混凝土板在接觸爆炸作用下的震塌和貫穿臨界厚度計(jì)算方法*

岳松林，王明洋，張 寧，邱艷宇，王德榮

(解放軍理工大學(xué)爆炸沖擊防災(zāi)減災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇 南京 210007)

混凝土板在接觸爆炸作用下的震塌和貫穿臨界厚度計(jì)算方法*

岳松林，王明洋，張 寧，邱艷宇，王德榮

(解放軍理工大學(xué)爆炸沖擊防災(zāi)減災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇 南京 210007)

采用剛塑性模型描述介質(zhì)的動(dòng)力學(xué)行為，結(jié)合不可壓縮條件和質(zhì)量守恒條件及邊界條件，構(gòu)造塑性區(qū)的動(dòng)力學(xué)許可速度場(chǎng)；利用極限平衡原理推導(dǎo)動(dòng)力學(xué)許可速度場(chǎng)所對(duì)應(yīng)的介質(zhì)抗力的量綱一表達(dá)式；根據(jù)初始條件和邊界條件，求解運(yùn)動(dòng)方程，分別得到爆炸震塌的臨界厚度和爆炸貫穿的臨界厚度，并推得能夠反映爆炸源參數(shù)和材料參數(shù)綜合性質(zhì)的量綱一沖擊因子。將推得的計(jì)算公式與經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)比分析，證明本文計(jì)算結(jié)果合理，推導(dǎo)的計(jì)算公式揭示了經(jīng)驗(yàn)公式的物理本質(zhì)，且具有較為廣泛的適用范圍。

爆炸力學(xué)；臨界厚度；剛塑性模型；極限平衡原理；接觸爆炸；震塌；貫穿；量綱一沖擊因子

混凝土板在爆炸或沖擊作用下，將產(chǎn)生震塌、貫穿以及沖切等形態(tài)的局部破壞，關(guān)于這些局部破壞效應(yīng)的問(wèn)題稱為震塌問(wèn)題[1-2]。震塌破壞是指結(jié)構(gòu)體受到爆炸或沖擊荷載作用時(shí)，在結(jié)構(gòu)背面形成反射拉伸波，并造成結(jié)構(gòu)背面介質(zhì)的破碎和層裂。貫穿破壞是結(jié)構(gòu)厚度相對(duì)較薄情形下，爆炸或沖擊荷載產(chǎn)生的壓縮彈坑與背爆面震塌坑貫通，形成貫穿的孔洞。沖切破壞是結(jié)構(gòu)厚度很小的情況下，爆炸或沖擊荷載將作用范圍內(nèi)靶板材料整體沖塞下來(lái)，在靶板中不能區(qū)分壓縮彈坑和震塌坑。爆炸震塌和爆炸貫穿是指爆炸荷載導(dǎo)致的震塌破壞和貫穿破壞，區(qū)別于沖擊或侵徹震塌和貫穿[3]。由于混凝土是一種結(jié)構(gòu)性材料，其強(qiáng)度和變形特性受配合比、骨料尺寸等材料結(jié)構(gòu)特性的影響，因此混凝土材料的震塌破壞既與金屬材料的震塌破壞有相同的機(jī)理，又有自身的特點(diǎn)。尤其是結(jié)構(gòu)性材料的隨機(jī)分布、鋼筋與混凝土的相互作用等復(fù)雜問(wèn)題尚待解決。因此混凝土材料的結(jié)構(gòu)震塌問(wèn)題的理論研究進(jìn)展緩慢[1]。

