Banach空間上正則半群的表示定理與范數(shù)連續(xù)

段　峰

(銅陵職業(yè)技術(shù)學院　基礎(chǔ)教學部,安徽 銅陵　244061)

?

Banach空間上正則半群的表示定理與范數(shù)連續(xù)

段峰

(銅陵職業(yè)技術(shù)學院基礎(chǔ)教學部,安徽 銅陵244061)

摘要：因為解析半群、可微半群、緊半群都是范數(shù)連續(xù)C0半群，故C0半群的范數(shù)連續(xù)性是討論半群屬性的必要條件之一。類似地，討論正則半群的解析性、緊性等重要性質(zhì)時，正則半群的范數(shù)連續(xù)性尤其重要。通過論證，引入指數(shù)有界正則半群新的表示定理，在Banach空間上，給出了一個正則半群范數(shù)連續(xù)的充分條件。

關(guān)鍵詞：正則半群；表示定理；范數(shù)連續(xù)；Banach空間

Representation Theorem of Regular Semigroups in Banach Spaces and Norm Continuity

DUAN Feng

(Department of Basic Teaching, Tongling Polytechnic,Tongling, Anhui244061,China)

Abstuact: Because the Analytic semigroups、Differentiable semigroups、Compact semigroups are the norm continuous C0-semigroups, the norm continuity of the C0-semigroups is one of the necessary conditions to discuss the semigroups property.Similarly, it is especially important to discuss the norm continuity of C-regularized semigroups when the important properties such as the analytical、compactness of theC-regularized semigroups are discussed.This paper will introduce a new representation method for theC-regularized semigroups of exponentially boundedC-regularized semigroups, and give a sufficient condition for aC-regularized semigroups norm continuous in Banach space.

Key words:C-regularized semigroups; representation theorem; norm continuity; Banach space

在Banach空間X上，設(shè){T(t)}t≥0是指數(shù)有界強連續(xù)C-正則半群[1]，生成元為A，增長界為ω0，記(λ-A)-1=R(λ-A)，按照C-正則半群及其生成元A的定義，半群{T(t)C}t≥0滿足C0半群的各種條件，從而具有C0半群的各種性質(zhì)。故對Reλ>ω0,?x∈X,有R(λ-A)C是范數(shù)有界的，且R(λ,A)Cx=∫0+∞e-λtT(t)xdt。

T(t)x-Cx=∫0tT(s)Axds=A∫0tT(s)xds[2]

(1)

(2)

(3)

根據(jù)文獻[4]中定理，容易得到下面引理。

引理1設(shè)A生成Banach空間X上增長界為ω0的指數(shù)有界C-正則半群{T(t)}t≥0。對x∈X,ω>ω0,有

等式右邊積分在(0,∞)的緊子集上一致收斂。

引理2設(shè)A生成Banach空間X上增長界為ω0的指數(shù)有界C-正則半群{T(t)}t≥0，對x∈D(A),ω>ω0,有

積分在t∈(0,+∞)的緊子集上一致收斂。

證明根據(jù)引理1，因R(λ,A)CA=λR(λ,A)C-C，故對x∈D(A)，由(1)式，有

T(t)Cx-C2x=∫0tT(s)CAxds=

定理1設(shè)A生成Banach空間X上增長界為ω0的指數(shù)有界C-正則半群{T(t)}t≥0，若

x∈D(Ak+1),ω>ω0,則有

且積分對絕對t>0絕對且一致收斂。

證明先證k=1時定理成立。對x∈D(Ak+1)?D(A2)，因

由引理2及(2)式，

從而

利用(3)式，通過分部積分法依次類推，可以得到：

(4)

由(4)式，對任意k∈N,k≥1,

且積分對絕對t>0絕對且一致收斂。

定理1給出的C-正則半群的表示，在形式上是比較工整的。

C-正則半群的范數(shù)連續(xù)問題，文獻[6]已經(jīng)做了廣泛的探討，受到文獻[7]討論C0半群范數(shù)連續(xù)的特征條件的啟發(fā)，下面通過定理1的C-正則半群表示定理，來尋找C-正則半群范數(shù)連續(xù)的充分條件。

引理3[5]設(shè)T為Banach空間上的線性有界算子，X0為X的稠密子集，則線性有界算子T的范數(shù)

∫-∞+∞eitτRk+1(ω+iτ,A)C2dτ

對t∈(0,+∞)依算子范數(shù)一致收斂(其中k∈N,k≥1)，則T(t)C對t>0范數(shù)連續(xù)。

令

Z(t)x=∫-∞+∞eitτRk+1(ω+iτ,A)C2xdτ,t∈(-∞,+∞),x∈D(Ak+1)?D(A2)

由定理1，當ω>ω0時，此積分關(guān)于t>0一致收斂。

根據(jù)定理假設(shè)，∫-∞+∞eitτRk+1(ω+iτ,A)C2dτ對t∈(0,+∞)依算子范數(shù)一致收斂，即?ε>0，存在a>0,使得

由引理3，可以得到：

即得Z(t)范數(shù)連續(xù)，從而T(t)C是范數(shù)連續(xù)的。

參考文獻：

[1]Davies E B,Pang M M H,The Cauchy Problem and a Generalization of the Hille-Yosida Theorem,Proc[J]. London Math Soc,1987,55:181-208.

[2]Delaubenfels R. Existence Families,Functional Calculi and Evolution Equations[M].New York Springer-Verlag,1570,1994.

[3]Sun G.Z,Representation Theorem for Mild C-existence Families[J].Northeast Math,1999,15(4)：469-472.

[4]Engel K J,Nagel R,One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations[M]. New York: Graduate Texts Mathematics, Springer-Verlag,2000：219-235.

[5]張連平.最終一致連續(xù)半群的條件[J].山西大學學報：自然科學版,1996，19(4):371-375.

[6]李淼,黃發(fā)倫.正則半群的范數(shù)連續(xù)性[J].四川大學學報：自然科學版,2001,38(6):788-792.

[7]張連平.Hilbert空間中最終范數(shù)連續(xù)半群的特征條件[J].數(shù)學學報,2003,46(3):439-444.

[責任編輯：張永軍]

中圖分類號：O177.2

文獻標識碼：A

文章編號：1673-162X(2016)01-0020-03

作者簡介：段峰(1977—)，男，湖北英山人，銅陵職業(yè)技術(shù)學院基礎(chǔ)教學部講師，碩士；研究方向:算子半群。

基金項目：安徽省2015年省級質(zhì)量工程項目“數(shù)學建模與高等數(shù)學課程教學改革”(2015jyxm516)資助。

收稿日期：2015-10-20修回日期：2015-12-15