量子環(huán)面上導(dǎo)子李代數(shù)的一類不可約權(quán)模

徐誠慷，譚紹濱

(廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建廈門361005)

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量子環(huán)面上導(dǎo)子李代數(shù)的一類不可約權(quán)模

徐誠慷，譚紹濱*

(廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建廈門361005)

摘要:量子環(huán)面是一類重要的非交換環(huán)面，它與高維仿射李代數(shù)的關(guān)系十分密切，它的導(dǎo)子李代數(shù)也在高維仿射李代數(shù)的表示理論里有著重要的作用．設(shè)D是一個有n+1個變量的量子環(huán)面，且其中有n個變量是相互交換的．本文對量子環(huán)面D的導(dǎo)子李代數(shù)給出了一類權(quán)模，證明這些模是權(quán)空間有限維的不可約模，并決定了它們的權(quán)的支集．

關(guān)鍵詞:導(dǎo)子李代數(shù);量子環(huán)面;高權(quán)型模;張量模

記A為d個變量的Laurent多項式環(huán)，Wd為A上的導(dǎo)子李代數(shù)．Shen［1］和Larsson［2］先后構(gòu)造了一類權(quán)空間維數(shù)一致有界的Wd-模，稱之為張量模．Rao［3］又證明了這些張量模囊括了所有滿足一定條件的不可約WdA-模(交換李代數(shù)A自然地作用在張量模上)，并且猜測權(quán)空間有限維的不可約Wd-模只有兩類:張量模和高權(quán)型模．其中高權(quán)型模在文獻［4］中已有構(gòu)造．值得注意的是A在高權(quán)型模上不是自然的作用，而且高權(quán)模的權(quán)空間也不一定是一致有界的［4］．最近Billig和Futorny［5］對權(quán)空間維數(shù)有限的不可約Wd-模給出了完全的分類，證實了Rao的猜想．

量子環(huán)面是Laurent多項式環(huán)的非交換推廣．它和它的導(dǎo)子李代數(shù)在研究A型高維仿射李代數(shù)的結(jié)構(gòu)理論中起著十分重要的作用．因此研究量子環(huán)面上的導(dǎo)子李代數(shù)的表示理論是十分有意義的．文獻［6］中描述了d+1個變量的量子環(huán)面CQ上導(dǎo)子李代數(shù)D的結(jié)構(gòu)．與李代數(shù)Wd類似，權(quán)空間有限維的不可約D-模應(yīng)該至少包含張量模和高權(quán)型模這兩類．在文獻［7］中，作者推廣Larsson的定義，得到了D的張量模，并證明了它們是完全可約的．文獻［8］則詳細(xì)地給出了這些張量模的不可約子模．最近在文獻［9］中，作者在一定的限制條件下，分類了權(quán)空間維數(shù)有限的不可約DCQ-模，并證明了這類不可約模都是張量模．值得注意的是在張量模上有一個比較自然的CQ作用，而且權(quán)空間是一致有界的．雖然對導(dǎo)子李代數(shù)D的張量模已經(jīng)有了豐富的結(jié)果，但是對其高權(quán)型模的研究還是空白．在本文中，我們對一類有理量子環(huán)面給定了其導(dǎo)子李代數(shù)D的一類高權(quán)型模;證明D的高權(quán)型模是不可約，且權(quán)空間維數(shù)是有限，但不是一致有界的;最后還計算了這類不可約模的權(quán)的支集．

我們分別用C，Z，Z+來記復(fù)數(shù)集、整數(shù)集和非負(fù)整數(shù)集，用U( g)記一個李代數(shù)g的泛包絡(luò)代數(shù)．

1量子環(huán)面導(dǎo)子李代數(shù)及其高權(quán)型模

在這一節(jié)給出本文所研究的量子環(huán)面上的導(dǎo)子李代數(shù)及其高權(quán)型模的定義．取定正整數(shù)d和d個本原單位根q1，…，qd，令q=( q1，…，qd)．記J為非交換Laurent多項式環(huán)C［t0±1，t±11，…，t±d1］nc中由以下元素生成的理想，

記Cq∶= C［t0±1，t1±1，…，td±1］nc/J．它是一個有d個互相交換的變量的有理量子環(huán)面．

為敘述方便，約定以下記號:分別用m，n，r，s，…和u，v，w，…來表示Zd+1和Cd+1中的向量;而對Cd和Zd中的向量，則分別用u，v，w，…和m，n，r，s，…之類的記號表示．并對m∈Zd+1約定m= ( m0，m)，其中m0∈Z，m∈Zd．對m=( m0，m1，…，md)∈Zd+1，記tm= tm11…tmdd和tm=t0m0t1m1…tmdd= tm00tm．另外用(·|·)來表示向量空間Cd+1中通常的內(nèi)積．定義

radf={n∈Zd+1|對任意的m∈Zd+1，f(n，m) = 1}．記D為Cq的導(dǎo)子李代數(shù)，結(jié)構(gòu)［6］如下:

這里adtm是內(nèi)導(dǎo)子，D0，D1，…，Dd為Cq的度導(dǎo)子，即

1)對m，nradf，

2)對mradf，n∈radf和u∈Cd+1，

3)對m，n∈radf，u，v∈C，

對任意的k∈Z，我們記D( k)=⊕D( k，m)，則D =m∈Zdk⊕∈ZD( k)是D的一個Z-階化．由引理1和上述的李關(guān)系可知D0=spanC{ D0，D1，…，Dd}是D的一個極大交換子代數(shù)，而且D關(guān)于D0的根空間分解與引理1給出的D的Zd+1-階化是一致的．對一個D(或D( 0)) -模M，如果D0在M上的作用半單，那么稱M是一個權(quán)模．

記D±=⊕D( k)，那么D=D－⊕D( 0)⊕D+是D的一±k＞0個三角分解．假設(shè)V是一個D( 0)的權(quán)模，令D+在V上的作用平凡，由此將V看做一個( D( 0)⊕D+) -模．考慮誘導(dǎo)D-模M( V) =U( D)?U( D( 0)⊕D+)V．記M( V)rad為M ( V)中所有與V相交平凡的子模的和，那么在與V相交平凡的意義下，M( V)rad是M( V)唯一的極大子模．令L( V) = M( V) /M( V)rad，我們稱L( V)為D的高權(quán)型模，那么顯然地有如下的引理:

引理2如果D( 0)-模V是不可約的，那么D-模L ( V)也是不可約的．

下面給出一類具體的D( 0)-權(quán)模，它源于Shen與Larsson所定義的張量模．為此首先回顧張量模的定義［1－2］，然后再給出D( 0)在張量模上的作用．

令A(yù) = C［t1±1，…，td±1］?Cq，它是d個變量的Laurent多項式環(huán)．記Wd為A的導(dǎo)子李代數(shù)，那么

給定一個α∈Cd和一個gld-模V，在V?A上定義一個Wd的作用如下:對v∈V和s∈Zd，記v( s) = v?ts∈V?A．定義

其中u∈Cd，r，s∈Zd，v∈V，Eji是在( j，i)處元素為1，其他處元素為0的d×d階矩陣．它定義了一個Wd-模Fα( V) = V?A，稱為張量模．

記AWd=WdA，作為李代數(shù)，AWd的李乘積為

其中u，v∈Cd，r，s∈Zd，w=( u|s) v－( v|r) u．AWd有一個一維的中心Ct0和一個極大的交換子代數(shù)h=span { t0，D1，…，Dd}．對任一非零c∈C，定義［3］

這在V?A上定義了一個AWd的關(guān)于h的權(quán)模結(jié)構(gòu)，記這個權(quán)模為Fα，c( V) = V?A．

接下來我們給出AWd的一個子代數(shù)，并證明它同構(gòu)于李代數(shù)D( 0)．令

Wd( q) = spanC{ trDi| r∈Z( q)，1≤i≤d}．顯然Z( q)是Zd的一個加法子群，且對任意r∈Zd，存在正整數(shù)p使得pr∈Z( q)．令A(yù)Wd( q) = Wd( q)A．則它是AWd的一個子代數(shù)．注意到h?AWd( q)，因而Fα，c( V)自然是AWd( q)的關(guān)于h的權(quán)模．

命題1 D( 0)≌AWd( q)

證明直接驗證可知如下定義的線性映射ρ: D( 0)→AWd( q)有:

是一個李代數(shù)同構(gòu)．

由命題1，F(xiàn)α，c( V)自然地成為了一個D( 0)-模．注意到上述同構(gòu)將D0映到h，這就說明了Fα，c( V)是D( 0)的一個權(quán)模．由此我們得到一類D的高權(quán)型模

2主要結(jié)論及其證明

下面是本文的第一個主要結(jié)論:

定理1取定c≠0以及α∈Cd．如果V是一個不可約的有限維gld-模，那么高權(quán)型D-模Lα，c( V)是一個權(quán)空間維數(shù)有限的不可約模．

證明注意到D，D( 0)和Fα，c( V)分別是文獻［10］所定義的Zd-額外階化指數(shù)-多項式李代數(shù)，Zd-階化指數(shù)-多項式李代數(shù)和具有有限指標(biāo)集的Zd-階化指數(shù)-多項式D( 0)-模，那么由文獻［10］中的定理1．5可知Lα，c( V)是權(quán)空間有限維的．

下面證明Lα，c( V)是不可約D-模．由引理2和命題1，只需證明Fα，c( V)是不可約AWd( q) -模．

我們?nèi)稳α，c( V)的非零AWd( q) -子模W．由于Fα，c( V)是權(quán)模，W包含非零的權(quán)向量v( m)，其中v∈V，m∈Zd．考慮環(huán)面A的作用，對任意的r∈Zd，有

所以存在子空間V1?V使得W=V1?A．

取Cd的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基{ e1，…，ed}．記pi為使得piei∈Z( q)的最小正整數(shù)，那么對任意的1≤i，j≤d，v ∈V1和m∈Zd有所以( Ejiv) ( m+pjej)∈W，那么Ejiv∈V1．因此V1是一個gld-模．由于V是不可約gld-模，有V1=V．所以W = Fα，c( V)．即Fα，c( V)是不可約AWd( q) -模．

