τ-rigid對象和rigid對象

邱曉龍

(廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建廈門361005)

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τ-rigid對象和rigid對象

邱曉龍

(廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建廈門361005)

摘要:對于一個cluster－傾斜三元組( D，T，A)，討論了A中的τ-rigid對象與D中的rigid對象之間的關(guān)系，并給出了A中的τ-rigid對象可提升到D中的rigid對象的充要條件．

關(guān)鍵詞:support－τ－傾斜對;三角范疇; cluster－傾斜對象; rigid對象

Keller等［1］給出了代數(shù)閉域上的2－CY三角范疇D中的cluster－傾斜對象的概念．Cluster－傾斜對象充當(dāng)了聯(lián)系三角范疇和Abel范疇的一個橋梁．設(shè)( D，T，B)是一個cluster－傾斜三元組，即T是D的cluster－傾斜對象，B是T的自同態(tài)代數(shù)，則有Abel范疇等價

上面的范疇等價誘導(dǎo)了D中的cluster－傾斜對象和mod－B中的傾斜對象的對應(yīng)［2］，但這個對應(yīng)不是一一的，這個現(xiàn)象主要體現(xiàn)在每個幾乎完全的傾斜B－模有一個或者兩個補(bǔ)，而三角范疇中每個幾乎完全的cluster－傾斜對象都有兩個補(bǔ)．于是，Adachi等［3］給出了模范疇中support－τ－傾斜對的概念，并證明每個幾乎完全的support－τ－傾斜對都有兩個補(bǔ)，同時還證明上面的范疇等價誘導(dǎo)了下述一一對應(yīng)

{ D中的cluster-傾斜對象}?

在這個一一對應(yīng)中，把左邊的對象稱為右邊對象通過范疇等價( 1)中等價函子的提升．顯然，D中作為cluster－傾斜對象的直和項的rigid－對象與mod－B中作為support－τ－傾斜對的直和項的τ－rigid－模也是相互對應(yīng)的(這里并不一定是一一對應(yīng))．

K?nig等［4］以及Iyama等［5］分別把2－CY三角范疇中cluster－傾斜對象的概念推廣到一般的三角范疇，并且都證明了Abel范疇等價( 1)也成立．于是自然要問，在一般三角范疇的前提下，范疇等價( 1)能否誘導(dǎo)一一對應(yīng)( 2)，或者退一步地，D中的rigid對象能否與mod－B中的τ－rigid模相互對應(yīng)．

1預(yù)備知識

首先記|X|為對象X的不可分解直和項的個數(shù)．設(shè)B是代數(shù)閉域k上的有限維代數(shù)，記mod－B為代數(shù)B的有限生成右模范疇．由文獻(xiàn)［3］可知，如果模M∈mod－B滿足HomB( M，τM) = 0，則M稱為τ－rigid－模;進(jìn)一步地，τ－rigid－模M滿足|M| = | B|，則稱M是τ-傾斜模．給定τ－rigid－模M和投射模P，如果HomB( P，M) = 0，則( M，P)稱為τ－rigid－對;若τ－rigid－對( M，P)滿足|M| +|P| = |B|，則( M，P)稱為support－τ－傾斜對．易知，任意τ－rigid－對( M，P)總有| M| + | P |≤| B|．

從現(xiàn)在開始，總假設(shè)D是代數(shù)閉域k上一個帶Serre對偶H的三角范疇，因此D有AR－變換τD=H［－1］．對D中任意兩個對象X，Y，記從X到Y(jié)的態(tài)射集為D( X，Y)．給定D的子范疇C，稱態(tài)射f: C→X是X的右C-逼近，如果C∈C，并且有以下C上的函子正合列:

如果對任意對象Y∈D，都存在Y的右C-逼近，則稱C為D的反變有限子范疇．對偶地，可以定義左C-逼近以及正變有限子范疇．如果C同時是反變有限和正變有限的，則稱C是D的函子有限子范疇［6］．

給定D的子范疇C，記

prC = { X∈D |存在三角C1→C0→X→

C1［1］，其中C0，C1∈C}．

記C⊥={ X∈D|D( C，X) = 0，對偶地，可以定義⊥C．由文獻(xiàn)［5］可知:稱C為D的rigid子范疇;如果C滿足D( C，C［1］) = 0; D中的對象M稱為rigid對象，如果add M是D的rigid子范疇;稱C為D的cluster－傾斜子范疇，如果C是D的函子有限的rigid子范疇，并且滿足C=C［－1］⊥=⊥C［1］; D中的對象T稱為D的cluster－傾斜對象，如果add T是D的cluster－傾斜子范疇．

如果M是D的函子有限的rigid子范疇，且記A =prM/M［1］，則稱( D，M，A)為rigid三元組;在一個rigid三元組( D，M，A)中，如果M是D的cluster－傾斜子范疇，則( D，M，A)稱為一個cluster－傾斜三元組．注意到如果M是D的cluster－傾斜子范疇，則prM=D ［4］．

