列車—軌道—橋梁耦合系統(tǒng)動(dòng)力方程求解方法對(duì)計(jì)算精度和效率的影響

朱志輝,龔　威，王力東，蔡成標(biāo)，余志武

(1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙　410075；2.中南大學(xué) 高速鐵路建造技術(shù)國家工程實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙　410075；3.西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都　610031)

隨著列車的高速化和重載化，列車在橋梁上行駛時(shí)引起的橋梁動(dòng)力響應(yīng)及其對(duì)行車安全性和乘坐舒適性的影響是近20年內(nèi)的重要研究?jī)?nèi)容[1]。同時(shí)，大跨度橋梁在我國高速鐵路線路中的應(yīng)用日益增多[2]，提高車—橋耦合振動(dòng)分析(Train-bridge coupled analysis，TBA)的計(jì)算效率和計(jì)算精度對(duì)于全面和深入分析大跨度橋梁動(dòng)力響應(yīng)和行車安全性至關(guān)重要[3]。Doménech[4]，Pablo[5]和Lou[6-7]分別對(duì)比和討論了不同車輛模型、不同輪軌關(guān)系以及不同橋梁模型對(duì)TBA計(jì)算精度的影響。但關(guān)于不同車—橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力方程求解方法對(duì)計(jì)算精度和計(jì)算效率的研究還不充分。

目前在車—橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力方程求解方法中，根據(jù)車輛和橋梁子系統(tǒng)動(dòng)力方程求解過程中是否在每個(gè)時(shí)間步上進(jìn)行迭代求解計(jì)算，可分為分離迭代計(jì)算方法(the separation and iteration method, SIM)和耦合時(shí)變計(jì)算方法(the coupled and time-dependent method, CTM)[1]2類。其中SIM將車輛和橋梁作為2個(gè)獨(dú)立的子系統(tǒng)，分別求解車輛和橋梁動(dòng)力方程，但是2個(gè)子系統(tǒng)需要在每一時(shí)間步內(nèi)進(jìn)行迭代求解，直至滿足輪軌接觸點(diǎn)處力平衡條件和位移協(xié)調(diào)條件。在整個(gè)計(jì)算過程中，由于SIM中的車輛和橋梁子系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣為常量，從而簡(jiǎn)化了理論推導(dǎo)及求解難度[3]，且易于和現(xiàn)有有限元軟件相結(jié)合[8]，在以往的研究中得到了較為廣泛應(yīng)用[9-12]。CTM直接建立車輛和橋梁耦合系統(tǒng)整體時(shí)變動(dòng)力方程，在每一時(shí)間步通過直接法求解動(dòng)力方程[13-15]。CTM雖然可以避免SIM在每一時(shí)間步內(nèi)的收斂迭代計(jì)算，但需要在每一時(shí)間步根據(jù)移動(dòng)的輪軌接觸點(diǎn)實(shí)時(shí)更新時(shí)變系統(tǒng)阻尼和剛度矩陣[13]。當(dāng)車輛模型復(fù)雜以及存在大量輪軌接觸點(diǎn)時(shí)，將會(huì)導(dǎo)致推導(dǎo)時(shí)變系統(tǒng)剛度和阻尼矩陣非常復(fù)雜，從而限制了該方法在鐵路橋梁的車—橋耦合振動(dòng)研究中使用[7，16]。

