高速射彈超空泡流動的重力和壓縮性效應(yīng)*

孟慶昌,張志宏,李啟杰

(海軍工程大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430033)

高速射彈超空泡流動的重力和壓縮性效應(yīng)*

孟慶昌,張志宏,李啟杰

(海軍工程大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430033)

超空泡射彈是一種新型的水下高速動能武器?；诶硐肟蓧嚎s勢流理論，考慮流體的重力效應(yīng)，建立了水下細(xì)長錐形射彈超空泡流動的統(tǒng)一理論模型和數(shù)值計(jì)算方法，分別導(dǎo)出了亞、超聲速條件下用于計(jì)算細(xì)長錐形射彈超空泡形態(tài)的積分-微分方程。采用二次多項(xiàng)式局部擬合空泡，提出了超空泡形態(tài)的數(shù)值離散和遞推求解方法。通過超空泡長細(xì)比的漸近解與數(shù)值解計(jì)算結(jié)果比較，驗(yàn)證了所建立的理論模型和計(jì)算方法的有效性。通過分析細(xì)長錐形射彈在不同運(yùn)動方式、深度、速度條件下的超空泡形態(tài)和流體動力系數(shù)計(jì)算結(jié)果，明確了流體重力和壓縮性效應(yīng)對超空泡尺度、射彈表面壓力分布和壓差阻力系數(shù)的影響。

流體力學(xué)；壓縮性；勢流理論；超空泡；射彈；亞聲速；超聲速；重力

利用超空泡現(xiàn)象可以大幅度減小水下運(yùn)動物體的摩擦阻力，從而大大提高其航行速度。基于超空泡原理的高速射彈，利用其彈道末端的剩余動能可攔截魚雷、擊毀水雷和破除水下障礙等。20世紀(jì)末，在美國，機(jī)載快速滅雷系統(tǒng)(RAMICS)已經(jīng)裝備部隊(duì)，超空泡射彈水下速度超過1 000 m/s。Y.D.Vlasenko[1]、Y.N.Savchenko[2]、I.N.Kirschner[3]開展的超空泡射彈實(shí)驗(yàn)水下運(yùn)動速度分別達(dá)到1 300、1 350和1 549 m/s，已超過了水中聲速1 450 m/s。目前，超空泡射彈還在進(jìn)一步向高速方向發(fā)展[4-6]。在不考慮流體的壓縮性效應(yīng)時，Y.S.Chou[7]、S.S.Kulkarni等[8]、K.Ohtani等[9]對射彈超空泡流動和彈體運(yùn)動特性進(jìn)行了計(jì)算。由于射彈高速沖擊導(dǎo)致的流體壓縮性效應(yīng)不容忽視，A.N.Varghese等[10]、A.D.Vasin[11-13]、V.V.Serebryakov等[4-6]基于細(xì)長體理論和漸近匹配展開法對超空泡形態(tài)影響的可壓縮效應(yīng)進(jìn)行了理論研究，張志宏等[14-15]進(jìn)一步拓展得到了亞、超聲速條件下細(xì)長錐形射彈的超空泡形態(tài)二階近似解，金永剛等[16]、張志宏等[17]建立了高速射彈超空泡流場的數(shù)值計(jì)算方法。

超聲速超空泡射彈發(fā)射后在水下依靠慣性無動力飛行，其速度從超聲速逐漸減至亞聲速，期間需要經(jīng)歷壓縮性效應(yīng)顯著的跨聲速階段。另外，超空泡射彈還需在變水深條件下運(yùn)動，水深變化引起的重力效應(yīng)(環(huán)境壓力和空泡數(shù)的變化)也不容忽視。因而，需要綜合分析流體壓縮性和重力效應(yīng)對高速射彈超空泡形態(tài)和流體動力特性的影響。文獻(xiàn)[14-17]僅能反映流體壓縮性效應(yīng)對超空泡形態(tài)和流場的影響，沒有反映流體的重力效應(yīng)。本文中，針對高速細(xì)長錐形超空泡射彈的實(shí)際應(yīng)用背景，綜合計(jì)及流體的重力和壓縮性效應(yīng)影響，統(tǒng)一建立亞、超聲速條件下超空泡流動的理論模型和數(shù)值計(jì)算方法，系統(tǒng)完整地解決高速射彈的超空泡形態(tài)、射彈表面壓力分布和壓差阻力系數(shù)等計(jì)算問題，擬為下一步超空泡射彈的彈型優(yōu)化設(shè)計(jì)和水下彈道預(yù)報(bào)提供理論基礎(chǔ)。