震塌破壞現(xiàn)象最早是由霍普金森于1914年進(jìn)行爆炸效應(yīng)研究時(shí)觀察到的；隨后，萊茵哈特在金屬板接觸爆炸的實(shí)驗(yàn)中，曾多次觀察到層裂現(xiàn)象，他將爆炸荷載簡(jiǎn)化為三角形荷載，并用第一強(qiáng)度理論計(jì)算出了層裂厚度和剝離速度；20世紀(jì)60年代后期，美國(guó)彈道研究實(shí)驗(yàn)室(Ballistic Research Laboratory)提出了BRL公式，可以直接計(jì)算貫穿厚度，通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究得到震塌厚度與貫穿厚度間的關(guān)系[3]；20世紀(jì)70年代，格倫、B. C. 尼基福羅夫斯基和Е.И. 舍馬金亦分別采用第一強(qiáng)度理論和三角形荷載的假設(shè)，得到爆炸震塌的相關(guān)研究成果[3]。1982年，A.Haldar等[4]根據(jù)量綱分析，用外部荷載總能量與介質(zhì)抗壓強(qiáng)度間的關(guān)系，引入量綱一參數(shù)：I=(NmV2)/(D3fc)；1984年，G.Hughes[5]利用外部荷載總能量與混凝土的抗拉強(qiáng)度之間的關(guān)系，定義沖擊系數(shù)如下：I=(NmV2)/(D3ft)。然而這些研究成果多數(shù)是關(guān)于彈體沖擊或侵徹引起的震塌和貫穿效應(yīng)，關(guān)于爆炸震塌方面的資料很少，僅有美國(guó)空軍《防護(hù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)手冊(cè)》給出了爆炸震塌厚度經(jīng)驗(yàn)公式，被稱為PCDM公式[1]，但PCDM公式不適用于接觸爆炸對(duì)防護(hù)結(jié)構(gòu)的破壞作用。

20世紀(jì)50～70年代，中國(guó)曾系統(tǒng)地組織關(guān)于結(jié)構(gòu)體遭受炮航彈攻擊時(shí)的震塌破壞實(shí)驗(yàn)，基于大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，編制了相關(guān)的設(shè)計(jì)規(guī)范。但限于實(shí)驗(yàn)設(shè)備和測(cè)量手段落后，獲取的有效信息較少，因而對(duì)震塌破壞的認(rèn)識(shí)尚處于宏觀唯象階段，現(xiàn)行設(shè)計(jì)規(guī)范中給出的震塌半徑計(jì)算公式，只能給出近似預(yù)測(cè)值，與當(dāng)前發(fā)展和應(yīng)用新型防護(hù)材料的需求不相適應(yīng)[3]。近年來(lái)，中國(guó)學(xué)者對(duì)爆炸近區(qū)問(wèn)題和爆炸震塌機(jī)理的研究更加深入，提出了一些更加適用的震塌計(jì)算公式和防護(hù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法,如：王明洋等[6]提出在研究介質(zhì)中侵徹與爆炸近區(qū)過(guò)程中，運(yùn)用空腔膨脹理論存在的問(wèn)題，分析了其產(chǎn)生的原因，并推得侵徹、貫穿比例換算關(guān)系和爆炸近區(qū)的幾何相似關(guān)系等簡(jiǎn)單實(shí)用的結(jié)果；王明洋等[7]給出了鋼板-鋼纖維鋼筋混凝土遮彈板接觸爆炸下的極限設(shè)計(jì)分析的實(shí)用方法；張想柏等[2]進(jìn)行了混凝土板表面接觸爆炸實(shí)驗(yàn)，運(yùn)用相似理論和數(shù)值手段，對(duì)爆炸震塌實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和現(xiàn)象進(jìn)行分析，基于量綱分析建立了新的震塌厚度計(jì)算公式，并根據(jù)破壞等級(jí)，將震塌破壞系數(shù)定量化；王德榮等[8-9]和李學(xué)業(yè)等[10]結(jié)合爆炸近區(qū)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式和徑向裂縫陣面形成時(shí)的耗能情況，研究爆炸近區(qū)介質(zhì)的動(dòng)力變形與破壞情況，得到RPC混凝土在接觸爆炸作用下的破壞半徑系數(shù)。這些工作注重對(duì)震塌破壞的物理機(jī)理和力學(xué)本質(zhì)的研究，對(duì)震塌效應(yīng)評(píng)估和防護(hù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)有重要的參考價(jià)值，然而這些成果不能有效區(qū)分震塌破壞、貫穿破壞和沖切破壞。