在過去的很多車—橋耦合振動(dòng)研究中，通常假定鋼軌與橋面之間無相對(duì)運(yùn)動(dòng)，忽略軌道結(jié)構(gòu)的彈性變形[8，11]。隨著研究的逐步深入，軌道結(jié)構(gòu)的彈性支承和變形作用在車—橋耦合振動(dòng)中的影響逐步引起了研究人員的重視[7，12]。但當(dāng)在車—橋耦合振動(dòng)研究中考慮軌道結(jié)構(gòu)時(shí)，會(huì)使以往不突出的問題變得重要，比如計(jì)算效率、收斂性和計(jì)算精度問題。吳定俊[12]、杜憲亭[17]等分別針對(duì)輪軌分離模型和密貼模型，討論了分離迭代算法的數(shù)值求解穩(wěn)定性問題。雖然輪軌分離模型在足夠小的時(shí)間積分步長(zhǎng)下可以收斂，但會(huì)導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間過長(zhǎng)。同時(shí)，當(dāng)在研究車—橋耦合振動(dòng)中考慮鋼軌時(shí)，由于簧下車輪質(zhì)量大于輪軌接觸點(diǎn)處鋼軌質(zhì)量，從而導(dǎo)致密貼模型計(jì)算不收斂。為提高SIM的計(jì)算收斂性，Zhang[18]提出全過程迭代法求解車—橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力方程，杜憲亭[11]提出基于精細(xì)Rung-Kutta混合積分法的車—橋耦合振動(dòng)非迭代求解算法；但上述研究并未考慮軌道結(jié)構(gòu)，且未給出不同方法對(duì)于輪軌力、鋼軌振動(dòng)加速度計(jì)算精度的影響。

鑒于SIM和CTM在車—橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力分析過程中各自的優(yōu)勢(shì)與缺點(diǎn)，以及考慮軌道結(jié)構(gòu)以后的列車—軌道—橋梁耦合系統(tǒng)(train-track-bridge couples system，TTBCS)的復(fù)雜性，本文基于輪軌Hertz接觸模型，分別采用SIM與CTM建立了TTBCS垂向動(dòng)力方程，并編寫了2種計(jì)算方法的MATLAB程序。首先根據(jù)譜半徑理論和最大頻率討論2種方法對(duì)時(shí)間積分步長(zhǎng)的要求以及在計(jì)算收斂性方面的差別；然后以8輛車編組的高速列車通過5跨簡(jiǎn)支梁橋?yàn)槔?，?duì)比2種方法的計(jì)算精度，并討論不同積分時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)車體、鋼軌和橋梁動(dòng)力響應(yīng)以及輪軌力等指標(biāo)計(jì)算精度的影響，從而為TTBCS動(dòng)力分析選擇合理的分析方法和確定合理的時(shí)間積分步長(zhǎng)提供參考。

1　車輛—軌道—橋梁耦合系統(tǒng)模型

圖1為典型的列車—軌道—橋梁耦合系統(tǒng)垂向動(dòng)力相互作用模型示意圖，該系統(tǒng)包括車輛子系統(tǒng)和軌道—橋梁子系統(tǒng)兩部分，2個(gè)子系統(tǒng)之間通過輪軌相互作用聯(lián)系在一起；當(dāng)不考慮外部激勵(lì)時(shí)，軌道不平順是引起二者振動(dòng)的激勵(lì)源。圖中，m，c和k分別為質(zhì)量、阻尼和剛度，z為沉浮位移，θ為點(diǎn)頭位移，下標(biāo)c,b,w,p和s分別表示車體、轉(zhuǎn)向架、輪對(duì)、一系懸掛、二系懸掛。

圖1　列車—軌道—橋梁耦合系統(tǒng)示意圖

1.1　車輛子系統(tǒng)模型

通常一列列車由Nv節(jié)車輛組成，當(dāng)忽略車體局部變形時(shí)，每節(jié)車輛可以簡(jiǎn)化為由1個(gè)車體、2個(gè)轉(zhuǎn)向架、4個(gè)輪對(duì)以及一系和二系懸掛組成的質(zhì)量—彈簧—阻尼器系統(tǒng)。由于考慮了軌道結(jié)構(gòu)，密貼模型會(huì)使得分離迭代法計(jì)算難以收斂或計(jì)算精度下降(采用虛擬質(zhì)量法保證其收斂性)[5]，因此本文采用輪軌Hertz接觸模型。每節(jié)車共有10個(gè)自由度，包括車體、轉(zhuǎn)向架的沉浮(zcj,zb1j,zb2j) 和點(diǎn)頭(θcj,θb1j,θb2j)以及輪對(duì)的沉浮(zw(4j-3)，zw(4j-2)，zw(4j-1)，zw4j)。根據(jù)多剛體假定和線性懸掛系統(tǒng)假定，每節(jié)車的參數(shù)可以簡(jiǎn)化為一系懸掛剛度和阻尼(kp,cp)、二系懸掛剛度和阻尼(ks,cs)、車體的質(zhì)量和點(diǎn)頭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(mc,Jc)、構(gòu)架的質(zhì)量和點(diǎn)頭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(mb,Jb)以及輪對(duì)的質(zhì)量mw。