1 數(shù)學(xué)問題

在細(xì)長錐形射彈底部建立柱坐標(biāo)系(x,r)，如圖1所示。設(shè)射彈繞流為理想可壓縮流體無旋運(yùn)動，來流速度為U。根據(jù)亞、超聲速流動特點(diǎn)，假定亞聲速時超空泡尾部采用Riabouchinsky閉合方式，超聲速時則不需提供閉合方式。考慮重力對超空泡流動的影響，假定重力加速度g指向x軸負(fù)方向，當(dāng)射彈沿x軸負(fù)方向運(yùn)動時，對應(yīng)于流體重力勢能減小即垂直入水方向，反之為垂直出水方向。由于入水開空泡通大氣的復(fù)雜性，本文中只考慮射彈在液體中的水平、垂直向下和向上的運(yùn)動，不考慮氣水交界面上的入水問題。射彈半徑r=r1(x)=ε(x+l)預(yù)先給定，超空泡半徑r=R(x)和長度L則需通過計(jì)算確定，其中l(wèi)和Rn分別為射彈長度和底部半徑，取小參數(shù)ε=Rn/l。

圖1 細(xì)長錐形射彈及超空泡坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate system on slender conical projectile and supercavity

設(shè)高速射彈引起的流場擾動速度勢為φ，則描述亞、超聲速超空泡流動的數(shù)學(xué)問題是：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：Ma=U/a為無窮遠(yuǎn)處來流馬赫數(shù)，a為無窮遠(yuǎn)處來流聲速。

流體壓力與密度關(guān)系采用Tait狀態(tài)方程描述，即:

(5)

式中：p、ρ為無窮遠(yuǎn)處來流壓力和密度；p、ρ為流場中某點(diǎn)壓力和密度；n=7.15；B=298 MPa。

計(jì)及重力效應(yīng)的伯努利方程為：

(6)

式中：x為重力場參考平面坐標(biāo)，取x=0時對應(yīng)于射彈底面的中心位置。

對細(xì)長錐形射彈，流場壓力系數(shù)可導(dǎo)出：

(7)

式中：傅魯?shù)聰?shù)Fr=U

2 積分-微分方程

根據(jù)亞、超聲速流動特點(diǎn)，流場擾動速度勢可分別寫為：

(8)

(9)

利用式(2)和式(4)，將式(8)、式(9)分別代入式(7)，得到描述亞、超聲速細(xì)長錐形射彈超空泡形態(tài)(0≤x≤L-l)的非線性積分-微分方程分別為：

(10)

(11)

3 離散及迭代方法

求解超空泡形態(tài)，可將超空泡沿長度方向均勻分成N段，有N+1個節(jié)點(diǎn)，且x1=0，xN+1=L-l。設(shè)ζ在每段的相鄰兩節(jié)點(diǎn)之間按x(xi≤x≤xi+1)的二次多項(xiàng)式變化，即：

ζ=ζi+ai(x-xi)+bi(x-xi)2i=1,2,…,N

(12)

式中：ai和bi是待定系數(shù)。

利用式(4)及dζ/dx在各節(jié)點(diǎn)處連續(xù)的條件，得a1=2εRn以及ai+1的遞推公式為：

ai+1=ai+2bi(xi+1-xi)i=1,2,…,N

(13)

利用式(12)，可得計(jì)算各節(jié)點(diǎn)xk處超空泡ζk的累加表達(dá)式為：

(14)

系數(shù)bi(i=1,2,…,N)的確定成為超空泡形態(tài)計(jì)算的關(guān)鍵。在亞、超聲速條件下，將式(12)分別代入式(10)和式(11)，得到求解bi的線性代數(shù)方程組和遞推公式分別為：

k=1,2,…,N,Ma<1 (15)

