一類二次特征值問題的向后誤差分析

袁　飛，盧琳璋，李仁倉

( 1．廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建廈門361005; 2．貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州貴陽550001; 3．德州大學(xué)阿錄頓分校數(shù)學(xué)系，德州阿錄頓76019)

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一類二次特征值問題的向后誤差分析

袁飛1*，盧琳璋2，李仁倉3

( 1．廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建廈門361005; 2．貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州貴陽550001; 3．德州大學(xué)阿錄頓分校數(shù)學(xué)系，德州阿錄頓76019)

摘要:在高速列車的振動分析中，會遇到一類二次特征值問題(λ2AT+λQ+A) z= 0，其中A和Q為n×n復(fù)矩陣，且具有如下特殊結(jié)構(gòu): A和Q都是m×m的分塊矩陣，每個塊有k×k個元素，即n=m×k;此外，Q是塊三對角陣，A只有位于( 1，m)位置的一個塊為非零塊．本文主要討論此類二次特征值問題的向后誤差，并且證明了矩陣A的誤差僅存在于它的非零塊A(13)上．

關(guān)鍵詞:二次特征值問題;非線性矩陣方程;向后誤差;高速列車振動分析; doubling算法

本文中考慮二次特征值問題P(λ) z= 0的向后誤差，其中P(λ)是一個矩陣多項(xiàng)式，λ為常量．

向后誤差分析的重要性在于研究算法的穩(wěn)定性和質(zhì)量，它與向前誤差、條件數(shù)之間有如下關(guān)系:

向前誤差≤向后誤差×條件數(shù)．

由此不等式可以看出向后誤差與條件數(shù)對于數(shù)值結(jié)果的誤差估計(jì)具有重大意義．

擾動理論和向后誤差分析有廣泛應(yīng)用，如:線性系統(tǒng)［1］、最小二乘問題、一般特征值問題和廣義特征值問題［2－3］，以及物理學(xué)中的過阻尼物理系統(tǒng)［4－5］．近年來有很多文獻(xiàn)對向后誤差的概念進(jìn)行了闡述［2－3，6］，文獻(xiàn)［1］給出了線性系統(tǒng)的向后誤差分析，文獻(xiàn)［2－3］將向后誤差分析推廣到了多項(xiàng)式特征值問題，文獻(xiàn)［5，7］介紹了特殊矩陣的向后誤差．

二次特征值問題在許多領(lǐng)域有豐富的應(yīng)用［8－12］，如汽車制動系統(tǒng)中的有限元系統(tǒng)［10］、地震工程［8］、保守結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和非保守結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析［11－12］，以及最小二乘問題［9］等．但是二次以上特征值問題的向后誤差分析并沒有很好地得到解決，很多問題難以求出向后誤差的值．

本文研究的是鐵軌在高速列車通過時的振動問題的有限元模型中產(chǎn)生的二次特征值問題［13－15］．該問題對文獻(xiàn)［16］的對稱多項(xiàng)式特征值問題以及后來的文獻(xiàn)［17－21］有很大的推動作用．文獻(xiàn)［17］為該問題建立了有限元模型，文獻(xiàn)［22］中已經(jīng)對該問題提出一種精度很高的保持特征值結(jié)構(gòu)的doubling算法，文獻(xiàn)［23－24］對該算法進(jìn)行改進(jìn)，減少計(jì)算量和計(jì)算時間．

本文將要討論文獻(xiàn)［23］中提出的此二次特征值問題的算法的向后誤差．首先介紹向后誤差的一些基本定義和定理，隨后將會給出針對文獻(xiàn)［23］中算法的向后誤差，最后我們會簡要地證明矩陣A的誤差只存在于它的非零塊A13上．

1相關(guān)定義定理

1. 1一些定義

本文中引用了參考文獻(xiàn)［6］中的向后誤差的定義．

考慮如下非線性特征值問題:

其中矩陣P(λ)的元素為含λ的多項(xiàng)式．

把P(λ)寫為如下形式:

其中At∈Cn×n，l=0: s，我們稱P為λ－矩陣［4］．

在本文中，矩陣El( l=0: s)為任意矩陣，用來表示At的誤差ΔAl的大小．為了方便表示，令:

對于復(fù)數(shù)λ，令:

參考文獻(xiàn)與［3］相同，本文中使用的2-范數(shù)定義為‖x‖2= ( x×x)(1/2)，‖A‖2= max‖Ax‖2:‖x‖2= 1}．

1. 2向后誤差

對于方程( 1)的一對近似解(~x，~λ)，定義向后誤差η(~x，~λ)如下:

在這個定義下，η(~x，~λ)可由文獻(xiàn)［6］中的定理求出．

定理1［6］向后誤差η(~x，~λ)可由如下公式求出:

證畢．

從這個定理可以看出，求向后誤差的關(guān)鍵在于求出每個‖ΔAl‖2對應(yīng)的上界∈‖El‖2．

2高速列車振動分析問題的向后誤差

2. 1高速列車振動分析問題

在高速列車的振動分析［22-24］中，P(λ) =λ2AT+λQ +A，所求方程為:

A和Q為n×n復(fù)矩陣，且具有如下特殊結(jié)構(gòu):

其中i為虛數(shù)單位，ω＞0為外力的頻率，Kt，Dt，Mt，KC，DC，MC都是m×m的分塊實(shí)矩陣，每個塊有k×k個元素．A和Q都是m×m的分塊矩陣，每個塊有k× k個元素，即n = m×k;此外，Q是塊三對角陣，A只有位于( 1，m)位置的一個塊為非零塊A13．

我們簡單地介紹文獻(xiàn)［23］中的求解步驟:

1)計(jì)算方程

的穩(wěn)定解Φ，使得ρ(Φ－1A)＜1．

2)利用步驟1中求出的Φ對P(λ)進(jìn)行分解:

3)由于λAT+Φ和λΦ+A的特征值互為倒數(shù)，且λΦ+A對應(yīng)所有模小于1的特征值，所以只需利用步驟1)中求出的Φ求出λΦ+A的特征值和特征向量，再求出這些特征值的倒數(shù)對應(yīng)的特征向量即可．

在文獻(xiàn)［23］中，我們詳細(xì)介紹了高速列車振動分析問題的求解過程和數(shù)值結(jié)果，本文主要討論該問題的向后誤差．

2. 2求該問題的向后誤差

本文研究的鐵軌在高速列車通過時的振動問題，其有限元模型中產(chǎn)生的二次特征值問題(λ2AT+λQ+ A) z=0屬于回文二次特征值問題，所以在這里我們采用回文特征值問題向后誤差的分析方法［21］來分析該二次特征值問題的向后誤差．

由于P(λ) =λ2AT+λQ+A，所以我們可以定義A0=A，A1=Q，A2=AT．假設(shè)(ξ，ν)是P(λ)的一個近似特征值對，于是這樣定義高速列車震動分析問題的向后

誤差ΔF:

在這里定義了r．

假設(shè)Al的階數(shù)n≥2，令Q∈C是酉矩陣，即QQH=ln，使得

顯然這個酉矩陣是存在的，由式( 6)可知

由式( 5)可以得到

令

可以得到

那么高速列車震動分析問題的向后誤差ΔF可由如下等式表示:

其中的矩陣ΔB0，ΔB1滿足式( 8)．

令

則由式( 7)可知

進(jìn)一步分析可以得出，在ΔBl中除了

這4個未知量以外，其他元素均為零．

證明方程( 8)可以看作是以ΔBl的元素為未知量的n個方程構(gòu)成的方程組．觀察后發(fā)現(xiàn)，后n－2個方程的右邊為0，而左邊僅包含如下未知量:

并且這些未知量并沒有出現(xiàn)在前兩個方程中．

那么對于

而言，要使得向后誤差ΔF達(dá)到最小，必然有

由上述推理可知，只需要考慮方程組( 8)的前兩個方程，而這兩個方程中僅包含4個未知量:

證畢．

由于方程組( 8)中有ρ2－l=ρl，且對于l = 0，1有ΔB=ΔBT，那么可以得到:

2－ll

且ΔB1=ΔBT1．

繼續(xù)定義如下參數(shù):

于是可以得到高速列車震動分析問題的向后誤差ΔF．

定理3假設(shè)δ1，δ2，Φ，Ψ如上文定義，則對于高速列車震動分析問題P(λ) =λ2AT+λQ+A，近似特征對(ξ，υ)的向后誤差ΔF可由如下公式給出:

其中

證明結(jié)合定理2與等式( 9)，方程組( 8)可以寫為如下形式:

這個方程組可以寫為如下兩個方程:

觀察上述兩個方程，可以得到如下結(jié)論:

1)由于b2(

2)方程( 10)和( 11)的未知量不同，是相互獨(dú)立的兩個方程，所以可以分別求出方程( 10)和( 11)的最優(yōu)解，使得

達(dá)到最?。啥ɡ?可以知道這兩個多項(xiàng)式之和等于ΔF2．接下來求這兩個多項(xiàng)式的最小值．對于方程( 10)，令

可以驗(yàn)證這樣的b( 0)和b( 1)滿足方程( 10)．由Cauchy－

1111Schwarz不等式，方程( 10)的任意解b( 0)和b( 1)滿足

1111

對于方程( 11)，令

可以驗(yàn)證這樣的b(120)，b(210)和b1(21)滿足方程( 11)．由Cauchy－Schwarz不等式，方程( 11)的任意解b(120)，b(210)和b(121)滿足

所以

即近似特征對(ξ，ν)的向后誤差ΔF可由如下公式給出:

其中

證畢．

2. 3 ΔA的結(jié)構(gòu)分析

由文獻(xiàn)［22］中第5部分的等式( 5．2)和( 5．3)可知(ξ，υ)實(shí)際上是由Φ，Q和A13同時決定的，即:

由文獻(xiàn)［23］中第5部分的等式( 3．4)，( 3．5)和( 3．6)可知Φ是由Q和A13同時決定的，即

綜合式( 14)和( 15)可以得到

從式( 16)可以看出矩陣A的誤差只存在于它的非零塊A13上．

3數(shù)值實(shí)驗(yàn)

下面給出數(shù)值結(jié)果，本文使用的矩陣與參考文獻(xiàn)［22－24］給出的模型相同．用于數(shù)值實(shí)驗(yàn)的3個矩陣的大小分別為( k，m) = ( 159，11)，( 303，19)，( 705，51)．系數(shù)矩陣A和Q的形式由本文引言部分給出．振動頻率ω的值取為1 000．

對于每組系數(shù)矩陣A和Q對應(yīng)的二次特征值問題P(λ) z = 0，我們首先使用文獻(xiàn)［23］中的算法求出它的全部近似特征值和特征向量，然后隨機(jī)從中取出一個近似特征值對(λ，z)，最后使用本文定理3中給出的方法求出了該問題的向后誤差(表1) :

表1數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab．1 Result of experiment

4結(jié)論

本文介紹了向后誤差相關(guān)的概念，并且求出了在高速列車的振動分析［22-24］問題中的向后誤差．由于本文研究的二次特征值問題(λ2AT+λQ+A) z = 0屬于回文二次特征值問題，所以在這里我們采用回文特征值問題向后誤差的分析方法［21］來分析該二次特征值問題的向后誤差．在本文的最后，通過對文獻(xiàn)［22－24］中計(jì)算過程的分析，證明了使用文獻(xiàn)［23］中的算法，矩陣A的誤差ΔA只存在于它的非零塊A13上．對于參考文獻(xiàn)［22-24］給出的3個鐵軌在高速列車通過時的振動問題的有限元模型，本文給出了一些數(shù)值實(shí)例，求出了隨機(jī)一個近似特征值對對應(yīng)的向后誤差．

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Backward Error Analysis for Some Quadratic Eigenvalue Problems

YUAN Fei1*，LU Linzhang2，LI Rencang3

( 1．School of Mathematical Sciences，Xiamen University，Xiamen 361005，China; 2．College of Mathematic and Computer，Guizhou Normal University，Guiyang 550001，China; 3．Department of Mathematics，University of Texas at Arlington，Arlington，TX 76019，USA)

Abstract:In studying the vibration of fast trains，we encounter a palindromic quadratic eigenvalue problem (λ2AT+λQ+A) z=0，where A，Q∈C(n×n)and QT=Q．Moreover，thematrix Q is block tridiagonal and block Toeplitz，and the matrix A possesses only one nonzero block in the upper－right corner．We then discuss the backward error for this problem in this article and prove that the error of A is only on its non－zero block A(13)．

Key words:quadratic eigenvalue problem; nonlinear matrix equation; backward error; vibration high speed train analysis; doubling algorithm

*通信作者:ranma01@ 163．com

收稿日期:2014－12－15錄用日期: 2015－05－20

doi:10．6043/j．issn．0438－0479．2016．01．019

中圖分類號:O 241．7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:0438－0479( 2016) 01－0097－06

引文格式:袁飛，盧琳璋，李仁倉．一類二次特征值問題的向后誤差分析［J］．廈門大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，55( 1) : 97－102．

Citation: YUAN F，LU L Z，LI R C．Backward erroranalysis for some quadratic eigenvalue problems［J］．Journal of Xiamen University ( Natural Science)，2016，55( 1) : 97－102．( in Chinese)