當(dāng)列車勻速運(yùn)行時(shí)，不考慮車輛之間的縱向相互作用，采用D’Alembert原理，可建立基于平衡位置的車輛子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

(1)

車輛子系統(tǒng)質(zhì)量矩陣為

(2)

其中，

Mvj=diag(mcJcmbJbmbJbmwmwmwmw)

式中：Mvj為第j節(jié)車的質(zhì)量矩陣。

車輛子系統(tǒng)剛度矩陣為

(3)

式中：Kvj為第j節(jié)車的剛度矩陣，其具體表達(dá)式可參考文獻(xiàn)[7]。

第j節(jié)車的阻尼矩陣Cvi與Kvi在形式上相同，只需將Kvi中的一系懸掛剛度kp與二系懸掛剛度ks替換成一系懸掛阻尼cp與二系懸掛阻尼cs即可。

車輛子系統(tǒng)位移向量Xv為

(4)

式中：Xvj為第j輛車的位移向量。

10個(gè)自由度垂向車輛模型的位移向量為

Xvj=(zcjθcjzb1jθb1jzb2jθb2jzw(4j-3)zw(4j-2)zw(4j-1)zw4j)

(5)

1.2　軌道—橋梁模型

在車—橋耦合振動(dòng)分析中，軌道結(jié)構(gòu)不但對(duì)橋梁動(dòng)力特性有影響[19]，而且考慮軌道結(jié)構(gòu)可以更準(zhǔn)確地評(píng)估行車安全性和乘坐舒適性[20]。同時(shí)，以往的研究發(fā)現(xiàn)，模態(tài)疊加法雖然可以提高結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的計(jì)算效率，但是很難準(zhǔn)確體現(xiàn)鋼軌的局部高頻振動(dòng)特性。因此，本文采用有限元方法建立軌道—橋梁子系統(tǒng)模型，并采用直接剛度法建立軌道—橋梁子系統(tǒng)動(dòng)力平衡方程

(6)

式中：Mb,Cb和Kb分別為軌道—橋梁系統(tǒng)的總體質(zhì)量矩陣、總體阻尼矩陣和總體剛度矩陣；Xb和Fb分別為軌道—橋梁系統(tǒng)的位移向量和荷載向量。

1.3　輪軌接觸模型

車輛子系統(tǒng)和橋梁子系統(tǒng)之間的動(dòng)力相互作用通過輪軌接觸實(shí)現(xiàn)，同時(shí)輪軌之間的相互作用也是引起 2個(gè)子系統(tǒng)振動(dòng)的主要激勵(lì)源。現(xiàn)在處理輪軌接觸主要有2種方法[21]：一種是忽略輪軌相對(duì)變形的密貼模型[6,7,22]，另一種是考慮輪軌相對(duì)變形的Hertz接觸模型[8,12]。密貼模型雖然理論上較為簡(jiǎn)單，但是當(dāng)在車—橋耦合振動(dòng)中考慮軌道結(jié)構(gòu)時(shí)，由于輪軌接觸點(diǎn)處輪對(duì)質(zhì)量大于鋼軌質(zhì)量，容易導(dǎo)致計(jì)算難以收斂[12]，需要采用虛擬質(zhì)量法進(jìn)行特殊處理以改善收斂性[17]。本文采用基于切線斜率法的線性赫茲接觸模型模擬輪軌接觸關(guān)系[3]。切線斜率法是指過非線性赫茲接觸曲線中靜態(tài)輪軌力P0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)作切線，切線的斜率即為輪軌接觸彈簧剛度kh的取值。根據(jù)非線性赫茲接觸理論，輪軌垂向作用力P(t)與輪軌彈性壓縮量δZ(t)之間有如下關(guān)系：