(16)

Ma<1 (17)

(18)

(19)

式中：D為射彈的壓差阻力。

4 結(jié)果與分析

取射彈幾何參數(shù)為：l=120 mm，Rn=6 mm，ε=0.05。由文獻(xiàn)[4-6]，超空泡長細(xì)比λ的漸近解為：

(20)

在已知射彈運(yùn)動速度時，可以計(jì)算來流馬赫數(shù)Ma和空化數(shù)σ，通過式(10)或式(11)和式(14)，可以計(jì)算亞聲速或超聲速條件下細(xì)長錐形射彈的超空泡形態(tài)，并進(jìn)一步得到超空泡長細(xì)比與馬赫數(shù)的變化關(guān)系。不同深度射彈水平運(yùn)動時超空泡長細(xì)比的漸近解與數(shù)值解結(jié)果比較如圖2所示，兩者整體上符合較好，驗(yàn)證了本文理論模型和數(shù)值解法的正確性。在大部分情況下，λ隨Ma基本呈線性變化，即隨Ma增加超空泡形態(tài)將變得更加細(xì)長。但在跨聲速(0.8

在射彈深度和速度恒定(如h=20 m，Ma=0.7,1.2)時，計(jì)算射彈水平及出、入水運(yùn)動的超空泡形態(tài)。當(dāng)射彈水平運(yùn)動(對應(yīng)于Fr→)時，計(jì)算得到的超空泡形態(tài)在亞聲速時前后對稱，在超聲速時前后稍微不對稱，主要原因是：亞聲速時擾動可向流場四周傳播，而超聲速時擾動僅在馬赫錐內(nèi)向下游傳播。在射彈垂直入水(對應(yīng)于Fr2>0)或垂直出水(因射彈運(yùn)動方向與重力加速度g方向相反，對應(yīng)于Fr2<0)時，由于重力效應(yīng)的影響，推遲或加速了超空泡尾部的封閉，使超空泡的長度拉長或縮短，如圖3所示。射彈出入水時重力效應(yīng)主要影響超空泡的尾部形態(tài)，并使超空泡前后呈現(xiàn)不對稱。

圖2 超空泡長細(xì)比的數(shù)值解與漸近解Fig.2 Supercavity aspect ratio between numerical and asymptotic solution

圖3 運(yùn)動方式對超空泡形態(tài)的影響Fig.3 Effect of movement mode on supercavity profile

另外，重力效應(yīng)并不完全體現(xiàn)在Fr數(shù)的大小上，由式(10)和式(11)可以看出，它同時還與超空泡的尺度坐標(biāo)x有關(guān)。計(jì)算分析表明，當(dāng)射彈沿水平方向或沿垂直出水方向運(yùn)動時，超空泡尾部可以自然封閉，因而可以得到超空泡形態(tài)的收斂解。當(dāng)射彈沿垂直入水方向運(yùn)動時，由于超空泡長度隨Ma增加而增加，當(dāng)Ma過大導(dǎo)致超空泡長度過長而入水深度不足時，由于超空泡來不及封閉，則無法滿足超空泡尾部的閉合準(zhǔn)則，理論計(jì)算將得不到收斂的超空泡形態(tài)數(shù)值解。

重力效應(yīng)對超空泡尺度的影響還與水深大小有關(guān)，如圖4所示。圖中縱坐標(biāo)Lu/Lh、Ru/Rh分別為射彈出水和水平運(yùn)動的超空泡長度和最大半徑之比。在水深較小(如水深為零)時，超空泡尺度受重力效應(yīng)的影響較大，且隨Ma的增加而增加。相對于射彈水平運(yùn)動的超空泡尺度，射彈出水時超空泡長度比半徑減小得更快，即在同樣的Ma下，Lu/Lh偏離1的位置比Ru/Rh大。當(dāng)水深增加(如h=20 m)時，Lu/Lh和Ru/Rh偏離1的位置減小。說明水深較大時，射彈出水時的超空泡尺度受重力效應(yīng)的影響相對減小，即更加接近于射彈水平運(yùn)動時的超空泡尺度。因此，水深越大，無論射彈是水平運(yùn)動還是垂向運(yùn)動，他們的超空泡尺度大小就越接近，重力效應(yīng)對射彈不同運(yùn)動方式形成的超空泡尺度的影響就越小。

