Diophantine方程( an－1) ( ( a+1)n－1) = x2的可解性

楊　海，裴元太，付瑞琴

( 1．西安工程大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710048; 2．西安石油大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710065)

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Diophantine方程( an－1) ( ( a+1)n－1) = x2的可解性

楊海1*，裴元太1，付瑞琴2

( 1．西安工程大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710048; 2．西安石油大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710065)

摘要:設(shè)a是大于1的正整數(shù)，v2( a)表示2可以整除a的最高次冪．運(yùn)用初等數(shù)論方法研究了方程( an－1) ( ( a+1)n－1) = x2的可解性．證明了當(dāng)a滿足以下3個(gè)條件之一時(shí)該方程無解( x，n) : ( i) a是偶數(shù)，v2( a)是奇數(shù); ( ii) a是偶數(shù)，v2( a) = 2; ( iii) a是奇數(shù)且a≡5或9( mod 16)．同時(shí)也證明了至少有5/6的正整數(shù)a可使該方程沒有適合n＞2的解( x，n)．

關(guān)鍵詞:指數(shù)Diophantine方程;可解性;密率

1引言及主要結(jié)論

令N是所有正整數(shù)的集合．設(shè)a是大于1的正整數(shù)，ν2( a)表示2可以整除a的最高次冪．2000年，Szalay［1］證明了當(dāng)a=2時(shí)，方程

無解( x，n)．此后，人們對于方程( 1)及其推廣形式進(jìn)行了很多研究［2－6］．最近，梁明［7］證明了當(dāng)a≡2或3 ( mod 4)時(shí)，方程( 1)無解;并且提出猜想:對于任何大于1的正整數(shù)a，方程( 1)都無解．這是一個(gè)至今尚未解決的問題．由文獻(xiàn)［1］的結(jié)果可知至少有1/2的正整數(shù)a可使方程( 1)無解．

本文運(yùn)用初等數(shù)論方法證明了以下結(jié)果:

定理1方程( 1)沒有可使n是偶數(shù)的解( x，n)．

推論1如果正整數(shù)a滿足下列條件之一，則方程( 1)無解:

( i) a是偶數(shù)，ν2( a)是奇數(shù);

( ii) a是偶數(shù)，ν2( a) = 2;

( iii) a是奇數(shù)，a≡5或9( mod 16)．

推論2至少有5/6的正整數(shù)a，可使方程( 1)無解( x，n)．

顯然，上述推論包括了文獻(xiàn)［7］在a是偶數(shù)時(shí)的結(jié)果，并且改進(jìn)了文獻(xiàn)［7］中a無解的密率．

2若干引理

引理1［8］對于任何非平方正整數(shù)d，方程

( u，v) = ( uk，vk) ( k=1，2，…)是方程( 2)的全部解．

引理2設(shè)( u，v) = ( ur，vr)和( us，vs)是方程( 2)的兩組解，其中r，s是不同的正整數(shù)．如果2| ur且2 us，那么必有2 r和2|s．

證明情形(Ⅰ) :當(dāng)2|t時(shí)，由式( 3)可知

由式( 4)可知此時(shí)ut= 2u2

2r－1是奇數(shù)．由此可知:如果2|ur，那么

由式( 3)和( 5)可得

因?yàn)橛墒? 2)可知u21－dv21= 1，于是u21和dv21的奇偶性不相同，所以有

因?yàn)?|ur，所以由式( 6)和( 7)可知2 | u1．

情形(Ⅱ) :當(dāng)2 s時(shí)，由式( 6)可知u1|us，故根據(jù)2|u1可得2|us．由此可知:如果2 us，那么必有2 | s．于是，由式( 5)和2|s即得本引理．證畢．

引理3［9］方程X2+ 1 = Yn，n＞1，X，Y，n∈N無解( X，Y，n)．

引理4［10］設(shè)p是奇素?cái)?shù)，方程Xp+ 1 = 2Y2，min{ X，Y}＞1，X，Y∈N僅有解( p，X，Y) = ( 3，23，78)．

引理5［3］方程( 1)沒有適合4|n的解( x，n)．

3定理的證明

設(shè)( x，n)是式( 1)的一組n為偶數(shù)的解可得

當(dāng)d=1時(shí)，根據(jù)引理3可知式( 8)無解，于是d＞1為非平方正整數(shù)．

如果2 | n，那么由式( 8)中前兩個(gè)等式可知方程( 2)有兩組解

因此，根據(jù)引理1和式( 9)可得

當(dāng)a是偶數(shù)時(shí)，由式( 10)可知2|ur且2 us，所以根據(jù)引理2可得

因?yàn)? a+1)2

n

同時(shí)，由式( 11)可知2 r，所以由式( 6)可知u1| ur，故由式( 10)，( 14)和( 15)可得78|223，矛盾．

同樣，當(dāng)a是奇數(shù)時(shí)，因?yàn)橛墒? 10)可知2| us且2 ur，所以根據(jù)引理2可得

因?yàn)?|r，所以由式( 3)和( 10)可得

綜上所述可知:方程( 1)沒有可使n為偶數(shù)的解( x，n)．定理證畢．

因此，由式( 18)可得

4推論1的證明

設(shè)( x，n)是方程( 1)的一組解，由式( 1)可得式( 8)．根據(jù)本文定理可知n必為奇數(shù)．

情形(Ⅰ) :當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，由式( 8)中前2個(gè)等式分別可得