(7)

將式(7)兩端對(duì)δZ(t)求導(dǎo)， 并將靜態(tài)輪軌力P0對(duì)應(yīng)的輪軌靜壓縮量δZ0(t)代入式(7)，即可得kh的取值

(8)

2　車輛—軌道—橋梁系統(tǒng)耦合時(shí)變動(dòng)力方程

車輛—軌道—橋梁系統(tǒng)耦合時(shí)變動(dòng)力方程將車輛子系統(tǒng)動(dòng)力方程(1)和軌道—橋梁子系統(tǒng)動(dòng)力方程(6)通過輪軌接觸關(guān)系視為1個(gè)整體，系統(tǒng)耦合時(shí)變動(dòng)力方程可寫為

(9)

式中：Ksystem為系統(tǒng)的整體剛度矩陣。

由于輪軌接觸模型中只包括剛度項(xiàng)，不包括阻尼項(xiàng)和質(zhì)量項(xiàng)，因此車輛子系統(tǒng)與橋梁子系統(tǒng)的耦合項(xiàng)只體現(xiàn)在耦合系統(tǒng)剛度矩陣中。耦合系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣由車輛子系統(tǒng)和軌道—橋梁子系統(tǒng)的質(zhì)量和阻尼矩陣按主對(duì)角排列形成。

耦合系統(tǒng)總剛度矩陣Ksystem可表示為

Ksystem=K1+K2

(10)

式中：K1為車輛子系統(tǒng)與橋梁子系統(tǒng)不考慮耦合項(xiàng)的整體剛度矩陣；K2為車輛與鋼軌的接觸矩陣。

在整個(gè)計(jì)算過程中K1保持不變。K1可由Kv和Kb按主對(duì)角排列形成

(11)

若上橋的輪對(duì)數(shù)為Nob，則K2可表示為

(12)

式中：K2i為橋上第i個(gè)輪對(duì)與軌道的接觸剛度矩陣，需要在每一時(shí)間步根據(jù)列車輪軌位置實(shí)時(shí)更新。

根據(jù)列車已運(yùn)行時(shí)間、列車初始位置與運(yùn)行速度可知第i個(gè)輪對(duì)所在的軌道單元n及在單元上的相對(duì)位置xi，如圖2所示。圖中n和n+1為單元n的2個(gè)節(jié)點(diǎn)；zrn和θrn分別為第n個(gè)節(jié)點(diǎn)的豎向位移與轉(zhuǎn)角位移；zr(n+1)和θr(n+1)分別為第n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的豎向位移與轉(zhuǎn)角位移。

圖2　第i個(gè)輪對(duì)與軌道單元耦合示意圖

由于系統(tǒng)只考慮垂向振動(dòng)，故只將輪對(duì)的豎向自由度zw與軌道單元節(jié)點(diǎn)的豎向自由度zr及轉(zhuǎn)角自由度θr耦合。K2i可表示為

(13)

其中，kii=khkiq=-khN(x)|x=xi

式中：0為零矩陣或零向量；N(x)為鋼軌單元的形函數(shù)向量，本文采用Hermit三次多項(xiàng)式作為梁?jiǎn)卧魏瘮?shù)[7]。

式(9)等號(hào)右端為耦合時(shí)變系統(tǒng)的整體荷載向量，其中車輛荷載列向量可表示為

Fv=Fvg+Fvr

(14)