下面的結(jié)論是本文研究的基礎(chǔ):

定理1［4－5］設(shè)( D，M; A)是一個rigid三元組．則函子F: D→mod－M，X D(－，X) |M誘導(dǎo)了Abel范疇等價

文獻(xiàn)［5］還說明了當(dāng)M是D的cluster傾斜子范疇時，mod－M的AR－變換誘導(dǎo)自D的AR－變換．事實(shí)上，當(dāng)M是rigid子范疇時也成立，即:

命題1設(shè)( D，M; A)是一個rigid三元組．如果X∈prM沒有屬于M［1］的直和項，則F(τDX)τMF ( X)，其中τM是mod-M的AR－變換．

證明由于X∈prM，則可取一個三角

使得g是X的極小右M-逼近．所以

是F( X)的極小投射表示．根據(jù)mod-M的AR-變換的定義，得到一個正合列

進(jìn)而得到下列正和交換圖

所以τMF( X)D(－，τDX) |M=F(τDX)．

考慮自然商函子Q: prM→A，為簡便起見，在不引起混淆的情況下，通常把Q( X)記為X．進(jìn)一步地，如果X∈A，通常假設(shè)X沒有屬于M［1］的直和項．在定理1的范疇等價下，把A和mod-M作等同考慮．根據(jù)命題1，對任意的Y∈A，則有A中的同構(gòu)τMYτDY．因此，可把τM和τD都記作τ．

引理1設(shè)( D，M; A)是一個rigid三元組．如果X，Y∈pr( M)滿足D( X，Y［1］) = 0，則A( Y，τX) = 0．

證明注意到DD( Y［1］，τX［1］) = D( X，Y［1］) = 0，所以D( Y，τX) = 0．

上面簡單的引理1說明了D中的rigid對象對應(yīng)到A中的τ－rigid對象．而在考慮D是2－Calabi－Yau的情況下，A中的τ－rigid對象都可以提升為D中的rigid對象［3］．但這個提升一般是不成立的，下面我們將給出一個反例．

例1考慮路代數(shù)A=kQ，其中箭圖Q為1→2→3．眾所周知，A的有界導(dǎo)出范疇可由A的有限生成(右)模范疇通過“平移拼接”得到．記P( 1)，P( 2)，P( 3)為A的3個不可分解投射模，則三角范疇Db( A)的子范疇T=add{τ－nP( i)［n］| i = 1，2，3; n∈Z} 是Db( A)的cluster-傾斜子范疇．注意到τ－2P( 3)⊕τ－2P( 3)［1］是A=Db( A) /T［1］中的τ-rigid對象，但顯然它在Db( A)中不是rigid對象，如下圖所示:

2主定理及其證明

給定一個cluster－傾斜三元組( D，M，A)，由于例1的存在，對A中的τ－rigid對象什么時候可以提升為D中的rigid對象的研究看上去是個有趣的問題．首先給出一個關(guān)鍵引理．記D( X，Y)M［1］是通過M［1］分解的從X到Y(jié)的態(tài)射的集合．

引理2給定一個cluster－傾斜三元組( D，M，A)．對任意的X，Y∈D，下列自然等價成立:

對我國來說，這種來自體制方面的作用更加明顯。這是因?yàn)橹袊氖偷刭|(zhì)情況特別復(fù)雜；從計劃經(jīng)濟(jì)向市場經(jīng)濟(jì)過渡的中國式發(fā)展道路在油氣工業(yè)中的具體實(shí)踐尚在探索中，要在實(shí)踐中“摸著石頭過河”會出現(xiàn)曲折；中國石油的主體背負(fù)的包袱相當(dāng)沉重。如巨大的負(fù)債和長期中低油價下盈利的困難、體制改革降本增效所伴生的減員壓力、高比例的油氣進(jìn)口對油氣公司盈利和經(jīng)濟(jì)持續(xù)發(fā)展的影響……因此，與油氣有關(guān)的體制改革既特別重要又必須特別慎重。我們盼望著直面存在的深層次矛盾、加快步伐落實(shí)相關(guān)的改革，為油氣工業(yè)帶來新的動力。換言之，深化改革帶來的“紅利”，是實(shí)現(xiàn)油氣生產(chǎn)戰(zhàn)術(shù)和戰(zhàn)略接的前提條件之一。

其中D=Hom(－，k)．

證明選定一個三角

其中M1，M0∈M．考慮下列映射

我們斷言Im α=D( Y，τX)M［1］．

事實(shí)上，首先顯然有Imα?D( Y，τX)M［1］．下面證明D( Y，τX)M［1］?Imα．對任意的f∈D( Y，τX)M［1］，由于M是rigid的，因此fg = 0，進(jìn)而存在a∈D( M1［1］，τX)使得下圖交換