在射彈速度恒定時，進(jìn)一步計(jì)算水深變化對射彈出水超空泡形態(tài)的影響。當(dāng)射彈沿垂直方向(垂直向下或垂直向上)運(yùn)動時，其超空泡在垂向?qū)⒃馐懿煌闹亓ψ饔?。圖5為射彈以速度Ma=0.7垂直出水的超空泡形態(tài)，水深h分別為10、20、30、40 m?？梢?，隨著水深增加，超空泡長度和半徑將依次縮小，但縮小的趨勢逐漸減緩。

圖4 出水與水平運(yùn)動超空泡長度和最大半徑之比Fig.4 Ratio of supercavity length to maximum radius for upward to horizontal movement

圖5 深度對出水超空泡尺度的影響Fig.5 Effect of depth on supercavity scale for upward movement

當(dāng)射彈沿水平方向運(yùn)動時，由于不同深度條件下空化數(shù)不同，也將導(dǎo)致所形成的超空泡尺度不同。當(dāng)射彈以亞聲速M(fèi)a=0.8和超聲速M(fèi)a=1.2作水平運(yùn)動時，深度增加將使超空泡長度和最大半徑相應(yīng)縮小。水深小時減小得快，水深大時減小得慢，如圖6所示。說明水深較小時，超空泡尺度對深度變化比較敏感，而水深較大時，深度變化對超空泡尺度的影響較小。

考慮重力和壓縮性效應(yīng), 計(jì)算射彈表面壓力分布和壓差阻力系數(shù)隨馬赫數(shù)的變化關(guān)系。在水深一定(如h=20 m)時，Ma的變化對射彈表面壓力分布有較大影響，射彈表面的壓力系數(shù)在錐尖處為駐點(diǎn)壓力，亞聲速時由錐尖至錐底逐漸減小，在錐底處壓力系數(shù)減小為各自水深和速度下的負(fù)空化數(shù)，如圖7所示。當(dāng)Ma由0.3增加至0.7時，壓力系數(shù)增加較慢，當(dāng)Ma由0.7增加至0.9時，壓力系數(shù)增加較快，而當(dāng)Ma由0.9增加至0.99時，壓力系數(shù)則急劇增加。Ma的變化反映了流體壓縮性效應(yīng)的影響。

超聲速條件下，由式(18)可知，相同速度時射彈表面壓力系數(shù)與水深無關(guān)。由于超聲速時Fr很大，而射彈尺度又很小，因此無論射彈是水平運(yùn)動還是出水或入水運(yùn)動，射彈表面的壓力系數(shù)將基本保持不變，且近似為常數(shù)。

圖6 深度對超空泡長度和半徑的影響Fig.6 Effect of depth on supercavity length and radius

圖7 不同馬赫數(shù)下的壓力系數(shù)分布Fig.7 Pressure coefficients for different Mach number

射彈的壓差阻力系數(shù)與其表面的壓力系數(shù)和空化數(shù)的大小有關(guān)。通過射彈表面的壓力系數(shù)分布，可以定性反映射彈運(yùn)動的壓差阻力系數(shù)大小。在亞聲速時，壓差阻力系數(shù)隨水深增加有明顯增加，主要是由水深變化導(dǎo)致的空化數(shù)增加而引起的，如圖8所示。在超聲速時，由于射彈速度大，水深增加引起的空化數(shù)變化小，不同水深、相同速度時射彈表面的壓力系數(shù)分布基本保持不變，因而壓差阻力系數(shù)與水深變化關(guān)系不大。因此，在亞聲速時流體重力效應(yīng)對壓差阻力系數(shù)的影響較大，而在超聲速時則影響較小。

