Cantor集的自相似子集的壓縮系數(shù)的討論

曾 瑩

(湖北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院 ，湖北 武漢430068)

Cantor集的自相似子集的壓縮系數(shù)的討論

曾 瑩

(湖北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院 ，湖北 武漢430068)

許多分形都是由一些與整體以某種方式相似的部分所組成的，而對(duì)稱Cantor集更是具有自相似性的一個(gè)典型而且非常重要的分形幾何，在原有對(duì)稱Cantor集自相似性性質(zhì)的基礎(chǔ)上對(duì)對(duì)稱Cantor集的自相似子集的壓縮系數(shù)的若干性質(zhì)做進(jìn)一步的探討.

IFS吸引子；λ-Cantor集；壓縮系數(shù)

對(duì)稱Cantor集具有自相似性，本文將對(duì)對(duì)稱Cantor集的自相似子集的壓縮系數(shù)的若干性質(zhì)做進(jìn)一步的討論.在本文中，我們約定R表示實(shí)數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Q表示有理數(shù)集.

我們把一個(gè)有限的壓縮映射族{S1,S2,…,Sm},(m≥2),稱為一個(gè)迭代函數(shù)系(IteratedFunctionSystem)，簡(jiǎn)稱IFS；稱D的非空緊子集F為IFS的吸引子(或者稱為不變集),若F滿足下面的方程

Hutchinson[1]與1981年證明了一個(gè)IFS有唯一的一個(gè)吸引子.通常吸引子是一個(gè)分形[2～6].

1 預(yù)備知識(shí)

下面給出Hausdorff度量，用D表示D的全部非空緊子集組成的集類.對(duì)于A?D我們稱所有與A距離不大于δ的D上的點(diǎn)組成的集為A的δ平行體，即

設(shè)A,B是D的兩個(gè)子集，定義A,B的Hausdorff度量為

d(A,B)=inf{δ:A?Bδ且B?Aδ}.

引理1[1](D，d)是完備度量空間,d是D上的完備度量，即D中的每個(gè)柯西列都收斂到D中的一個(gè)元素.

下面給出IFS上的一個(gè)基本結(jié)論.

設(shè){S1,S2,…,Sm}是D?Rn上的迭代函數(shù)系，滿足

(1)

對(duì)E∈D,定義Hutchinson算子

且記Sk為S的k次迭代,S1(E)=S(E),且對(duì)k≥2,Sk(E)=S(Sk-1(E)).

引理2 對(duì)于迭代函數(shù)系(1)，存在唯一的非空緊集F，滿足:

(2)

證明 顯然Hutchinson算子S是D到自身的映射.如果A,B∈D，則

(3)

引理3 若a是IFS中某個(gè)映射Sj的不動(dòng)點(diǎn)，則a∈F.

從而當(dāng)n→時(shí)，，即，又因?yàn)镕是閉集，所以a∈F.引理3證畢.

引理4 設(shè)φ為線性壓縮映射，若φ的壓縮比為ρ，不動(dòng)點(diǎn)為a,則

φ(x)=ρx+a(1-ρ)，并且φn(x)=a+ρn(x-a),對(duì)n≥1.

證明 設(shè)φ(x)=ρx+b，則φ(a)=ρa(bǔ)+b，又因?yàn)閍是不動(dòng)點(diǎn)，由a=φ(a)，a=ρa(bǔ)+b，得b=a(1-ρ)，故

φ(x)=ρx+a(1-ρ).

(5)

下面用歸納法證明第二個(gè)結(jié)論.

當(dāng)n=1時(shí)，就是(5)式.設(shè)φn-1(x)=a+ρn-1(x-a)，則

φn(x)=φ(φn-1(x))=φ(a+ρn-1(x-a))=ρ(a+ρn-1(x-a))+a(1-ρ)=a+ρn(x-a).

引理4證畢.

設(shè)x∈R，令[x]是小于x的最大整數(shù)，則{x}=x-[x]為x的小數(shù)部分，顯然{x}∈[0，1).

下面引理5是一維的kronecker定理.

引理5[5]設(shè)a∈Qc，a>0，則{na}n≥1在[0,1]中稠密.

引理6 設(shè)a∈Qc，，a>0，則{na-m;m,n∈N}在R中稠密.

令m=[na]-[m]，引理6得證.

下面定理研究Cλ的自相似子集的壓縮比，也是本文的主要結(jié)論.

φn(b)=a+ρn(b-a)∈Cλ,對(duì)任意n≥1.

(6)

由于有1-Cλ=Cλ我們有

1-φn(b)=1-a-ρn(b-a)∈Cλ,?n≥1.

(7)

由式(6)和(7)可知，存在c∈Cλ,d>0,使得c+ρ2nd∈Cλ.

下面使用反證法證明.

從而ρ2nλ-md∈(1,1+ε),即有

(8)

我們稱Si1i2…im([0,1])為m級(jí)基本區(qū)間，其中i1i2…im是{1,2}上長(zhǎng)度為m的詞.顯然m級(jí)基本區(qū)間的長(zhǎng)度為λm，而相鄰m級(jí)區(qū)間之間的最小間隔為λm-1(1-2λ).

設(shè)I是包含點(diǎn)c的m級(jí)基本區(qū)間，J是包含點(diǎn)c+ρ2nd的m級(jí)基本區(qū)間.由(8)式左邊的不等式，I和J是兩個(gè)不同的m級(jí)基本區(qū)間，從而有

上式與(8)式右邊不等式矛盾.

定理1證畢.

[1] Hutchinson J E.Fractals and self-similarity [J].Indiana Univ Math，1981,30：713-747.

[2] Feng D J,Rao H ,Wang Y.Self-similar subsets of the Cantor set[J].Advances in Mathe-matics， 2015，281：857-885.

[3] Hardy G H，Wright E M著.數(shù)論導(dǎo)引[M].5版.北京：人民郵電出版社，2008：397-398.

[4] 文志英.分形幾何的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)教育出版社,1999.

[5] Kenneth Falconer.分形幾何[M].北京：人民郵電出版社,2007：113-118.

[6] James R Munkres.拓?fù)鋵W(xué)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2006：204-205.

責(zé)任編輯：周 倫

Discussions about Compression Coefficient of Self Similar Subset of Cantor Set

ZENG Ying

(SchoolofScience,HubeiUniversityofTechnology,Wuhan430068,China)

Many fractals are composed of parts which are similar to the whole in some way,and symmetric Cantor set, which is with similarity, is a typical and vital fractal geometry.We will make further discussion about some properties of compression coefficient of self similar subset of Symmetric Cantor set.

the IFS attractor; symmetric Cantor set; coefficients.

2015-08-27

國(guó)家自然科學(xué)基金(51109086)

曾 瑩(1980—)，女，湖北武漢人，講師，博士，研究方向：分形幾何和動(dòng)力系統(tǒng).

1671-9824(2016)02-0006-03

O174.12

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