其中，

Fvgi=(mcg0mbg0mbg0mwgmwg

mwgmwg)

Fvri=(0khr(x)0)T|x=xi

式中：Fvg為車輛的重力荷載：Fvgi為第i輛車的重力荷載向量；Fvr為車輛所受軌道不平順激勵(lì)；Fvgi為第i個(gè)輪對(duì)受到的軌道不平順激勵(lì)，是(10×Nv)×1的列向量；r(x)為軌道不平順，由輪對(duì)在軌道上的位置決定。

需要指出的是，在Fvgi中，除了第i個(gè)輪對(duì)所對(duì)應(yīng)的自由度位置外，其余位置均為零。

橋梁的荷載列向量Fb可表示為

(15)

其中，

Fbri=-khr(x)(0N(x)0)T

式中：Fbr為橋梁所受軌道不平順激勵(lì)；Fbri為橋上第i個(gè)輪對(duì)所在位置的軌道單元受到的不平順激勵(lì)，是1個(gè)Nb×1的列向量，F(xiàn)bri中除了單元n對(duì)應(yīng)的自由度位置外，其余位置均為零。

3　車輛—軌道—橋梁系統(tǒng)分離迭代動(dòng)力方程

采用分離迭代法時(shí)，直接將車輛子系統(tǒng)動(dòng)力方程(1)和軌道—橋梁子系統(tǒng)動(dòng)力方程(6)寫為矩陣形式，即可得到耦合系統(tǒng)整體動(dòng)力方程

(16)

與式(9)相比，式(16)等號(hào)左端項(xiàng)中沒有車輛子系統(tǒng)和軌道—橋梁子系統(tǒng)之間的耦合項(xiàng)，車輛子系統(tǒng)和軌道—橋梁子系統(tǒng)之間通過輪軌相互作用平衡條件的反復(fù)迭代實(shí)現(xiàn)動(dòng)力平衡，從而保證在整個(gè)迭代分析過程中，無需根據(jù)車輛位置改變耦合系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣。

式(16)中的車輛荷載列向量可寫為

(17)

Fvfi=(0kh(zrwi-zwi)0)T

式中：Fvf為車輛受到的由輪軌壓縮量引起的輪軌力；Fvfi為在橋上的第i個(gè)輪對(duì)所受由輪軌壓縮量引起的輪軌力，在每一時(shí)間步中，可根據(jù)橋上第i個(gè)輪對(duì)與所在位置鋼軌的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(見圖2)確定；zrwi-zwi為第i個(gè)輪對(duì)所在位置的輪軌壓縮量，zwi為第i個(gè)輪對(duì)所在位置的鋼軌豎向位移。

zrwi可以由鋼軌單元節(jié)點(diǎn)位移及其形函數(shù)求得

zrwi=XnNT(x)|x=xi

(18)

式中：Xn為輪對(duì)下鋼軌單元位移向量。

橋梁荷載列向量為

Fb=Fbr+Fbf

(19)

其中，

(0N(x)0)T|x=xi

式中：Fbf為橋梁受到的由輪軌壓縮量引起的輪軌力；Fbfi為第i個(gè)輪對(duì)處由輪軌壓縮量引起的輪軌力。

4　SIM和CTM計(jì)算流程

圖3給出了TTBCS采用SIM和采用CIM的計(jì)算流程，其中T為總計(jì)算時(shí)間，t為每步計(jì)算時(shí)間，Δt為時(shí)間積分步長(zhǎng)。

圖3　車—軌—橋系統(tǒng)求解流程圖

需要指出的是，在CTM中，只有接觸剛度矩陣K2及車輛與橋梁所受軌道不平順激勵(lì)(Fvr,Fbr)是隨時(shí)間變化的，必須在每一時(shí)間步根據(jù)車輛位置重新計(jì)算。在SIM的迭代收斂判斷中，要求在任一時(shí)間步內(nèi)第k迭代步的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與第k+1步的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)滿足迭代收斂準(zhǔn)則。由于輪軌間相互作用力體現(xiàn)了車輛與橋梁2個(gè)子系統(tǒng)的響應(yīng)狀態(tài)及耦合關(guān)系，本文以輪軌力相對(duì)誤差百分比ε≤10-6作為收斂判斷準(zhǔn)則[23]。