在0.81.7、R/R0>1.4、CD/CD0>1.8，說明流體壓縮性效應(yīng)在跨聲速范圍內(nèi)影響明顯。當(dāng)Ma<0.3和Ma時，可壓與不可壓超空泡流動的參數(shù)之比趨于1，說明此時流體的壓縮性效應(yīng)較小。對Ma的高超聲速情況，流體壓縮性效應(yīng)將隨Ma增加而增加。因此可知，射彈運(yùn)動速度范圍不同，導(dǎo)致的流體壓縮性效應(yīng)影響也不同，如果在理論模型中不考慮流體的壓縮性效應(yīng)，計(jì)算結(jié)果將會引起較大誤差。

圖8 不同深度時壓差阻力系數(shù)與馬赫數(shù)的關(guān)系Fig.8 Base drag coefficient vs. Mach number at different depths

圖9 可壓縮與不可壓縮流動參數(shù)之比Fig.9 Flow parameter ratio of compressibility to incompressibility

5 結(jié) 論

建立的亞、超聲速細(xì)長錐形射彈超空泡流動的理論模型和計(jì)算方法，考慮了流體的壓縮性特別是重力效應(yīng)，可以計(jì)算細(xì)長錐形射彈運(yùn)動方式、深度、速度的變化對超空泡形態(tài)和流體動力系數(shù)的影響。對細(xì)長錐形射彈垂直出入水運(yùn)動，流體重力效應(yīng)主要體現(xiàn)在沿深度方向空泡周圍的壓力改變上。對細(xì)長錐形射彈水平運(yùn)動，流體重力效應(yīng)主要體現(xiàn)在水深變化導(dǎo)致的空泡數(shù)改變上。亞聲速時，流體重力效應(yīng)對細(xì)長錐形射彈壓差阻力系數(shù)有明顯影響，而超聲速時影響較小。流體壓縮性效應(yīng)對超空泡形態(tài)、細(xì)長錐形射彈表面壓力分布和射彈壓差阻力系數(shù)的影響主要體現(xiàn)在跨臨界速度和高超聲速范圍內(nèi)。由于理論模型中未計(jì)及跨聲速時的非線性效應(yīng)影響，因而在跨聲速范圍時計(jì)算結(jié)果只能定性反映超空泡射彈的流動特性變化。

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(責(zé)任編輯 丁 峰)

Effects of gravity and compressibility on supercavitating flow caused by high speed projectile

Meng Qingchang, Zhang Zhihong, Li Qijie

(CollegeofScience,NavalUniversityofEngineering,Wuhan430033,Hubei,China)

The supercavitating projectile is a new underwater weapon with high speed and kinetic energy. Based on the theory of the ideal compressible potential flow, and taking into account of the gravity effect, an unified theoretical model and numerical calculation for the supercavitating flow caused by an underwater slender conical projectile were constructed, the integral-differential equations for computing the supercavity profiles at subsonic and supersonic speed were derived, and the numerical discrete scheme and a recursive solution were proposed using local fitting of quadratic polynomial, thus obtaining the supercavity profile. The theoretical model and numerical calculation were verified by comparing the asymptotic solutions with the numerical ones of the supercavity aspect ratio. The effects of gravity and compressibility on the supercavity scale, pressure distribution over the projectile and base drag coefficient were summarized through analysis of the supercavity profiles and hydrodynamic coefficients in different movement modes, depths and speeds for the slender conical projectile.

fluid mechanics; compressibility; potential flow theory; supercavity; projectile; subsonic; supersonic; gravity

10.11883/1001-1455(2016)06-0781-08

2015-04-27； < class="emphasis_bold">修回日期：2015-06-15

2015-06-15

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51309230,51479202); 中國博士后科學(xué)基金項(xiàng)目(2013M542531,2014T70992)

孟慶昌(1981— )，男，博士，講師；

張志宏，zhangzhihong_999@163.com。

O353.4 <國標(biāo)學(xué)科代碼：1302534 class="emphasis_bold"> 國標(biāo)學(xué)科代碼：1302534 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A國標(biāo)學(xué)科代碼：1302534

A