“一次函數(shù)”核心概念解讀

楊燕華

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“一次函數(shù)”核心概念解讀

楊燕華

函數(shù)是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，也是處理和解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具，具有廣泛應(yīng)用性.下面針對(duì)本章概念進(jìn)行多角度、多層次的分析，便于大家逐步深化認(rèn)識(shí)，幫助大家正確掌握學(xué)習(xí)函數(shù)的基本方法.

一、本章概念的橫向細(xì)化

第1節(jié)“函數(shù)”.大家在初學(xué)時(shí)會(huì)感到比較抽象，不易理解.對(duì)于函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，剛開(kāi)始大家往往只關(guān)注關(guān)系式、自變量的取值范圍或函數(shù)值這些顯性的知識(shí)，而忽略了認(rèn)識(shí)問(wèn)題的變化過(guò)程這個(gè)隱性的內(nèi)涵.我們可以通過(guò)教科書(shū)中的實(shí)例“勻速行駛的火車(chē)”、“水庫(kù)的水位變化”、“水滴激起的波紋”感受變量與變量之間的關(guān)系，并運(yùn)用函數(shù)的三種表達(dá)方式（列表法、圖像法和解析式法）揭示實(shí)際問(wèn)題的變化規(guī)律.

在學(xué)習(xí)中，我們要始終圍繞“（1）在上述變化過(guò)程中不變的量是什么？（2）變化的量有幾個(gè)？（3）它們之間有什么關(guān)系？（4）當(dāng)一個(gè)變量確定時(shí)，另一個(gè)變量能確定嗎？”這幾個(gè)問(wèn)題思考，進(jìn)而真正理解函數(shù)的概念.即“一般地，在一個(gè)變化的過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么我們稱(chēng)y是x的函數(shù)，x是自變量”.

對(duì)于函數(shù)的概念，我們要抓住“兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系”這個(gè)本質(zhì).即每個(gè)變化的過(guò)程中，都有兩個(gè)變量，并且這兩個(gè)變量之間相互依存、相互制約.

第2節(jié)“一次函數(shù)”.通過(guò)對(duì)生活中一些實(shí)例的研究，我們可以從中抽象出一次函數(shù)的概念.即“一般地，形如y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)叫做一次函數(shù).特殊地，當(dāng)b=0時(shí)，y=kx（k為常數(shù)，k≠0），y叫做x的正比例函數(shù)”.

該概念可分為三個(gè)層次理解，第一層次：上述一次函數(shù)的概念是通過(guò)一種表達(dá)式給出的，要求我們能夠根據(jù)具體問(wèn)題的表達(dá)式判斷函數(shù)是否為一次函數(shù)（正比例函數(shù)），并能說(shuō)明理由.第二層次：正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，也就是一次函數(shù)包含了正比例函數(shù)，不能理解為兩個(gè)單獨(dú)的概念.第三層次：該表達(dá)式揭示了變量與變量間的關(guān)系，可根據(jù)函數(shù)值求與之對(duì)應(yīng)的自變量的值，也可利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的關(guān)系式.

第3節(jié)“一次函數(shù)的圖像”.我們首先要學(xué)會(huì)按“列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)”三步來(lái)畫(huà)函數(shù)圖像的方法，對(duì)于一次函數(shù)，通常利用與坐標(biāo)軸的兩交點(diǎn)）、（0，b）來(lái)畫(huà)，其圖像是一條直線(xiàn).在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步感受一次函數(shù)圖像直線(xiàn)的上升、下降與解析式中k的關(guān)系，進(jìn)而認(rèn)識(shí)其性質(zhì)，千萬(wàn)不可死記一次函數(shù)的性質(zhì)，我們可以借助圖像，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法理解記憶其性質(zhì).

第4節(jié)“用一次函數(shù)解決問(wèn)題”.一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用是用一次函數(shù)的解析式或圖像來(lái)解決問(wèn)題，需要我們首先從問(wèn)題中找到函數(shù)解析式或從函數(shù)圖像直觀地找出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的關(guān)系；其次，將簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題；最后，用一次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.