5　時(shí)間積分步長(zhǎng)及迭代計(jì)算穩(wěn)定性

時(shí)間積分步長(zhǎng)和迭代計(jì)算穩(wěn)定性是動(dòng)力方程求解過程中的2個(gè)關(guān)鍵問題，需要從計(jì)算精度和效率進(jìn)行綜合考慮[24]。本文通過圖4所示的列車—軌道—橋梁耦合系統(tǒng)簡(jiǎn)單模型，分別對(duì)TTBCS的時(shí)間積分步長(zhǎng)和迭代計(jì)算穩(wěn)定性進(jìn)行討論。

圖4　列車—軌道—橋梁耦合系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型

5.1　時(shí)間積分步長(zhǎng)

時(shí)間積分步長(zhǎng)是決定動(dòng)力方程求解精度的重要參數(shù)，根據(jù)Clough & Penzien建議[24]，時(shí)間積分步長(zhǎng)Δt≤1/(10fmax) ，其中fmax為系統(tǒng)最高自振頻率。TTBCS屬于剛?cè)峤M合的復(fù)雜系統(tǒng)，其中車輛及軌道—橋梁子系統(tǒng)以低頻振動(dòng)為主；輪軌相互作用則以高頻振動(dòng)為主(輪軌間接觸剛度較大)[12]。

依據(jù)一般車輛參數(shù)，假定簡(jiǎn)化模型的計(jì)算參數(shù)為：mc=5 750 kg,mw=1 000 kg,mr=36 kg,kp=2 MN·m-1,cp=80 kN·s·m-1,kr=47.6 MN·m-1,cr=75 kN·s·m-1,kh=1.44 GN·m-1。可求得圖4所示簡(jiǎn)化模型振動(dòng)系統(tǒng)的fmax=1 040.2 Hz，從而可以確定最大時(shí)間積分步長(zhǎng)Δtmax≤0.104 ms。

5.2　迭代穩(wěn)定性討論

對(duì)于耦合時(shí)變動(dòng)力方程，其積分穩(wěn)定性主要由數(shù)值積分方法決定。當(dāng)采用無條件穩(wěn)定的積分方法(如Newmark-β法)時(shí)，耦合時(shí)變動(dòng)力方程不存在迭代收斂性問題。當(dāng)采用分離迭代方法時(shí)，由于車輛子系統(tǒng)和軌道—橋梁子系統(tǒng)之間存在時(shí)間積分步內(nèi)的迭代，其積分穩(wěn)定性除了受積分方法的影響外，還受到迭代計(jì)算的影響。故本文利用譜半徑理論[17]研究分離迭代法的迭代穩(wěn)定性(本文僅對(duì)Newmark-β法進(jìn)行討論)。

按照參考文獻(xiàn)[17]對(duì)譜半徑的推導(dǎo)過程，可得圖4所示簡(jiǎn)化模型的迭代矩陣的譜半徑為

(20)

由式(20)可知，譜半徑主要由積分步長(zhǎng)決定。為使得分離迭代法在積分步內(nèi)的迭代收斂，則譜半徑必須小于1，而且考慮到迭代收斂速度，對(duì)譜半徑的要求則更高。根據(jù)5.1節(jié)中的參數(shù)，圖5給出了譜半徑隨時(shí)間積分步長(zhǎng)Δt的變化曲線。由圖5可知，當(dāng)R<1時(shí)，Δt<0.37 ms。

