直角三角形課程難度變化分析及其教學(xué)指導(dǎo)的探究

王潔蓮

摘要：本文借助史寧中教授等人的課程難度量化分析模型，對我國2011年的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《標準》）與2000年的《全日制九年義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用修改版）》（以下簡稱《大綱》）中“等腰三角形”的內(nèi)容難度進行對比分析，以此來探究初中幾何課程中直角三角形內(nèi)容的難度變化，希望可以對教師的教學(xué)實踐有指導(dǎo)性的意義。

關(guān)鍵詞：直角三角形；課程難度；課程實施時間；教學(xué)指導(dǎo)

中圖分類號：O1236文獻標識碼：A文章編號：1674-120X（2016）08-0061-02收稿日期：2015-12-04

一、背景

戴著三角形學(xué)界皇冠的直角三角形，以自身的特殊性和重要性，被人們世代探索。它在初中幾何中起著承上啟下的作用，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及生活生產(chǎn)中被廣泛應(yīng)用。本文借鑒史寧中等人的課程難度量化分析模型N=αG/T+（1-α）S/T對直角三角形知識進行難度定量分析，比較2011年的《標準》和2000年的《大綱》中該知識點的難度變化，探討此難度變化對教師教學(xué)實踐的指導(dǎo)作用。

二、難度量化比較

1廣度比較

通過對比《大綱》和《標準》可以得知，直角三角形知識點有了變化。相比于《大綱》，《標準》中增加了一個知識點：掌握“通過直角邊、斜邊作直角三角形”。經(jīng)過仔細查閱，取《標準》的課程廣度系數(shù)G1=10，《大綱》的課程廣度系數(shù)為G2=9。

2深度比較

總體上，《標準》和《大綱》中該模塊內(nèi)容課程深度普遍升高。例如：

（1）三角形符號意識的提升，由認識變?yōu)檎莆眨?/p>

（2）“根據(jù)題設(shè)和概念的意義、公理、定理進行推理論證”由“初步掌握”改變?yōu)椤罢莆铡保?/p>

（3）“斜邊、直角邊”定理判定直角三角形全等由“會用”提升為“掌握”；

（4）“直角三角形的重心概念及意義”由“認識”提升為“探索并了解”。

但同時，某些知識點難度也有相對的降低。例如：

（1）“勾股定理及逆定理的判定和應(yīng)用”由“掌握”降低為“體驗”；

（2）“運用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡單實際問題”由“掌握”降低為“會”。

綜合深度賦值表，取《標準》的課程深度=30，《大綱》的課程深度=26。

3課程實施時間比較

分析《標準》《大綱》中等腰三角形知識點的課程實施時間得知，兩者對直角三角形的課程內(nèi)容完成的所需時間基本一致，取《標準》的課程實施時間=8，《大綱》的課程實施時間=7。

4難度比較

基于前面三個方面得出的數(shù)據(jù)，代入課程難度量化分析模型，可以得到《標準》《大綱》的課程難度分別為N1=225，N2=226（其中，α=06）。顯然，在這個模型下，《標準》中直角三角形知識的課程難度比《大綱》中的低001，即課程難度降低了001。

三、教學(xué)啟發(fā)

根據(jù)以上得出的數(shù)據(jù)易知，直角三角形知識的課程難度降低了。由于《標準》和《大綱》中直角三角形的課程廣度、課程實施時間沒有發(fā)生很大的變化，所以影響該知識點難度變化的主要因素是課程深度。下面將具體分析課程廣度、課程深度、課程實施時間、課程難度四方面對教學(xué)實踐的啟發(fā)和指導(dǎo)。

1課程廣度變化對教學(xué)實踐的指導(dǎo)

《標準》中增加了“掌握通過直角邊、斜邊作直角三角形”這個知識點。這使得三角形知識的連貫性和系統(tǒng)性得以提高，教師思維的邏輯性以及目的性更為明確。現(xiàn)以兩種方法來解析該知識點。

方法一：

（1）在直線L上任意取兩點為M、N；

（2）作線段MN的中垂線交MN于點A；

（3）在中垂線上取點B，使AB為直角邊長；

（4）以點B為圓心，斜邊為半徑作圓，交直線L于點C；

（5）連接BC， 三角形ABC即為直角三角形。

方法二：

（1）以斜邊為半徑作圓O，并取直徑AB；

（2）以點A為圓心，直角邊為半徑作圓P交圓O兩點，任取一點為C；

（3）連接AB、BC，三角形ABC即為直角三角形。

2課程深度變化對教學(xué)實踐的指導(dǎo)

由以上直角三角形課程深度變化的對比分析可知，《標準》對《大綱》中直角三角形知識提出了新的要求。三角形知識的程序性和陳述性需要相協(xié)調(diào)才能共同得到提高。該種變化可以更高程度地使教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的數(shù)學(xué)思維，端正他們的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生掌握恰當?shù)膶W(xué)習(xí)方法。這便要求教師在教學(xué)中注意層次性和數(shù)學(xué)思維的邏輯性等。就《標準》的深度變化，現(xiàn)在對以上的結(jié)論舉相應(yīng)的例子證明。

（1）三角形學(xué)習(xí)中會遇到很多專用符號，如△，∠，∴，∵等較為常見的，《標準》中對此提出了更高要求，要求學(xué)生不僅會辨別，更要會掌握、熟悉地寫出。教師在教學(xué)中要從最基本的知識點出發(fā)層層深入展開教學(xué)。這種變化的好處是落實了基礎(chǔ)課程目標，增加了教師教學(xué)的可操作性。

