注重知識(shí)本質(zhì)，加強(qiáng)生活聯(lián)系——人教版“數(shù)軸”賞析與思考

☉江蘇省海門(mén)市四甲初級(jí)中學(xué)　秦　燕

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注重知識(shí)本質(zhì)，加強(qiáng)生活聯(lián)系——人教版“數(shù)軸”賞析與思考

☉江蘇省海門(mén)市四甲初級(jí)中學(xué)秦燕

筆者有幸認(rèn)真觀看了中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)于2015年11月在黃山組織的全國(guó)性觀摩課視頻，對(duì)其中一節(jié)人教版“數(shù)軸”課印象深刻，現(xiàn)從看課角度對(duì)該課的思路進(jìn)行整理，并提出一些個(gè)人的想法，與各位同行交流探討.

一、教學(xué)分析與教材分析

數(shù)學(xué)是一門(mén)培養(yǎng)學(xué)生思維、發(fā)展學(xué)生思維的重要學(xué)科，因此，在教學(xué)中，不僅要使學(xué)生“知其然”，而且要使學(xué)生“知其所以然”.

“數(shù)軸”是人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第二章的內(nèi)容.本節(jié)是在引進(jìn)了負(fù)數(shù)及分析了有理數(shù)的分類(lèi)后給出的.從知識(shí)上講，數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的重要工具，它主要應(yīng)用于有理數(shù)的大小比較，相反數(shù)、絕對(duì)值概念的理解，有理數(shù)運(yùn)算法則的推導(dǎo)及不等式的求解.同時(shí)，也是以后學(xué)習(xí)二維的平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ).從思想方法上講，數(shù)軸是初中數(shù)形結(jié)合的重要體現(xiàn)，而數(shù)形結(jié)合是學(xué)生理解數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的重要思想方法.數(shù)軸是直觀表示數(shù)的一種方法，在數(shù)字問(wèn)題和生活實(shí)際中有著廣泛應(yīng)用，掌握好本節(jié)內(nèi)容對(duì)今后學(xué)習(xí)和生活有著積極意義.所以本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：數(shù)軸的概念和畫(huà)法，并能利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小.

由于數(shù)軸重要的工具性特點(diǎn)及數(shù)軸的抽象性，因此，本節(jié)課的難點(diǎn)為：數(shù)軸的建模過(guò)程，以及建立有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

根據(jù)本課內(nèi)容特點(diǎn)，本節(jié)課主要通過(guò)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生來(lái)進(jìn)行探索，所以盡力給學(xué)生營(yíng)造“可探索”的環(huán)境，使學(xué)生積極參與，互相討論，一步步地掌握數(shù)軸的概念，并通過(guò)練習(xí)，使學(xué)生更好地理解數(shù)軸，從而體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.同時(shí)采用多媒體輔助教學(xué)，以多媒體手段為驅(qū)動(dòng)、以問(wèn)題為載體，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)寬松、愉悅的學(xué)習(xí)氛圍，引導(dǎo)學(xué)生積極探索、體驗(yàn)成功.

二、教學(xué)流程簡(jiǎn)錄

環(huán)節(jié)（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

1.復(fù)習(xí)舊知

提問(wèn)：上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了一類(lèi)新的數(shù)——負(fù)數(shù)，這樣就可以用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量，從而數(shù)的范圍就擴(kuò)大到有理數(shù)范疇.那么有理數(shù)如何分類(lèi)呢？

2.情境引入

【情境一】

圖1

以海平面為基準(zhǔn)，珠穆朗瑪峰高出海平面8844米，吐魯番盆地低于海平面155米.若記海平面為0米，則珠穆朗瑪峰和吐魯番盆地的高度是多少呢？如何用圖形表示呢？

【情境二】

小明從學(xué)校門(mén)口出發(fā)，向東走50米到達(dá)書(shū)店，向西走300米到達(dá)家.如果規(guī)定向東為正方向，向西為負(fù)方向，則小明從學(xué)校出發(fā)，書(shū)店記作什么？家又記作什么？如何用圖表示？