根據(jù)沖擊震塌和貫穿方面的研究成果[11-14]，本文中把臨界震塌厚度和臨界貫穿厚度作為評(píng)估爆炸局部破壞的2個(gè)分界點(diǎn)。爆炸荷載固定的情況下，當(dāng)材料厚度大于臨界震塌厚度時(shí)，只在結(jié)構(gòu)迎爆面產(chǎn)生壓縮彈坑，不會(huì)發(fā)生震塌現(xiàn)象；當(dāng)材料厚度介于臨界震塌厚度和臨界貫穿厚度時(shí)，發(fā)生爆炸震塌現(xiàn)象；當(dāng)材料厚度小于臨界貫穿厚度時(shí)，發(fā)生爆炸貫穿現(xiàn)象；當(dāng)材料厚度足夠小時(shí)，計(jì)算得到的臨界震塌厚度等于或小于臨界貫穿厚度，它代表材料尚未形成震塌塊就被整體沖切下來(lái)，此時(shí)發(fā)生爆炸沖切現(xiàn)象。因此，問(wèn)題的關(guān)鍵是如何確定爆炸作用下板的臨界震塌厚度和臨界貫穿厚度。本文中結(jié)合理論分析，推導(dǎo)2類臨界厚度的計(jì)算公式，并進(jìn)行算例和對(duì)比分析。

1 基本原理及模型假設(shè)

建立介質(zhì)表面點(diǎn)源爆炸的物理模型，研究混凝土板在接觸爆炸作用下的局部破壞現(xiàn)象。根據(jù)混凝土板爆炸局部破壞效應(yīng)實(shí)驗(yàn)[2-15]，在板厚足夠大的情況下，板的迎爆面，產(chǎn)生壓縮彈坑，可不考慮反射面的影響；隨著板厚的減小，板的背爆面，即反射面，開(kāi)始出現(xiàn)明顯裂紋、鼓包，甚至產(chǎn)生反射漏斗坑，發(fā)生震塌現(xiàn)象；板厚進(jìn)一步減小，反射漏斗坑與壓縮漏斗坑貫通，發(fā)生貫穿現(xiàn)象；當(dāng)板厚足夠小，迎爆面尚未形成壓縮彈坑，板已經(jīng)被擊穿，此種情況為板的沖切現(xiàn)象。

從能量的角度來(lái)講，混凝土材料在爆炸荷載作用下發(fā)生屈服破碎，碎塊相互摩擦、滑動(dòng)，這是對(duì)爆炸能量消耗的過(guò)程，塑性階段消耗的能量遠(yuǎn)大于彈性階段消耗，可忽略彈性階段；而爆炸近區(qū)出現(xiàn)不可逆的大變形，自由面存在的情況下，應(yīng)變球張量(體積壓縮量)很小和應(yīng)變偏張量(剪切變形量)很大，在整個(gè)應(yīng)力應(yīng)變曲線上，塑性階段為主要部分，彈性階段可以忽略，因此采用剛塑性模型描述介質(zhì)的動(dòng)力學(xué)行為[13]。

根據(jù)不可壓縮條件和質(zhì)量守恒條件及邊界條件，構(gòu)造塑性區(qū)的動(dòng)力學(xué)許可速度場(chǎng)；利用極限平衡原理分別推得半空間介質(zhì)表面和有限厚度介質(zhì)表面壓縮彈坑在膨脹過(guò)程中的介質(zhì)抗力的量綱一表達(dá)式。根據(jù)沖擊阻力的量綱一表達(dá)式，可以得到?jīng)_擊阻力曲線，進(jìn)而能夠找到臨界震塌的壓碎區(qū)半徑RA和臨界貫穿的壓碎區(qū)半徑RB。結(jié)合初始條件，對(duì)膨脹過(guò)程的運(yùn)動(dòng)方程積分，可以計(jì)算得到最終的壓碎區(qū)半徑R。如果R=RA，則在此板厚和裝藥情況下發(fā)生臨界震塌現(xiàn)象，此時(shí)的板厚LA為臨界震塌板厚；如果R=RB，則在此板厚和裝藥情況下發(fā)生臨界貫穿現(xiàn)象，此時(shí)的板厚LB為臨界貫穿板厚。

如果已知介質(zhì)抗力P，可得運(yùn)動(dòng)方程：

(1)

式中：m為沖擊體質(zhì)量；R為壓碎區(qū)半徑。沖擊體的初始條件為：

(2)

式中：a為沖擊體的初始半徑，v0為初始徑向沖擊速度。結(jié)合式(2)可以求出壓碎區(qū)最終半徑R，然后比較R、RA、RB的關(guān)系，可以判定在板厚L條件下發(fā)生何種破壞現(xiàn)象。