圖5　譜半徑隨積分步長(zhǎng)變化曲線

6　算　例

以8輛車編組(1M+6T+1M)的CRH2型高速列車通過5跨32 m預(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支箱梁橋?yàn)槔?，?duì)比SIM和CTM在TTBCS系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算精度和計(jì)算效率上的區(qū)別。車輛參數(shù)可參考文獻(xiàn)[25]，主梁和橋墩截面如圖6所示。采用有限元法建立的軌道—橋梁子系統(tǒng)模型如圖7所示(圖中A點(diǎn)和B點(diǎn)為第3跨跨中鋼軌和梁體位置)，其中主梁、橋墩和鋼軌均采用梁?jiǎn)卧M，鋼軌和主梁之間通過剛臂考慮線路偏心[3]。鋼軌節(jié)點(diǎn)和剛臂節(jié)點(diǎn)之間通過彈簧—阻尼器連接，考慮軌下扣件和墊板的彈性支撐作用，其垂向剛度和阻尼分別取47.6 MN·m-1和75 kN·s·m-1。軌道不平順譜采用我國高速鐵路無砟軌道不平順譜，車輛時(shí)速為300 km。

圖6　橋梁截面示意圖(單位：mm)

圖7　軌道—橋梁模型(單位：m)

6.1　SIM和CTM計(jì)算結(jié)果對(duì)比

在利用SIM計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，通過多次試算可知，若時(shí)間積分步長(zhǎng)大于等于0.2 ms，則會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果發(fā)散或嚴(yán)重失真。這與5.2節(jié)中基于簡(jiǎn)化模型所算得的SIM對(duì)于時(shí)間積分步長(zhǎng)的要求相符合，表明5.2節(jié)中關(guān)于時(shí)間積分步長(zhǎng)預(yù)判對(duì)于分離迭代法的時(shí)間積分步長(zhǎng)選擇具有一定的指導(dǎo)作用。為對(duì)比計(jì)算收斂條件下2種方法計(jì)算結(jié)果的精度，在Δt=0.1 ms的時(shí)間積分積分步長(zhǎng)下，利用2種方法計(jì)算了系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)，計(jì)算結(jié)果見表1及圖8、圖9和圖10?？梢钥闯?，2種方法計(jì)算所得的橋梁跨中加速度、垂向輪軌力及車體加速度等動(dòng)力響應(yīng)的最大誤差僅為2.5%，說明在足夠小的時(shí)間積分步長(zhǎng)條件下，2種方法均可以得到理想的耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果。

表1　2種方法計(jì)算響應(yīng)最大值對(duì)比

圖8　2種方法A點(diǎn)豎向加速度對(duì)比

圖9　2種方法A點(diǎn)豎向位移對(duì)比

圖10　2種方法首輪對(duì)垂向輪軌力對(duì)比

6.2　不同動(dòng)力響應(yīng)指標(biāo)的時(shí)間積分步長(zhǎng)敏感性分析

在開展車—橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)分析時(shí)，CTM由于不存在迭代計(jì)算，單純從動(dòng)力方程計(jì)算穩(wěn)定性來說，完全可以采用較SIM更大的時(shí)間積分步長(zhǎng)。但由于車—橋耦合系統(tǒng)屬于剛?cè)峤Y(jié)合的動(dòng)力系統(tǒng)，不同部位的動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算精度受時(shí)間積分步長(zhǎng)的影響各不相同；而且在實(shí)際研究中，并非所有動(dòng)力響應(yīng)指標(biāo)都是關(guān)注對(duì)象。因此，研究不同動(dòng)力響應(yīng)指標(biāo)計(jì)算精度對(duì)時(shí)間積分步長(zhǎng)的敏感性有助于在保證計(jì)算精度的情況下確定合理的時(shí)間積分步長(zhǎng)，提升計(jì)算效率。

圖11—圖16給出了利用耦合時(shí)變算法、時(shí)間積分步長(zhǎng)在1～0.1 ms時(shí)耦合系統(tǒng)不同動(dòng)力響應(yīng)的最大值及其與0.1 ms時(shí)間積分步長(zhǎng)時(shí)的相對(duì)誤差。

