)：在求極限過(guò)程中，等價(jià)替換只替換乘除，不替換加減。

例：求

解：若用等價(jià)無(wú)窮小量的替換

這是錯(cuò)誤的，正確的做法是：

四、利用洛必達(dá)法則求函數(shù)極限

對(duì)于 或 型未定式，可以利用洛必達(dá)法則求極限，且在滿足洛必達(dá)法則的條件下，可以多次使用，對(duì)于其他形式0·∞，00，∞0，1∞，∞-∞的未定式，利用取倒數(shù)，通分或取對(duì)數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為 或 型未定式，利用洛必達(dá)法則求極限。

例：

解：這是一個(gè) 型的未定式，利用洛必達(dá)法則求極限，當(dāng)x→0，x～sin x

該題就結(jié)合了積分和導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)，利用無(wú)窮小量的等價(jià)替換和洛必達(dá)法則求極限，這些知識(shí)如果利用得好，就能很快求出極限，而且計(jì)算量也不大。

需要特別強(qiáng)調(diào)的是并不是所有的 或 型未定式都能利用洛必達(dá)法則求極限，若無(wú)法斷定 的極限狀態(tài)或能斷定它振蕩而無(wú)極限，則洛必達(dá)法則失效。

例：

解：這是一個(gè) 型的未定式，但利用洛必達(dá)法則后，

原式= = cos ，此式振蕩無(wú)極限，故洛必達(dá)法則失效。

正確解法：

盡管求極限的方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止以上四種，但是我個(gè)人覺(jué)得以上四種方法是比較常用的，要能夠靈活的加以運(yùn)用，必須對(duì)其基本的知識(shí)點(diǎn)理解透徹，而且老師在教授的過(guò)程中，也要對(duì)其側(cè)重點(diǎn)進(jìn)行著重講解。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉金舜、羿旭明編著.高等數(shù)學(xué)教程[M].科學(xué)出版社，2013

[2]張?jiān)缍?試談求函數(shù)極限方法科技創(chuàng)業(yè)家[J].2013，（04下），184

作者簡(jiǎn)介：

俞霜（1980.10-），女，漢族，湖北黃岡人，講師，碩士，研究方向：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。