從生活實例講高斯公式與斯托克斯公式

周正松

【摘要】高斯公式和斯托克斯公式是多元微積分中的兩個非常重要的公式，然而在學(xué)習(xí)時并不容易理解和掌握，本文通過引入生活實例加圖例的方法，對這兩個公式以及散度和旋度概念進(jìn)行了形象直觀的闡述，使之更容易接受和理解，并能靈活應(yīng)用到實際問題中。

【關(guān)鍵詞】高斯公式 斯托克斯公式 散度旋度

【中圖分類號】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）03-0140-02

在理工科教學(xué)中，高斯公式和斯托克斯公式是高等數(shù)學(xué)課程中兩個非常重要的公式，對學(xué)生理解曲線、曲面積分，以及后續(xù)專業(yè)課程如電磁學(xué)、數(shù)學(xué)物理方程的學(xué)習(xí)都起著相當(dāng)重要的作用，同時這兩個公式也是考研數(shù)學(xué)中的熱門考點。在國內(nèi)大學(xué)通用的同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編著的《高等數(shù)學(xué)》[1]教材中，講到高斯公式和斯托克斯公式這部分內(nèi)容時，都是先直接給出定理，然后加以證明并介紹其應(yīng)用。然而在具體課堂教學(xué)時，要用這種方式講好這部分內(nèi)容，使學(xué)生能比較輕松地接受和理解它們，并不是一件容易的事情。為了使學(xué)生更好地理解并靈活應(yīng)用它們，本文通過引入生活實例加圖例的方法，對這兩個公式以及散度和旋度概念進(jìn)行了形象直觀的闡述。

一、高斯公式與散度

設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成，若函數(shù) P（ x，y，z） ，Q（ x，y，z） 與R（ x，y，z）在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有高斯公式（散度公式）：

在日常生活中，我們經(jīng)常見到如圖1-3用榔頭釘釘子，燈泡或太陽向四周輻射光線，點燃的煙花向周圍爆炸等現(xiàn)象。對這些現(xiàn)象進(jìn)行對比觀察，發(fā)現(xiàn)都具向四周散射的效果。

二、斯托克斯公式與旋度

設(shè) 為分段光滑的空間有向閉曲線，是以為邊界的分片光滑的有向曲面，的正向與的側(cè)符合右手規(guī)則，若函數(shù)P（ x，y，z），Q（ x，y，z） 與R（ x，y，z）在曲面（連同邊界）上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有斯托克斯公式（旋度公式）：

在日常生活中，我們見到過如圖5-7兩人扳手勁、用電鉆鉆孔、旋螺釘、用磨子推磨等現(xiàn)象。對這些現(xiàn)象進(jìn)行對比觀察，發(fā)現(xiàn)都具向旋轉(zhuǎn)的效果。

我們不妨對旋螺釘?shù)男ЧM(jìn)行受力分析，如圖8螺釘受到旋轉(zhuǎn)力A=（P，Q，R）作用，P，Q，R分別是旋轉(zhuǎn)力A在x，y，z三個坐標(biāo)軸方向上的旋轉(zhuǎn)分力，旋轉(zhuǎn)力A的作用效果等效于繞著三個坐標(biāo)軸方向上的旋轉(zhuǎn)分量作用效果，繞x軸旋轉(zhuǎn)分量為繞x軸順時

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].第7版.北京：高等教育出版社，2014，7.

[2]Dale Varberg.微積分[M].第9版.劉深泉，張萬芹，張同斌，杜保建，譯.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2015.1.

[3]潘克家，呂駿.線面積分三公式的聯(lián)系與教學(xué)[J].高等數(shù)學(xué)研究.2014，7.