第5節(jié)“一次函數(shù)與二元一次方程”、第6節(jié)“一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式”.這兩節(jié)內(nèi)容主要是研究“一次函數(shù)”與“一次方程”“一次不等式”三者之間一般與特殊的關(guān)系，它們?cè)谀承┨囟ㄇ闆r下可以相互轉(zhuǎn)換，學(xué)習(xí)時(shí)可以充分借助一次函數(shù)圖像的直觀特點(diǎn)，溝通三者之間的聯(lián)系，進(jìn)而解決問(wèn)題.

二、本章概念的縱向深化

第1節(jié)研究了一般函數(shù)的定義、自變量的取值范圍、函數(shù)的圖像及圖像的一些直觀性質(zhì)，為第2、3、4節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)鋪墊，一次函數(shù)屬于函數(shù)中的一種，一次函數(shù)與函數(shù)是特殊與一般的關(guān)系.所以，建議大家在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)可以采用類(lèi)比、對(duì)比的方法，從定義、圖像、性質(zhì)三方面全面認(rèn)識(shí).利用前后知識(shí)的關(guān)聯(lián)，有利于把已學(xué)的知識(shí)納入原有知識(shí)體系中，整體建構(gòu)知識(shí)框架.這樣的研究思路和學(xué)習(xí)方法，也為我們初二下學(xué)期和初三進(jìn)一步學(xué)習(xí)新的函數(shù)打好基礎(chǔ).

第5、6節(jié)的學(xué)習(xí)，是本章內(nèi)容的難點(diǎn)，許多同學(xué)比較容易厘清知識(shí)之間的關(guān)系，但到了“運(yùn)用”階段，無(wú)法理解一次函數(shù)與二元一次方程，一次函數(shù)與一次方程、一次不等式之間的相互關(guān)系，下面我們就對(duì)這兩個(gè)關(guān)系作一下分析.

對(duì)于“一次函數(shù)與二元一次方程”的相互關(guān)系，從形式上看，通過(guò)移項(xiàng)，可以將一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）寫(xiě)成kx-y+b=0的形式，因此從左往右看，一次函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為二元一次方程的形式.反過(guò)來(lái)，二元一次方程也可以化為一次函數(shù)的形式.從一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)與方程的解來(lái)看，一次函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元一次方程的一個(gè)解；反之，二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在一次函數(shù)的圖像上.二元一次方程和一次函數(shù)之間的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，便可實(shí)現(xiàn)兩個(gè)一次函數(shù)與二元一次方程組在形式與內(nèi)容上的完美統(tǒng)一，這既是一種解二元一次方程組的新方法，也是一次函數(shù)在數(shù)學(xué)內(nèi)部的運(yùn)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想和方程思想.

對(duì)于“一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式”的相互關(guān)系，將一次函數(shù)y= kx+b（k≠0）中的y分別取大于0、等于0、小于0的值，就可以得到一元一次不等式和一元一次方程.從圖像上看，與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就對(duì)應(yīng)著一元一次方程的解，在x軸上方、下方的點(diǎn)集y的值大于0、小于0，其橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)著一元一次不等式的解集.

三、本章概念的學(xué)習(xí)建議

在學(xué)習(xí)本章內(nèi)容時(shí)，我們一定要有以下幾個(gè)方面的思考：一是每個(gè)概念都不是獨(dú)立的個(gè)體，要把所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)連成線(xiàn)，線(xiàn)狀的知識(shí)結(jié)成塊，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的完整板塊及相互關(guān)聯(lián)，這樣學(xué)習(xí)有利于知識(shí)的存儲(chǔ)和提取.二是在學(xué)習(xí)知識(shí)或解決問(wèn)題中及時(shí)使用數(shù)學(xué)的思想方法，這樣就有利于我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì).三是善于自主歸納課堂基本知識(shí)，積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程，逐步積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).因?yàn)楸菊聝?nèi)容是初中函數(shù)學(xué)習(xí)的起始章，掌握研究函數(shù)“定義、圖像、性質(zhì)、運(yùn)用和應(yīng)用”的基本思路及“數(shù)形結(jié)合”等重要的思想方法，有利于今后新函數(shù)學(xué)習(xí)的對(duì)比和類(lèi)比，如果能夠做到舉一反三，對(duì)所學(xué)知識(shí)及時(shí)遷移，就為今后函數(shù)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市新城中學(xué)）