（2）《標準》較《大綱》而言，更注重學(xué)生推理能力的鍛煉和加強，這有利于教師培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和思維的邏輯性。同時，推理驗證需要板書和語言說明，這有利于鍛煉教師的板書基本功和語言基本功。

（3）《標準》和《大綱》都有“斜邊、直角邊”定理判定直角三角形全等這個知識點，但是要求卻有所提高。這足以說明該知識點的重要性。直角三角形是一類特殊的三角形，因此對比于其他一般的三角形，它所具備的性質(zhì)也是比較特殊的?！靶边叀⒅苯沁叾ɡ怼痹谥苯侨切蔚膶W(xué)習(xí)中起到橋梁作用，一是承接了上述提到的作圖要求點，二是為學(xué)習(xí)特殊的三角形作了鋪墊?，F(xiàn)在以一例子加以說明：

例1：三角形ABD和三角形BAC，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD。求證BC=AD。

解析：根據(jù)直角三角形的特殊性質(zhì)，我們可以知道，若能證明兩個三角形都是直角三角形，“斜邊、直角邊”定理就能幫助解決問題了。由AC⊥BC，BD⊥AD易知兩者都為直角三角形，進而由全等三角形性質(zhì)得知BC=AD。

這道題簡單而重要，符合學(xué)習(xí)目的，貼近學(xué)生思想。教師在教學(xué)中要注重基礎(chǔ)性知識的講解，使教學(xué)方向更為明確。

（4）相對《大綱》，《標準》在直角三角形的學(xué)習(xí)中加深了對三角形重心的理解和學(xué)習(xí)。這有利于疏通知識的“管道”，讓分散的知識點連貫起來，提高教師教學(xué)的可操作性和條理性，同時數(shù)學(xué)思想的思辨性和確定性也能得到充分體現(xiàn)。

現(xiàn)以一例子加以說明：

例2：直角三角形的斜邊長為18，求三角形的重心到斜邊中點的距離。

解析：根據(jù)重心的概念得知，三角形三邊中線的交點即是重心。再由直角三角形的特殊性質(zhì)得知，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。故由題意可知斜邊上的中線長為9。又因為重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2∶1，因此可求出三角形的重心到斜邊中點的距離為3。

這道題主要運用直角三角形的特殊性質(zhì)和重心概念及性質(zhì)來解決。

（5）通過對比《標準》和《大綱》，《標準》中直角三角形該模塊對“勾股定理及逆定理”的深度要求降低了，這不僅為學(xué)生減壓，也為教師減壓。對學(xué)生而言，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性，提高學(xué)習(xí)效率。對教師而言，有利于明確教學(xué)內(nèi)容和方向，使教學(xué)更有層次性和科學(xué)性，避免過多介紹難題，要注重基礎(chǔ)題。對于勾股定理，現(xiàn)以一例子加以說明：

例3：等邊三角形ABC的邊長為2，過點A作BC邊上的高AD，垂足為D。求三角形ABC的面積。

解析：根據(jù)等邊三角形“三線合一”的性質(zhì)得知，BD=CD=1，在直角三角形ABD中，由勾股定理有AB2=BD2+AD2，故可求出高AD，再根據(jù)三角形的面積公式進而求出其面積。

對于勾股定理的逆定理，現(xiàn)以一例子加以說明：

例4：已知在三角形ABC中，三條邊長分別為a、b、c，a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n>1）。求證：∠C=90°。

解析：由勾股定理知道，直角三角形滿足兩直角邊的平方的和等于斜邊的平方。同理，若三角形的三邊滿足此種關(guān)系，該三角形即為直角三角形。因a2+b2=c2，故三角形ABC為直角三角形，易得證∠C=90°。

3課程實施時間變化對教學(xué)實踐的指導(dǎo)

根據(jù)上面課程實施時間的比較分析，《標準》和《大綱》中直角三角形的課程實施時間基本一致，這從一定程度上提高了教師對知識點的可操作性以及教學(xué)的層次性。面對直角三角形知識的“廣而淺”的情景，教師要科學(xué)、合理地安排授課時間和授課內(nèi)容，多注重基礎(chǔ)性知識的講解和類型題的練習(xí)，少普及難度高、偏離教學(xué)重難點的題目。

4課程難度變化對教學(xué)實踐的指導(dǎo)

總體而言，直角三角形的課程難度降低了，面對該模塊難度的下降，教師的教學(xué)實踐需要正確的啟發(fā)和指導(dǎo)。難度的降低在一定程度上提高了教師課堂主動性和可操作性，有利于教師思考如何在課堂上把直角三角形知識講授好，如何能有效地吸引學(xué)生的注意力以提高課堂效率等問題。

由以上分析得知，課程廣度、課程深度、課程實施時間這三大要素的改變會使課程難度發(fā)生改變，三者對教師教學(xué)實踐的指導(dǎo)總的來說就是為了探討課程難度對教師教學(xué)實踐的指導(dǎo)。相比《大綱》，《標準》對教師的教學(xué)實踐做出了相應(yīng)的改善。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要注重數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的有效結(jié)合，也就是知識的綜合性和層次性，使數(shù)學(xué)思維的邏輯性、知識的連貫性、方法的可行性、能力的創(chuàng)新性和教學(xué)的可操作性統(tǒng)一協(xié)調(diào)，讓教學(xué)更順利地進行。初中幾何教學(xué)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中地位很高，對我國數(shù)學(xué)教學(xué)也具有非常重要的意義。直角三角形的知識面較為廣泛，本文舉一些典型例子說明。