即有f=aη=α( a)，故D( Y，τX)M［1］?Imα．這就證明了Imα=D( Y，τX)M［1］，更進(jìn)一步得到

考慮下列交換圖

上圖中上面的正方形交換緣自H=τ［1］是Serre對偶，于是立即得到DαD( X，η［1］)．故

最后，斷言KerD( X，η［1］) = D( X，Y［1］)M［1］．事實(shí)上，注意到下列交換圖

對任意的f∈KerD( X，η［1］)，此即η［1］f = 0．故f可通過M0［1］分解，即f∈D( X，Y［1］)M［1］．反過來，任取g∈D ( X，Y［1］)M［1］，由于M是rigid的，所以η［1］g=0，這就表明g∈KerD( X，η［1］)，斷言得證．

綜上，下列點(diǎn)明本引理的同構(gòu)成立:

現(xiàn)在可以得到本文的主要結(jié)論:

定理2給定一個cluster－傾斜三元組( D，M，A)，對任意的兩個對象X，Y∈D有D( X，Y［1］) = 0，當(dāng)且僅當(dāng)A( Y，τX) = 0=A( X，Y［1］)．

證明必要性可由引理1直接得到，下證充分性．

因?yàn)锳( Y，τX) = 0，則D( Y，τX) = D( Y，τX)M［1］;又由引理2，并且A( X，Y［1］) = 0，可知D( Y，τX)M［1］= 0，故有D( Y，τX) = 0．根據(jù)Serre對偶，D( Y，τX)DD (τX，τY［1］)，所以D(τX，τY［1］) = 0，進(jìn)而D( X，Y ［1］) = 0．

根據(jù)上面的定理，可以直接推出文獻(xiàn)［7］中的關(guān)鍵引理．

推論1給定一個cluster－傾斜三元組( D，M，A)，其中D是一個2－Calabi－Yau三角范疇，則對任意兩個對象X，Y有D( X，Y［1］) = 0=D( Y，X［1］)，當(dāng)且僅當(dāng)A( Y，τX) = 0=A( X，τY)．

證明只需要注意τ－1［1］1D．

稱T∈D是一個cluster-傾斜對象，若add( T)是cluster-傾斜子范疇．假設(shè)T是一個cluster-傾斜對象，其自同態(tài)代數(shù)為B，則函子F=Hom( T，－) : D→mod-B誘導(dǎo)了等價D/addT［1］→mod-B．

定理3假設(shè)D是一個帶Serre對偶的三角范疇，并且T是它的一個cluster－傾斜對象．則有:

( i)對任意的rigid對象M∈D有|M|≤|T|;

( ii)任意兩個cluster－傾斜對象擁有相同個數(shù)的不可分解直和項;

( iii)對任意的cluster－傾斜子范疇T'存在一個對象T'，使得T'add( T')．

證明( i)令M=M1⊕M0，其中M1為M的屬于add( T［1］)的極大直和項，則|F( M) | = |F( M0) |且F( M0)是mod-B中的τ-rigid模．我們注意到F( M1［－1］)是mod-B中的投射模，并且HomB( F( M1［－1］)，F(xiàn) ( M0) ) = 0．所以( F ( M1［－1］)，F(xiàn)( M0) )是一個τ-rigid -對，因此| F( M1［－1］) | + |F( M0) |≤|B| = |T|．顯然|F( M1［－1］) | = | M1|，所以|M|≤|T|．

( ii)可由( i)直接得到．

( iii)首先在T'中取一個對象X，則add( X)?T' 且X是rigid的．若add( X) = T'，則命題已得證;否則，存在非零對象Y∈T ' add( X)．注意到X⊕Y也是rigid的．反復(fù)進(jìn)行這個步驟，再根據(jù)( i)，命題得證．

注1根據(jù)定理3( i)的證明過程，我們實(shí)際上可以由D中的一個cluster－傾斜對象構(gòu)造mod－B中的一個support－τ－傾斜對．

參考文獻(xiàn):

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τ-rigid Objects and Rigid Objects

QIU Xiaolong

( School of Mathematical Sciences，Xiamen University，Xiamen 361005，China)

Abstract:Given a cluster－tilting triple ( D，T，A)，we study the relationship between τ－rigid objects in A and rigid objects in D．A necessary and sufficient condition is proposed for that a τ－rigid object in A can be lifted to a rigid object in D．

Key words:support－τ－tilting pair; triangulated category; cluster tilting object; rigid object

基金項目:國家自然科學(xué)基金( 11471269)

收稿日期:2015－01－05錄用日期: 2015－05－09

doi:10．6043/j．issn．0438－0479．2016．01．015

中圖分類號:O 154．1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:0438－0479( 2016) 01－0082－04

Email: xlqiu86@ sina．com

引文格式:邱曉龍．τ－rigid對象和rigid對象［J］．廈門大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2016，55( 1) : 82－85．

Citation: QIU X L．τ－rigid objects and rigid objects［J］．Journal of Xiamen University( Natural Science)，2016，55( 1) : 82－85．( in Chinese)