對(duì)一道“新定義”型探究題的解法探析與拓展

☉浙江省紹興市柯橋區(qū)西藏民族中學(xué)　嚴(yán)浩良☉浙江省紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中　沈岳夫

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對(duì)一道“新定義”型探究題的解法探析與拓展

☉浙江省紹興市柯橋區(qū)西藏民族中學(xué)嚴(yán)浩良
☉浙江省紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中沈岳夫

《新課標(biāo)》中明確指出，數(shù)學(xué)在應(yīng)用方面需要大力加強(qiáng)，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律和問(wèn)題解決的途徑，使他們經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程.“新定義”型試題是考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力的最好題型之一，它既能考查學(xué)生適應(yīng)新問(wèn)題、接受新知識(shí)、認(rèn)識(shí)新事物的能力，又能考查學(xué)生的自學(xué)能力，以及信息的收集、遷移和應(yīng)用能力.此類(lèi)題型新穎別致，頗具魅力，已成為中考試題中的一朵奇葩，其中對(duì)新概念信息的提取和化歸轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵，也是一個(gè)難點(diǎn).筆者在研究2015年各地的數(shù)學(xué)中考試卷時(shí)，發(fā)現(xiàn)江西省中考卷的第24題（壓軸題）是一道“新定義”型的探究題，引人入勝，探究味濃，尤其是第（3）小題，可從不同角度思考，巧添輔助線，解法多姿多彩.

一、試題呈現(xiàn)

題目我們把兩條中線互相垂直的三角形稱(chēng)為“中垂三角形”.例如，圖1、圖2、圖3中，AF、BE是△ABC的中線，AF⊥BE，垂足為P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設(shè)BC=a，AC=b，AB=c.

特例探索：

如圖2，當(dāng)∠ABE=30°，c=4時(shí)，a=_________，b= _________.

圖1

圖2

圖3

圖4

歸納證明：

（2）請(qǐng)你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，請(qǐng)利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式.

拓展應(yīng)用：

（3）如圖4，在?ABCD中，E、F、G分別是AD、BC、CD的中點(diǎn)，BE⊥EG，，AB=3.求AF的長(zhǎng).

二、解法展示

（2）猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系是：a2+b2=5c2.

圖5

（3）由于E、F、G分別是AD、BC、CD的中點(diǎn)，因此對(duì)“中垂三角形”的觀察角度不同，可以有不同的添線方式，構(gòu)造多種“中垂三角形”.現(xiàn)列舉如下：

思路1：通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造出△AFE是“中垂三角形”

如圖6，連接AC，EF交于點(diǎn)H，AC與 BE交于點(diǎn)Q.設(shè)BE與AF的交點(diǎn)為P，因?yàn)镋、G分別是AD、CD的中點(diǎn)，所以EF∥AC.又因?yàn)锽E⊥EG，所以BE⊥AC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AD∥ BC，∠EAH=∠FCH.

圖6

圖7

思路2：通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造出△EDC是“中垂三角形”

如圖7，連接EC，DF，由上述的解題思路，易證△DEC是“中垂三角形”，所以由（2）的結(jié)論可得CD2+CE2=5DE2，即所以CE=4，所以AF= 4.

評(píng)注：思路1、思路2所添的輔助線都是把目光盯在平行四邊形ABCD的內(nèi)部，構(gòu)造出“中垂三角形”.思路1側(cè)重于借用中位線和三角形全等求解，連接AC起到構(gòu)造△AFE是“中垂三角形”的橋梁作用.思路2是注意到AE∥FC，連接EC，構(gòu)造出△DEC是“中垂三角形”，然后獲解.當(dāng)然此題還可以有其他解法，如連接AC及過(guò)點(diǎn)F作AC的平行線交AB于H點(diǎn)，構(gòu)造“中垂三角形”△ABF，這一思路留給有興趣的讀者去思考.

思路3：通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造出△BCH是“中垂三角形”

圖8

如圖8，連接AC，CE，延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.在△ACD中，因?yàn)镋、G分別是AD、CD的中點(diǎn)，所以EG∥AC.又因?yàn)锽E⊥EG，所以BE⊥AC.又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AE∥，BC =2AE，所以△HAE∽△HBC，所以所以HA= AB，AE=EC，所以BE、CA是△HBC的中線，所以△BCH是“中垂三角形”，所以由（2）的結(jié)論可得HB2+HC2=5BC2，即所以HC=8.因?yàn)锳F是△BCH的中位線，所以

評(píng)注：思路3所添的輔助線是把目光盯在平行四邊形ABCD的外部，構(gòu)造出“中垂三角形”.思路3是受圖1、圖2的啟發(fā)，且AE∥BC，構(gòu)造出字母“A”型的相似三角形，再連接AC，可證△AFE是“中垂三角形”.同樣，此題還可以有其他解法，有興趣的讀者可去嘗試思考.可見(jiàn)，通過(guò)合理的構(gòu)造、添輔助線可以在條件和結(jié)論之間架起一座“橋”，把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題的條件明朗化，使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)捷明了的解答方法.

三、拓展探究

事實(shí)上，該題第（3）問(wèn)，除去“偽裝”，即摘除面紗之后，我們可發(fā)現(xiàn)，其實(shí)就是三角形中線定理（pappus定理，又稱(chēng)阿波羅尼奧斯定理），露出了“真容”.

中線定理：三角形一條中線兩側(cè)所對(duì)邊平方和等于底邊的一半平方與該邊中線平方和的2倍.

圖9

那么第（3）問(wèn)，如果知道AC的長(zhǎng)，則代入相關(guān)線段的值，可直接求出AF的長(zhǎng).那么如何求AC的長(zhǎng)呢？

圖10

到此，通過(guò)對(duì)該題的解法探究，揭示了命題中條件與隱含條件、結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，為尋求解題途徑指明了方向，使得問(wèn)題的解決更具有一般性，可謂別具一格.本結(jié)論（指中線定理）可作為中考題和中學(xué)競(jìng)賽題方面的試題原型設(shè)置題目，靈活運(yùn)用，不但可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，而且還能開(kāi)拓學(xué)生的視野，提高解題能力，對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣大有幫助.

參考文獻(xiàn)：

1.沈岳夫.一類(lèi)“新定義”型的拋物線試題賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（9）.

2.高東.對(duì)一道經(jīng)典壓軸題的探析與建議［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（1）.

3.鄧文忠.中考新定義拋物線問(wèn)題探析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中版），2015（2）.