圖2

圖3

【情境三】

你能讀出圖3中溫度計(jì)上的示數(shù)嗎？（學(xué)生很容易讀出示數(shù)，但要注意刻度的示數(shù)左右均有）

仔細(xì)觀察溫度計(jì)的構(gòu)造，有什么特點(diǎn)？（讓學(xué)生回答，相互補(bǔ)充）

有一個(gè)起點(diǎn)或基準(zhǔn)點(diǎn)；

有正負(fù)兩個(gè)方向；

刻線都是等距的，每相鄰兩個(gè)刻線之間表示的都是1度.

3.歸納共性

【想一想】

以上三個(gè)圖有什么共同特征？

學(xué)生先獨(dú)立思考，然后四人一小組討論歸納，再派代表發(fā)言，各組相互補(bǔ)充.

都用一條直線來(lái)表示位置、高度或溫度；

直線上都有一個(gè)起點(diǎn)或基準(zhǔn)點(diǎn)（0米，0攝氏度）；

都規(guī)定了正負(fù)方向；

要準(zhǔn)確表示必須有刻度.

環(huán)節(jié)（二）類(lèi)比歸納，提煉概念

【問(wèn)題1】能否也用一條直線來(lái)表示有理數(shù)呢？

根據(jù)三個(gè)實(shí)例圖的分析，讓學(xué)生抽象出沒(méi)有實(shí)際背景下的正數(shù)、負(fù)數(shù)、0的表示.

直線上要有一個(gè)0點(diǎn)；

要規(guī)定一個(gè)正方向；

還要有刻線，相鄰刻線等距且意義相同.

這樣的一條直線就是我們今天要學(xué)習(xí)的數(shù)軸.

（教師板書(shū)：數(shù)軸）

【問(wèn)題2】到底什么是數(shù)軸呢？

一般地，畫(huà)一條水平的直線，在直線上取一點(diǎn)表示0（叫做原點(diǎn)），規(guī)定直線上向右的方向?yàn)檎较颍x取某一單位長(zhǎng)度，這樣的直線就叫做數(shù)軸.

實(shí)際上，數(shù)軸就像是一個(gè)橫放的溫度計(jì).

環(huán)節(jié)（三）理解概念，辨析概念

【問(wèn)題1】如何畫(huà)一條數(shù)軸？

根據(jù)概念學(xué)生自主完成，兩位同學(xué)板演，最后同桌兩人相互檢查.

圖4

原點(diǎn)（0）：一般居中；

正方向（向右）：右端標(biāo)箭頭；

單位長(zhǎng)度：適當(dāng)，短線，標(biāo)數(shù).

【問(wèn)題2】下列哪些是數(shù)軸？哪些不是？為什么？

圖5

環(huán)節(jié)（四）應(yīng)用概念，數(shù)形轉(zhuǎn)換

【想一想】建立了數(shù)軸，我們就可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示有理數(shù)了.如何來(lái)表示一個(gè)有理數(shù)呢？

（1）0在數(shù)軸的什么位置？正數(shù)呢？負(fù)數(shù)呢？

（2）整數(shù)怎么表示？

（3）分?jǐn)?shù)怎么表示？

（4）任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示嗎？

整數(shù)可以用數(shù)軸上的刻度點(diǎn)來(lái)表示，正整數(shù)在原點(diǎn)右側(cè)，負(fù)整數(shù)在原點(diǎn)左側(cè)；對(duì)于分?jǐn)?shù)，可以先找到與它相鄰的兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)，再等分成幾份，找到相應(yīng)的位置.

結(jié)論：正數(shù)在原點(diǎn)的右側(cè)，負(fù)數(shù)在原點(diǎn)的左側(cè).每一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示.