圖11　A點(diǎn)最大位移及其相對(duì)誤差

圖12　A點(diǎn)最大加速度及其相對(duì)誤差

從圖11—圖16可以看出：車輛、軌道—橋梁子系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)指標(biāo)最大值均隨著時(shí)間積分步長(zhǎng)的減小逐漸趨近與穩(wěn)定。其中，鋼軌位移、車體加速度、橋梁位移、輪軌垂向力受時(shí)間積分步長(zhǎng)的影響很小，即使是1 ms的時(shí)間積分步長(zhǎng)，其相對(duì)誤差百分比也不超過2%；橋梁加速度在時(shí)間積分步長(zhǎng)為0.9 ms 時(shí)可得到相對(duì)誤差小于5%的計(jì)算結(jié)果；鋼軌加速度受時(shí)間積分步長(zhǎng)影響最大，當(dāng)時(shí)間積分步長(zhǎng)為0.4 ms 時(shí)計(jì)算結(jié)果趨于穩(wěn)定，主要原因在于鋼軌振動(dòng)頻率比較高，較大的時(shí)間積分步長(zhǎng)不足以準(zhǔn)確捕捉鋼軌加速度的峰值點(diǎn)。

圖13　車體最大加速度及其相對(duì)誤差

圖14　B點(diǎn)最大位移及其相對(duì)誤差

圖15　B點(diǎn)最大加速度及其相對(duì)誤差

圖16　最大輪軌垂向力及其相對(duì)誤差

如果以5%的相對(duì)誤差作為可接受的誤差，則各項(xiàng)動(dòng)力響應(yīng)指標(biāo)可接受的最大時(shí)間積分步長(zhǎng)見表2。從表2可知，在相同時(shí)間積分步長(zhǎng)情況下，CTM由于在每一時(shí)間步需要根據(jù)車輪位置重新形成系統(tǒng)剛度矩陣，從而導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間比SIM長(zhǎng)；但由于CTM采用直接積分法，避免了迭代收斂問題，故可以采用0.4 ms 的時(shí)間積分步長(zhǎng)，使得CTM仍有計(jì)算效率上的優(yōu)勢(shì)。如果僅研究主梁沖擊系數(shù)、乘坐舒適度指標(biāo)，則利用CTM可采用1 ms的大時(shí)間步長(zhǎng)，使計(jì)算效率提高5倍以上。

表2　2種方法計(jì)算時(shí)間及計(jì)算精度對(duì)比

7　結(jié)　論

(1)通過最大頻率和譜半徑理論可對(duì)動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算的時(shí)間積分步長(zhǎng)做初步的預(yù)測(cè)，SIM的時(shí)間積分步長(zhǎng)受譜半徑和系統(tǒng)最大頻率2個(gè)指標(biāo)控制，而CTM的時(shí)間積分步長(zhǎng)主要由計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性控制。

(2)在保證收斂的條件下，SIM和CTM均可以得到一致的耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果，SIM受時(shí)間積分步內(nèi)迭代穩(wěn)定性的影響，對(duì)時(shí)間積分步長(zhǎng)有著較高要求，在本文算例中時(shí)間積分步長(zhǎng)小于等于0.4 ms時(shí)才可得到收斂的計(jì)算結(jié)果；CTM則允許在較長(zhǎng)的時(shí)間積分步長(zhǎng)下進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算。

(3)不同的動(dòng)力響應(yīng)指標(biāo)計(jì)算精度對(duì)時(shí)間積分步長(zhǎng)的敏感性不同，鋼軌振動(dòng)加速度最敏感；鋼軌位移、車體加速度、橋梁位移、輪軌垂向力受時(shí)間積分步長(zhǎng)的影響很小，如研究?jī)?nèi)容只與上述指標(biāo)有關(guān)，則可利用CTM，采用1 ms的時(shí)間積分步長(zhǎng)，以提高計(jì)算效率。

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