通過(guò)求剛塑性模型的極限荷載可以得到介質(zhì)抗力P。介質(zhì)的極限荷載是材料開(kāi)始發(fā)生塑性變形時(shí)的荷載。對(duì)于剛塑性模型，可得到極限荷載的上下限。根據(jù)虛功率原理和塑性極限荷載上限定理有[16-18]：

(3)

(4)

根據(jù)式(4)右側(cè)積分量，求左側(cè)未知極限荷載Pi,k，從上限來(lái)評(píng)估極限作用力。這樣，問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何建立動(dòng)力學(xué)許可速度場(chǎng)，而這一描述可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和過(guò)程的實(shí)驗(yàn)室模擬來(lái)獲得[18-19]。

2 爆炸抗力極限載荷值計(jì)算

2.1 沖擊體初始條件

圖1 接觸爆炸下介質(zhì)表面沖量荷載計(jì)算模型Fig.1 Impulse on the surface of medium under contact explosion

圖1為接觸爆炸下介質(zhì)表面沖量計(jì)算模型，Rw為裝藥半徑，ρw為裝藥密度，ρm為介質(zhì)密度，α1介質(zhì)表面一點(diǎn)到裝藥中心點(diǎn)的連線與介質(zhì)表面發(fā)現(xiàn)的夾角，β1為壓碎區(qū)邊界上一點(diǎn)與壓碎區(qū)球心的連線。假設(shè)爆炸為瞬時(shí)爆轟，球形裝藥與介質(zhì)表面接觸；爆轟產(chǎn)物對(duì)介質(zhì)高速?zèng)_擊作用下，介質(zhì)剪切模量可以忽略，區(qū)域FGF′瞬間進(jìn)入塑性流動(dòng)狀態(tài)；區(qū)域FGF′的半球體為初始沖擊體，且爆轟產(chǎn)物對(duì)介質(zhì)的沖量全部轉(zhuǎn)化為初始沖擊體的動(dòng)量。

根據(jù)文獻(xiàn)[20]，介質(zhì)表面接觸爆炸荷載沖量為

I=uxQμ′=πA0Qsin2α1

(5)

式中：μ′為藥形系數(shù)，Q為裝藥質(zhì)量，A0=(Nxw+ux)/(4π)，Nxw=Pw/(ρwux)，Pw=Ps=PD/2=(ρwD2)/2(k+1)，ux≈(2Qv)1/2，Q=πRw3ρw/3，Pw為平均爆轟壓力，PD為爆轟波陣面壓力，Qv為比能量或爆熱，ux為爆轟產(chǎn)物噴流或散射速度，Nxw為噴流面或散射面的移動(dòng)速度，D為爆速。

根據(jù)動(dòng)量守恒定律：壓力沖量等于動(dòng)量的變化，爆轟產(chǎn)物的豎向沖量等于沖擊體豎向動(dòng)量的初始值

(6)

式中：m=2πρma3/3，為初始沖擊體的質(zhì)量，即區(qū)域FGF′的質(zhì)量。

假設(shè)板的特征尺度遠(yuǎn)大于炸藥中心到板的距離l，則α=π/2，I=πA0Q，因此初始沖擊體的動(dòng)能為

(7)

又由功能轉(zhuǎn)換原理，建立初始沖擊體動(dòng)能與藥量的關(guān)系[28-30]：

(8)

(9)

TNT的爆熱Qv=4.23×106J/kg，其爆炸產(chǎn)物的平均噴流速度：ux=2 908 m/s；爆轟波陣面壓力PD=1.77×1010Pa，平均爆轟壓力Pw=8.83×109Pa，ρw=1 600 kg/m3，ux=2 908 m/s；已知巖石的密度約為ρ1=2 600 kg/m3，松散砂土的堆積密度約為ρ2=1 600 kg/m3。將這些參數(shù)代入式(9)中，可以分別算得巖石表面爆炸和松散砂土表面爆炸的能量分配系數(shù)：η1=0.21；η2=0.34。根據(jù)文獻(xiàn)[20]中的計(jì)算結(jié)果：藥包底部位于地表面時(shí)，表面爆炸能分配系數(shù)η=0.22，它介于本文計(jì)算結(jié)果中間，即η1<η<η2，能夠從一定程度上證明本文采用的沖量計(jì)算模型是合理的。