【做一做】

例1畫(huà)出數(shù)軸，并用數(shù)軸上的點(diǎn)表示下列各數(shù)：

讓學(xué)生在自己剛畫(huà)的數(shù)軸上繼續(xù)找各個(gè)點(diǎn)的位置.

圖6

思考：在數(shù)軸上表示一個(gè)有理數(shù)時(shí)，應(yīng)注意什么？

先畫(huà)數(shù)軸（完整、適當(dāng)）；

再找位置（定左右、定距離）；

最后描點(diǎn)、標(biāo)數(shù)（實(shí)心圓點(diǎn)、上方標(biāo)記）.

點(diǎn)撥：數(shù)→點(diǎn)（形）.

例2如圖7，數(shù)軸上A、B、C、D各點(diǎn)分別表示什么數(shù)？

圖7

思考：數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)有理數(shù)嗎？有理數(shù)能填滿整個(gè)數(shù)軸嗎？

數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)不一定對(duì)應(yīng)有理數(shù)，可能還有無(wú)限不循環(huán)小數(shù).所以有理數(shù)填不滿整個(gè)數(shù)軸.

點(diǎn)撥：點(diǎn)（形）→數(shù).

環(huán)節(jié)（五）深化概念，比較大小

【議一議】

數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)與左邊的點(diǎn)表示的數(shù)有怎樣的大小關(guān)系？

可實(shí)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比溫度計(jì)上的實(shí)際意義來(lái)比較數(shù)的大小.

圖8

結(jié)論：數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大；

正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù).

思考：你能否將例1中的各數(shù)用“<”連接呢？

引導(dǎo)學(xué)生借助剛才數(shù)軸上各點(diǎn)的位置來(lái)比大小.

三、設(shè)計(jì)說(shuō)明與教學(xué)反思

1.學(xué)生是課堂的主人

這節(jié)課屬于概念課，數(shù)軸這個(gè)概念也是中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的起點(diǎn).在這節(jié)課中，執(zhí)教者能緊緊抓住“數(shù)軸的概念”這一重點(diǎn)，從實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，通過(guò)對(duì)三個(gè)具體問(wèn)題的體驗(yàn)和感知，讓學(xué)生先形成感性認(rèn)識(shí)，再通過(guò)類(lèi)比歸納，提煉共性，得到本質(zhì)特征，從而形成數(shù)軸的概念；得到概念后，先讓學(xué)生根據(jù)自己對(duì)概念的理解畫(huà)出數(shù)軸，借助對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤的糾正，更加深了對(duì)數(shù)軸三要素的認(rèn)識(shí)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生探究問(wèn)題的積極性和主動(dòng)性；在數(shù)軸上表示有理數(shù)時(shí)，先提出幾個(gè)問(wèn)題，將正數(shù)、負(fù)數(shù)、0及整數(shù)、分?jǐn)?shù)的表示分別思考探究，既滲透了分類(lèi)討論的方法，也體現(xiàn)了理論為先的思想，接著讓學(xué)生動(dòng)手去表示具體的有理數(shù)就成水到渠成的事情了.

本課重視數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生、發(fā)展、形成過(guò)程，恰當(dāng)推遲數(shù)學(xué)概念得出的時(shí)間，讓學(xué)生體驗(yàn)火熱的數(shù)學(xué)研究過(guò)程，最終“數(shù)軸”概念的獲得水到渠成.教學(xué)活動(dòng)更好地體現(xiàn)了新課程的理念，不僅提高了課堂教學(xué)的效果，而且讓學(xué)生學(xué)會(huì)了如何學(xué)習(xí).整節(jié)課結(jié)構(gòu)清晰、環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，能關(guān)注學(xué)生的情感，注重調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，同時(shí)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法的滲透，是一節(jié)成功的概念課教學(xué)的案例.

