探究一道中考選擇題的解法

☉浙江省浦江縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)　方　芳

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探究一道中考選擇題的解法

☉浙江省浦江縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)方芳

題目（2014年湖北武漢）如圖1，PA、PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA、PB 于C、D兩點(diǎn).若⊙O的半徑為r，△PCD的周長(zhǎng)等于3r，則tan∠APB的值是（）.

圖1

分析：此題以圓的一個(gè)基本圖形為背景設(shè)置，內(nèi)涵十分豐富：PA=PB；連接OA、OB，則∠OAP=∠OBP=90°；連接OP，則OP平分∠APB；連接AB，則OP垂直平分AB……

又CD切⊙O于點(diǎn)E，所以CA=CE，DB=DE.

一、直接法

圖2

二、轉(zhuǎn)化法

注意到∠APB=2∠APO，可利用Rt△PAO斜邊上的中線構(gòu)造一個(gè)與∠APB相等的角，求出這個(gè)角的正切值即可.

圖3

三、割補(bǔ)法

連接OA、OB得到一個(gè)一組對(duì)角為直角的四邊形，不妨把這種四邊形稱為“雙垂四邊形”，它是一種特殊的四邊形，在已知和未知難以直接產(chǎn)生關(guān)系時(shí)，通常采取用“割”與“補(bǔ)”的方法來(lái)添加輔助線，將其轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形來(lái)求解.

1.補(bǔ)成直角三角形+相似三角形

解法3：如圖4，延長(zhǎng)BO交PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則△PBF為直角三角形.

圖4

因?yàn)锽F=BO+FO，

2.補(bǔ)成矩形+相似三角形

所以故選B.

3.割成矩形+相似三角形

圖5

圖6

四、倍角法

圖7

注意到∠APB=2∠APO，而∠APO是Rt△APO的一個(gè)銳角，用高中倍角公式可直接求解，方法十分簡(jiǎn)潔.

解法6：如圖7，連接PO，則∠APB=2∠APO.

從這道中考選擇題的初中解法看，盡管所添的輔助線不同，但都體現(xiàn)了一種共同的思想──轉(zhuǎn)化思想，幾種解法都用到了一些基本圖形性質(zhì)，如直角三角形、等腰三角形、矩形，以及全等三角形、相似三角形等基礎(chǔ)知識(shí).帶給我們的教學(xué)啟示是：即使是比較復(fù)雜的問(wèn)題，所用到的知識(shí)也是基礎(chǔ)知識(shí)的組合和數(shù)學(xué)思想方法的凸現(xiàn)，這就要求教師在日常教學(xué)中，尤其在中考復(fù)習(xí)階段，不僅要精挑典型問(wèn)題、教給學(xué)生解題方法，而且還應(yīng)與學(xué)生共同探究有哪些解法，讓學(xué)生說(shuō)出“為什么這樣想”，“用到哪些知識(shí)”，“哪種解法更自然”，“哪種方法更簡(jiǎn)潔”，“同樣的方法能用來(lái)處理更一般性的問(wèn)題嗎”，“這些方法體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學(xué)思想”，潛移默化地增強(qiáng)學(xué)生解題的信心、提升解題能力.在課堂教學(xué)中，教師不能只當(dāng)“二傳手”的角色，而要用心去思考、去變化，用智慧去整合、去創(chuàng)新，唯有如此，學(xué)生才能受益無(wú)窮.