2.2 厚板表面點(diǎn)源爆炸的抗力計(jì)算

圖2 半空間表面點(diǎn)源爆炸介質(zhì)區(qū)域劃分Fig.2 Regional division of the half-space medium subjected to point-source explosion

當(dāng)板的厚度足夠大時(shí)，接觸爆炸荷載作用下，迎爆面產(chǎn)生壓縮彈坑，背爆面無(wú)明顯變化，其物理模型為半空間介質(zhì)表面點(diǎn)源爆炸。本文中采用剛塑性模型描述，其壓碎機(jī)理為剪切破壞，相關(guān)計(jì)算方法參見(jiàn)式(3)，根據(jù)爆炸實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，可以如圖2所示構(gòu)造動(dòng)力學(xué)許可速度場(chǎng)，介質(zhì)被分成3個(gè)區(qū)域(I、II、III)。

圖3 區(qū)域II、III速度場(chǎng)Fig.3 Velocity fields in regions II and III

圖4 塑性區(qū)II、III邊界曲線Fig.4 Schematic boundary lines of plastic regions

x=rcosφ+rφsinφ,y=rsinφ-rφcosφ

(10)

(11)

將塑性區(qū)域繞Z軸旋轉(zhuǎn)，可以得到球坐標(biāo)中的塑性體，記旋轉(zhuǎn)角為θ，結(jié)合以上條件，可以得到球坐標(biāo)(ρ,φ,θ)下各個(gè)區(qū)域的速度場(chǎng)。區(qū)域II動(dòng)力學(xué)許可速度場(chǎng)為

(12)

應(yīng)變率場(chǎng)為

(13)

剪應(yīng)變率強(qiáng)度為

(14)

區(qū)域III速度場(chǎng)的直角坐標(biāo)形式為

vZ,3=-vR，vX,3=vR，vθ,3=0

(15)

應(yīng)變率場(chǎng)為

ξZ,3=ξX,3=ξθ,3=0

(16)

將上文計(jì)算得到的各物理量代入式(4)，得半空間表面點(diǎn)源爆炸過(guò)程中介質(zhì)抗力的量綱一形式為

(17)

2.3 有限厚度板表面點(diǎn)源爆炸的抗力計(jì)算

圖5 有限厚度板表面點(diǎn)源爆炸介質(zhì)區(qū)域劃分Fig.5 Regional division of the limited thickness slab subjected to point-source explosion

有限厚度板表面點(diǎn)源爆炸時(shí)，靶體背爆面的影響是顯著的，壓碎區(qū)半徑R發(fā)展到一定程度時(shí)靶體材料停止向迎爆面擠出，而開(kāi)始向背表面移動(dòng)，圖5是有限厚度板表面點(diǎn)源爆炸介質(zhì)區(qū)域劃分示意。區(qū)域I是爆炸源周圍的壓碎區(qū)，區(qū)域II是背表面反射拉伸波產(chǎn)生的破碎區(qū)，區(qū)域III是彈性變形區(qū)(可忽略其變形和位移)。

2.3.1 動(dòng)力學(xué)許可第1速度場(chǎng)

圖4中區(qū)域II的范圍為

0≤φ≤φ0=π/4,R≤r≤L

(18)

壓碎區(qū)殼體的區(qū)域?yàn)?/p>

Σ1:x2+y2+z2=a2,Σ2:x2+y2+z2=R2

(19)

Σ1范圍內(nèi)椎體體積為

(20)

Σ1范圍內(nèi)椎體的錐底面積為

(21)

Σ2范圍內(nèi)椎體體積為

V2=2πR3(1-cosφ0)/3

(22)

Σ2范圍內(nèi)椎體的錐底面積為

S2=2πR2(1-cosφ0)

(23)

(1)根據(jù)質(zhì)量守恒，設(shè)vr為徑向速度，其表達(dá)式為

(24)

根據(jù)不可壓縮性條件以及區(qū)域?qū)ΨQ性，有

(25)

(2)已知速度場(chǎng)，可以得到應(yīng)變率場(chǎng)：

(26)

(3)應(yīng)變率強(qiáng)度為

(27)

(4)根據(jù)極限載荷上限值原理，經(jīng)過(guò)整理得到介質(zhì)抗力的極限載荷值：

(28)

2.3.2 動(dòng)力學(xué)許可第2速度場(chǎng)