對D0的權(quán)模M，稱M所有的權(quán)構(gòu)成的集合為M的權(quán)的支集．下面計算高權(quán)型模的權(quán)的支集．記

取定gld-模V的一組基{ va}a∈I，其中I是一個指標(biāo)集．注意到作為D( 0)-模，F(xiàn)α，c( V)的支集SuppFα，c( V) = ( c，α) +( { 0}×Zd)．由誘導(dǎo)模的構(gòu)造和Poincaré－Birkhoff－Witt定理知，M( Fα，c( V) )的權(quán)的支集為

SuppM( Fα，c( V) ) = ( c，α) + Zd+1(≤)?Cd+1．由于Lα，c( V)是M( Fα，c( V) )的一個商模，所以它的支集SuppLα，c( V)是( c，α) +Zd+1(≤)的子集．記＞為Zd+1上的字典序，那么我們知道有自然的定義，而且M ( Fα，c( V) )有一組基

其中k，l∈Z+，m( 1)…m( k)∈Zd+1(＜) adf，n( 1)…n( l)∈Zd+1(＜)∩radf，0≤i1，…，il≤d，a∈I，s∈Zd．

定理2取定c≠0以及α∈Cd．如果V是一個不可約gld-模，那么D-模Lα，c( V)的權(quán)的支集為

證明先證包含關(guān)系?．由Fα，c( V)?Lα，c( V)，知道( c，α) +( { 0}×Zd)?SuppLα，c( V)．下面證明( c，α) +( { k∈Zq|k＜0}×Zd)?SuppLα，c( V)．

如果不然，我們知道即存在μ= ( c+m0，α+m)SuppLα，c( V)，其中m0∈Zq，m0＜0，m∈Zd．那么由權(quán)空間M( Fα，c( V) )μ中任一向量生成的D-模都是M( Fα，c( V) )的真子模．

由于V是非平凡的，則存在v∈V，1≤i，k≤d使得Ekiv≠0．那么有( tm00D0) v( m)∈M( Fα，c( V) )μ，且N= U( D) ( t0m0D0) v( m)M( Fα，c( V) )是一個真子模．由于m0∈Zq，則存在n∈Zd使得(－m0，n)∈radf．注意到對r∈radf，s∈Z( q)，我們有r+( 0，s)∈radf．通過加pkek∈Z( q)到n上，不妨假定n∈Zd滿足如下條件(這個假定用到了Ekiv≠0) :

(－m0，n)∈radf，而且( ei|α+ m) v +

那么

下面證明反包含關(guān)系“?”．記W為M( Fα，c( V) )由以下線性空間生成的D-子模:

l ∈Z，元素tm( 1)，…，tm( k)，tn( 1)，…，tn( l)，i1，…，il，a，s與式( 1)中所述一致，所以W?M( Fα，c( V) )rad．由D中的交換關(guān)系，可得W的另一組基

令γ=( c，α) +r，其中r∈Zd+1滿足r0＜0，r0Zq．注意到對k個滿足如下條件的正整數(shù)a1，…，ak:

至少存在一個aiZq．不妨假設(shè)a1，…，alZq，al+1，…，ak∈Zq，其中l(wèi)≤k．由此可以看到M( Fα，c( V) )γ中的基向量

其中m( 1)，…，m( k)∈Zd，1≤il+1，…，ik≤d，a∈I，s∈Zd，與式( 2)中向量的形式一致．所以M( Fα，c( V) )γ?W?M( Fα，c( V) )rad，這就證明了γSuppLα，c( V)．因此包含關(guān)系“?”成立．

參考文獻:

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A Class of Weight Modules for the Derivation Lie Algebras of Quantum Tori

XU Chengkang，TAN Shaobin*

( School of Mathematical Sciences，Xiamen University，Xiamen 361005，China)

Abstract:Quantum torus is a very important class of non－commutative torus．Not only it has a close relation with the extended affine Lie algebra，but also its derivation Lie algebra plays a significant role in the representation theory of the extended affine Lie algebra．Let D be a quantum torus with n+1 variables with n of them commuting．In this paper，we study a class of weight modules for the derivation Lie algebra of the quantum torus D．We show that these modules are irreducible and occupy finite dimensional weight spaces．Furthermore，their supports are calculated explicitly．

Key words:derivation Lie algebra; quantum torus; module of highest weight type; tensor module

*通信作者:tans@ xmu．edu．cn

收稿日期:2014－12－29錄用日期: 2015－06－25

doi:10．6043/j．issn．0438－0479．2016．01．014

中圖分類號:O 152．5

文獻標(biāo)志碼:A

文章編號:0438－0479( 2016) 01－0078－04

引文格式:徐誠慷，譚紹濱．量子環(huán)面上導(dǎo)子李代數(shù)的一類不可約權(quán)模［J］．廈門大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2016，55( 1) : 78－81．

Citation: XU C K，TAN S B．A class of weight modules for the derivation Lie algebras of quantum tori［J］．Journal of Xiamen University ( Natural Science)，2016，55( 1) : 78－81．( in Chinese)