2.課堂指向是學(xué)生的思維發(fā)展

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)是：以啟發(fā)式教學(xué)為主，從教科書(shū)中的情境出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、轉(zhuǎn)化、類(lèi)比、比較、分析等思維活動(dòng)，把實(shí)際問(wèn)題抽象成用“直線、點(diǎn)、距離等”描述的圖形.借助負(fù)數(shù)概念引入過(guò)程中用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示“相反意義的量”的經(jīng)驗(yàn)，來(lái)規(guī)定在0的左、右兩邊分別用負(fù)數(shù)和正數(shù)表示，自然引出數(shù)軸概念.所以在教學(xué)中，為了讓學(xué)生感受引入數(shù)軸的意義，形成數(shù)軸的概念，一方面要運(yùn)用直觀生動(dòng)的形象素材和問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生的探究興趣；另一方面要?jiǎng)?chuàng)造條件和機(jī)會(huì)，讓學(xué)生發(fā)表見(jiàn)解并及時(shí)地表?yè)P(yáng)鼓勵(lì)，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性.為了使學(xué)生充分理解數(shù)軸的三要素，利用自主思考、動(dòng)手操作、相互檢查、圖形辨析等環(huán)節(jié)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性.在理解數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生首先明確有理數(shù)的分類(lèi)，發(fā)現(xiàn)還有一類(lèi)數(shù)——無(wú)限不循環(huán)小數(shù)也應(yīng)在數(shù)軸上，從而建立了點(diǎn)與有理數(shù)并非一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

3.數(shù)學(xué)本質(zhì)的挖掘應(yīng)站在生活實(shí)踐之上

本節(jié)課的主要內(nèi)容是數(shù)軸的概念和用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù).數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)核心概念，它是我們研究相反數(shù)、絕對(duì)值、有理數(shù)運(yùn)算法則等的圖形分析工具；借助數(shù)軸的直觀性表示不僅可以加深對(duì)正數(shù)、0、負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)，而且還可以幫助我們進(jìn)一步分析、理解相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題；通過(guò)對(duì)點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)的研究，可以推導(dǎo)出有理數(shù)的運(yùn)算法則；利用數(shù)軸上表示數(shù)的特點(diǎn)來(lái)確定有理數(shù)的大小和不等式組的解集.數(shù)軸作為分析、研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的工具，不僅揭示了其內(nèi)在的數(shù)形結(jié)合思想，而且也為研究數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了新的方法，為今后建立平面直角坐標(biāo)系及其運(yùn)用打下了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).從總體看，這樣的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)，能讓同學(xué)們結(jié)合學(xué)習(xí)探究，對(duì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又服務(wù)于生活有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí).通過(guò)探究活動(dòng)，讓學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，既鍛煉了學(xué)生的抽象概括能力，又感悟了“數(shù)形結(jié)合的思想”.從教學(xué)設(shè)計(jì)的角度，任課教師將學(xué)習(xí)任務(wù)與教學(xué)內(nèi)容很好地整合在一起，內(nèi)容的設(shè)計(jì)一方面放在了學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，是學(xué)生熟悉的生活背景；另一方面，該項(xiàng)學(xué)習(xí)任務(wù)又有一定的探究性和挑戰(zhàn)性，體現(xiàn)了新課程的理念，一切為了學(xué)生的發(fā)展.從教學(xué)實(shí)施的角度，學(xué)生成為課堂教學(xué)的主體，而教師又體現(xiàn)了主導(dǎo)作用.整節(jié)課始終以問(wèn)題串的形式進(jìn)行啟發(fā)教學(xué)，層層推進(jìn)，學(xué)生在思考和討論中不斷獲得有用的信息.從具體到抽象，在通過(guò)類(lèi)比、歸納來(lái)形成概念的同時(shí)，還注重對(duì)概念內(nèi)涵的探究及概念的辨析，并在“用數(shù)軸上的點(diǎn)直觀表示有理數(shù)并比較大小”的應(yīng)用中，使學(xué)生體會(huì)到了學(xué)習(xí)數(shù)軸的必要性和重要性，感受到“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又服務(wù)于生活”的數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值.

參考文獻(xiàn)：

1.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大出版社，2012.

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