動(dòng)力學(xué)許可第2個(gè)速度場(chǎng)只隨時(shí)間發(fā)生變化，不同位置處介質(zhì)的速度保持一致，它表示了沖擊體直接將漏斗范圍內(nèi)的剛性塊體從平板中壓出。介質(zhì)剛性塊的運(yùn)動(dòng)速度一開(kāi)始與沖擊體速度存在差異，隨著運(yùn)動(dòng)的發(fā)展剛性塊速度與沖擊體速度相同，由于這個(gè)過(guò)程十分短暫，這里忽略中間過(guò)程，因而剛性塊的初始運(yùn)動(dòng)速度與沖擊體的初始速度同。介質(zhì)抗力主要是間斷面上的摩擦力。

區(qū)域II內(nèi)的速度分量為

vr=vR,vφ=0,vθ=0

(29)

(30)

3 靶板臨界厚度計(jì)算方法

3.1 爆炸抗力的量綱一化

(31)

有限厚度板表面點(diǎn)源爆炸第1速度場(chǎng)的抗力：

(32)

有限厚度板表面點(diǎn)源爆炸第2速度場(chǎng)的抗力：

(33)

爆炸過(guò)程中，沖擊接觸面上受到周圍塑性區(qū)的介質(zhì)抗力總和表達(dá)式為

P=Pk·Sr

(34)

式中：Sr為沖擊接觸面面積。在半空間介質(zhì)中，不考慮自由面的影響，可以認(rèn)為Sr=2πr2；在有限厚度介質(zhì)中，可以認(rèn)為Sr=2πr2(1-cosφ0)，φ0=π/4。

圖6 爆炸抗力的函數(shù)曲線Fig.6 Function curves of material resistance

3.2 臨界震塌厚度計(jì)算方法

根據(jù)沖擊阻力曲線，可以計(jì)算得到介質(zhì)抗力的極限荷載，結(jié)合初始條件求解運(yùn)動(dòng)方程就能夠計(jì)算出壓碎區(qū)半徑，其實(shí)質(zhì)是將波動(dòng)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解抗力的問(wèn)題。臨界震塌情況下，爆炸抗力(P1)和初始沖擊體質(zhì)量(m1)可知。結(jié)合方程(1)、(16)、(19)，得到量綱一形式的運(yùn)動(dòng)方程：

(35)

初始條件：

(36)

記ω1=6.92πτsa/m1，ω2=11.68πτsa/m1，運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)?/p>

(37)

該微分方程不能直接求解，需進(jìn)行變換形式，分離變量而后積分得

(38)

整理得

(39)

(40)

式中：W為L(zhǎng)ambertW函數(shù)，x>-e-1時(shí)，W(x)為遞增函數(shù)，且結(jié)果是單值的實(shí)數(shù)，因此本文中的W總是單值的實(shí)數(shù)值。由式(31)、(32)求交點(diǎn)A處的介質(zhì)厚度得：

(41)

將(40)代入(41)得臨界震塌厚度：

(42)

它是量綱一因子ξ的函數(shù)，由(5)、(6)可以得到量綱一因子ξ與藥包質(zhì)量Q的關(guān)系：

(43)

根據(jù)接觸爆炸物理模型(如圖1)Rw=a，于是ξ=1.73ηQvδρw/τs。根據(jù)量綱分析，這是一個(gè)多方指數(shù)的量綱一組合，它表征了裝藥密度、炸藥爆熱、有效能比率、熱功當(dāng)量、介質(zhì)密度、屈服強(qiáng)度、壓力峰值、變形波速、最大粒子速度之間的內(nèi)在關(guān)系。

將量綱一形式的臨界震塌厚度，轉(zhuǎn)換為比例距離的形式：

(44)

對(duì)于裝藥參數(shù)和介質(zhì)材料參數(shù)確定情況下，量綱一因子ξ是確定的，結(jié)合式(42)，該比例距離能夠計(jì)算。模型尺寸發(fā)生改變時(shí)，作為震塌與否的判據(jù)，它是一個(gè)相似常數(shù)。對(duì)于可忽略重力加速度的小規(guī)模地下化學(xué)爆炸，這個(gè)結(jié)果是符合爆炸相似律的。