由式( 19)可知gcd( a，d) = 1，故由式( 20)可得

當(dāng)ν2( a)是奇數(shù)時(shí)，由式( 21)可知2a|z2，故有

因此，由式( 8)中第2個(gè)等式和式( 22)可得

由于a是偶數(shù)，故由式( 23)可知n也是偶數(shù)這一矛盾．因此條件( i)成立．

另外，由式( 8)中前2個(gè)等式可得

由式( 24)和( 25)可得

由于此時(shí)a+1是奇數(shù)，所以根據(jù)文獻(xiàn)［8］的定理3．6．3和式( 26)可知a+1≡±1( mod 8)．由此可得a≡0或6( mod 8)．因?yàn)楫?dāng)a≡6( mod 8)時(shí)，ν2( a) = 1，由條件( i)已知此時(shí)方程( 1)無解，故必有

由式( 27)可知:當(dāng)a≡4( mod 8)，即ν2( a) = 2時(shí)，方程( 1)也無解．因此條件( ii)成立．

5推論2的證明

對于正整數(shù)X，設(shè)A( X)是不大于X且使方程( 1)無解的正整數(shù)a的個(gè)數(shù)．對于正整數(shù)m，設(shè)集合

可知Bm( X)中元素a都是適合ν2( a) = 2m－1為奇數(shù)的偶數(shù)，而且Bm( X)中元素的個(gè)數(shù)

其中[X/22m]是X/22m的整數(shù)部分．因此，根據(jù)推論1和文獻(xiàn)［7］的定理以及式( 28)可知

上式等號(hào)右端第一項(xiàng)1/4即由文獻(xiàn)［7］中a≡3( mod 4)部分的結(jié)論得出．推論2證畢．

參考文獻(xiàn):

［1］SZALAY L．On the diophantine equation ( 2n－1) ( 3n－1) = x2［J］．Publ Math Debrecen，2000，57( 1/2) : 1－9．

［2］HAJDU L，SZALAY L．On the diophantine equation ( 2n－1) ( 6n－1) = x2and ( an－1) ( akn－1) = x2［J］．Period Math Hungar，2000，40( 2) : 141－145．

［3］COHN J H E．The diophantine equation ( an－1) ( bn－1) = x2［J］．Period Math Hungar，2002，44( 2) : 169－175．

［4］LE M H．A note on the exponential diophantine equation ( an－1) ( bn－1) = x2［J］．Publ Math Debrecen，2009，74( 3/4) : 401－403．

［5］LI L，SZALAY L．On the exponential diophantine equation ( an－1) ( bn－1) = x2［J］．Publ Math Debrecen，2010，77( 3/ 4) : 465－470．

［6］YUAN P Z，ZHANG Z F．On the diophantine equation ( an－1) ( bn－1) = x2［J］．Publ Math Debrecen，2012，80( 3/4) : 327－331．

［7］梁明．關(guān)于Diophantine方程( an－1) ( ( a+1)n－1) = x2［J］．?dāng)?shù)學(xué)雜志，2012，32( 3) : 511－514．

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［9］LEBESGUE V A．Sur l'impossiblilité en nombres entiers de l'équation xm= y2+ 1［J］．Nouv Ann Math，1850，9( 1) : 178－181．

［10］BENNETT M A，SKINNER C M．Ternary diophantine equation via Galois representations and modular forms［J］．Canada J Math，2004，56( 1) : 23－54．

The Diophantine Equation ( an－1) ( ( a+1)n－1) = x2

YANG Hai1*，PEI Yuantai1，F(xiàn)U Ruiqin2

( 1．School of Science，Xi'an Polytechnic University，Xi'an 710048，China; 2．School of Science，Xi'an Shiyou University，Xi'an 710065，China)

Abstract:Let a be a positive integer with a＞1，and v2( a) denotes the highest power of 2 dividing a．The main purpose of this paper is using elementary number theory methods to study the solvability of the equation ( an－1) ( ( a+1)n－1) = x2．We prove that no solution ( x，n) to the equation exists if one of the following conditions is satisfied: ( i) a is even，and v2( a) is odd; ( ii) a is even，and v2( a) = 2; ( iii) a is odd，and a≡5 or 9 ( mod 16)．We also prove that there are at least five sixths of positive integers a which make the equation have no solution ( x，n) with n＞2．

Key words:exponential Diophantine equation; solvability; density

*通信作者:xpuyhai@ 163．com

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金( 11226038，11371012) ;陜西省教育廳科研計(jì)劃項(xiàng)目( 14Jk1311)

收稿日期:2015－03－02錄用日期: 2015－05－05

doi:10．6043/j．issn．0438－0479．2016．01．017

中圖分類號(hào):O 156．7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):0438－0479( 2016) 01－0091－03

引文格式:楊海，裴元太，付瑞琴．Diophantine方程( an－1) ( ( a+1)n－1) = x2的可解性［J］．廈門大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，55( 1) : 91－93．

Citation: YANG H，PEI Y T，F(xiàn)U R Q．The Diophantine equation ( an－1) ( ( a+1)n－1) = x2［J］．Journal of Xiamen University( Natural Science)，2016，55( 1) : 91－93．( in Chinese)