3.3 臨界貫穿厚度計(jì)算方法

對(duì)于臨界貫穿厚度的計(jì)算，其初始條件是，沖擊阻力曲線圖6中A′點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的位移和速度。此時(shí)沖擊體覺(jué)察到背爆面(自由面)的存在，并開(kāi)始形成貫穿體，運(yùn)動(dòng)方程中的介質(zhì)抗力按有限厚度介質(zhì)中的第1速度場(chǎng)計(jì)算，當(dāng)壓碎區(qū)半徑發(fā)展到B′點(diǎn)時(shí)，發(fā)生貫穿現(xiàn)象，通過(guò)B′點(diǎn)處壓碎區(qū)半徑與介質(zhì)厚度的函數(shù)關(guān)系，可以計(jì)算出臨界貫穿厚度。

根據(jù)爆炸貫穿的力學(xué)模型，結(jié)合式(1)、(32)、(34)?？梢缘玫介_(kāi)始形成貫穿體的運(yùn)動(dòng)方程：

(45)

初始條件為

(46)

臨界貫穿條件為

(47)

式中：t*為貫穿時(shí)刻。記ω3=17.63τs/(ρa(bǔ)2)，對(duì)式(45)分離變量再積分，得到從初始狀態(tài)到臨界貫穿狀態(tài)的過(guò)程滿足

(48)

根據(jù)式(38)可以得到開(kāi)始發(fā)生貫穿的初始條件的速度與位移關(guān)系：

(49)

結(jié)合(48)～(49)，消去vR項(xiàng)，并對(duì)其進(jìn)行整理得到

(50)

根據(jù)前文關(guān)于ω1、ω2、ω3的定義，可以得到：

ω3/ω1=1.70，ω2/ω1=1.69

(51)

由式(41)可以得到交點(diǎn)A′處初始狀態(tài)壓碎區(qū)半徑與介質(zhì)厚度的關(guān)系：

(52)

由式(32)～(33)得交點(diǎn)B′可得臨界貫穿時(shí)壓碎區(qū)半徑與介質(zhì)厚度的關(guān)系：

(53)

(54)

該方程的根，即能夠同時(shí)滿足貫穿運(yùn)動(dòng)方程、初始條件、邊界條件的臨界貫穿厚度。但無(wú)法求得解析解，只能用數(shù)值手段求近似解。結(jié)合式(44)、(54)可以得到比例距離形式的臨界震塌厚度與ξ的關(guān)系。

4 算例分析

4.1 兩類臨界厚度計(jì)算分析

圖7 臨界厚度與無(wú)量綱沖擊因子的關(guān)系曲線Fig.7 Relationship between critical thickness and dimensionless impact factor

圖7表明：臨界震塌厚度和臨界貫穿厚度都是量綱一沖擊因子ξ的遞增函數(shù)，ξ越大臨界厚度越大，ξ越小臨界厚度越小。量綱一沖擊因子是裝藥密度、炸藥爆熱、有效能比率、介質(zhì)屈服強(qiáng)度的綜合指標(biāo)，與爆炸源傳給介質(zhì)的沖擊荷載或能量成正比，與介質(zhì)的強(qiáng)度或抗力成反比。爆炸沖擊載荷越強(qiáng)，需要更厚的介質(zhì)來(lái)抵御沖擊；介質(zhì)強(qiáng)度越高，其抗爆炸沖擊能力越強(qiáng)，需要的抵抗厚度越小。

經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)：臨界震塌厚度Lz約為臨界貫穿厚度Lp的2倍，這與BRL公式、修正BRL公式[1,22]中：Lz=2Lp的關(guān)系相一致。

4.2 本文分析方法與經(jīng)驗(yàn)公式的對(duì)比

圖8 臨界震塌厚度與經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)比分析Fig.8 Analysis of theoretical and empirical formulas about critical spalling thickness

根據(jù)式(44)，可知本文爆炸臨界震塌厚度計(jì)算公式：

hz=g1(ξ)/(4πρw/3)1/3Q1/3

(55)

式中：hz為震塌臨界厚度；g1(ξ)按式(42)計(jì)算。

爆炸震塌臨界厚度經(jīng)驗(yàn)公式[1,3,22]如下：

(56)

式中：m*為填塞系數(shù)，對(duì)于表面爆炸，m*=1.0；Kz為介質(zhì)材料的臨界震塌系數(shù)。

利用式(55)～(56)計(jì)算臨界震塌厚度。將計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖8所示。

計(jì)算中采用的爆源參數(shù)：TNT裝藥密度ρw=1 600 kg/m3，爆熱Qv=4 227 710 J/kg，有效能比率η≈0.21；材料參數(shù)：由于臨界震塌系數(shù)，是根據(jù)大量的實(shí)驗(yàn)得到的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，這里只能給土工材料的大致范圍Kz=0.48～0.88；其對(duì)應(yīng)的介質(zhì)剪切屈服強(qiáng)度范圍為τs=6～1.5 MPa。

圖8表明：本文中計(jì)算方法得到的結(jié)果與經(jīng)驗(yàn)公式得到的結(jié)果有很大范圍的重合區(qū)域，證明本文中計(jì)算臨界震塌厚度的方法是合理的。本文中推導(dǎo)的計(jì)算參數(shù)是經(jīng)驗(yàn)系數(shù)的科學(xué)解釋，揭示了其內(nèi)在的物理本質(zhì)，式(55)的適用范圍更廣、考慮的關(guān)鍵參數(shù)更全面。

5 結(jié) 論

將介質(zhì)表面接觸爆炸問(wèn)題轉(zhuǎn)換初始沖擊體撞擊周圍介質(zhì)的問(wèn)題，利用極值原理，推得爆炸抗力，結(jié)合初始條件及邊界條件求解運(yùn)動(dòng)方程，得到了臨界震塌厚度和臨界貫穿厚度，通過(guò)算例分析得到以下結(jié)論：(1)臨界厚度由量綱一沖擊因子ξ決定，它們大致呈正比關(guān)系。ξ反映了炸藥能量效率和介質(zhì)強(qiáng)度的影響特性，它代表著炸藥對(duì)介質(zhì)的爆破能力。炸藥爆熱、密度、比能量系數(shù)越大，說(shuō)明炸藥的爆破效率越高，算得的ξ越小，臨界厚度越大；介質(zhì)屈服強(qiáng)度越高，說(shuō)明其可爆性越差，介質(zhì)對(duì)炸藥的抵抗能力越強(qiáng)，算得的ξ越小，臨界厚度越小。(2)定量描述了臨界厚度與ξ的關(guān)系；可以看到同一ξ下，臨界震塌厚度約為臨界貫穿厚度的2倍，這與BRL公式、修正BRL公式一致。(3)通過(guò)與經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)比分析，證明本文中計(jì)算方法是合理的。理論推導(dǎo)所得的計(jì)算公式揭示了經(jīng)驗(yàn)公式的物理本質(zhì)。

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(責(zé)任編輯 王小飛)

A method for calculating critical spalling and perforating thicknesses of concrete slabs subjected to contact explosion

Yue Songlin, Wang Mingyang, Zhang Ning, Qiu Yanyu, Wang Derong

(StateKeyLaboratoryforDisasterPrevention&MitigationofExplosion&Impact,PLAUniversityofScienceandTechnology,Nanjing210007,Jiangsu,China)

Tanking account of the mass conservation conditions, incompressible conditions and boundary conditions, this paper described the dynamic behaviors of the medium based on the plastic-rigid model and established the compatible dynamic velocity field in the plastic zone. In addition, utilizing the limit equilibrium theory, this paper derived the equations of material resistance to explosions in both the infinite and the semi-infinite medium. Combined with the initial and boundary conditions, the equations of motion can be solved and the critical depth can be obtained. Besides, this paper has obtained a dimensionless impact factor which reflects the integrated nature of explosive sources and media. The calculated results illustrated that the critical depth and the dimensionless impact factor have a proportional relationship. Finally, the comparative analysis of the empirical formulas with the derived equations proved that our calculation methods are valid and widely applicable.

mechanics of explosion; critical thickness; plastic-rigid model; the limit load theorems; contact explosion; spallation; perforation; dimensionless impact factor

10.11883/1001-1455(2016)04-0472-11

2013-09-18；

2014-12-21

國(guó)家自然科學(xué)青年基金項(xiàng)目(51308543)；教育部長(zhǎng)江學(xué)者和創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(IRT13071)

岳松林(1987- )，男，博士研究生；

王明洋，wmyrf@163.com。

O381國(guó)標(biāo)學(xué)科代碼：13035

A