“材料”的力量
——《角的初步認(rèn)識(shí)》教學(xué)案例對(duì)比思辨

葉 柱（特級(jí)教師）

學(xué)生如何學(xué)、教師怎么教，是教學(xué)變革的永恒命題。對(duì)此，一種基本共識(shí)已經(jīng)逐步形成：有效的教學(xué)活動(dòng)，既要走出“口口相傳”的灌輸式路徑，突出主體參與，也要杜絕“紙上談兵”的空洞化樣貌，強(qiáng)調(diào)意義體驗(yàn)。基于這樣的理念背景，很多教師開(kāi)始關(guān)注“學(xué)習(xí)材料”（以下簡(jiǎn)稱“材料”）的優(yōu)化設(shè)計(jì)和合理運(yùn)用的問(wèn)題。顯然，材料作為課堂現(xiàn)場(chǎng)的重要資源，能為主體參與提供空間，可讓意義體驗(yàn)落到實(shí)處，進(jìn)而促成教學(xué)目標(biāo)的圓滿達(dá)成。在課程改革進(jìn)入“深水區(qū)”的當(dāng)下，作為一名數(shù)學(xué)教師，理應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的實(shí)際、班級(jí)學(xué)生的特點(diǎn)，力所能及地設(shè)計(jì)出有意義、有趣味、有內(nèi)涵的材料，使其成為課堂創(chuàng)優(yōu)的有力推手。本文擬圍繞魯雅奇、張春燕兩位青年名師同課異構(gòu)的《角的初步認(rèn)識(shí)》，對(duì)材料的設(shè)計(jì)與運(yùn)用作些案例探討。

一、“材料”做媒，保障學(xué)教和諧

毋庸置疑，真正出彩的教學(xué)生態(tài)，是“學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一”（“課標(biāo)”語(yǔ)）。自主研習(xí)在前，分享點(diǎn)撥跟進(jìn)，先學(xué)后教，據(jù)學(xué)施教，是課堂轉(zhuǎn)型的基本要求。在這個(gè)過(guò)程中，材料無(wú)疑是師生雙方的重要媒介。依“材”對(duì)話，就“料”互動(dòng)，主體與主導(dǎo)相得益彰、同生共長(zhǎng)。

1.材料“因需而生”，體現(xiàn)“教服務(wù)學(xué)”。

上過(guò)《角的初步認(rèn)識(shí)》的老師都有感受，學(xué)生常常會(huì)將“角”與“三角形”劃上等號(hào)。當(dāng)魯雅奇老師課始設(shè)問(wèn)“角是一種怎樣的圖形”時(shí)，學(xué)生也有此種反應(yīng)。對(duì)此，教師不急不躁，適時(shí)出示了一個(gè)普通材料——三角形，讓學(xué)生思辨“角就是三角形嗎”，進(jìn)而找尋兩者的區(qū)別與聯(lián)系。我們看到，這個(gè)三角形是在學(xué)生最有需要之際適時(shí)出現(xiàn)的，體現(xiàn)了教師的“教”對(duì)學(xué)生的“學(xué)”的關(guān)注、指引與幫扶，學(xué)教和諧由此落實(shí)了。

2.材料“深度開(kāi)發(fā)”，體現(xiàn)“學(xué)決定教”。

面對(duì)一則基本材料，我們常常需要順應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)生、發(fā)展的需要，來(lái)加以持續(xù)開(kāi)發(fā)。在使用課本主題圖時(shí)，張春燕老師先讓學(xué)生在上面自由找角，教師只對(duì)角的比劃方式加以指點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，教師運(yùn)用課件隱去主題圖的背景元素，只留下了角的輪廓，來(lái)引領(lǐng)學(xué)生體會(huì)角的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。就這樣，為了幫助學(xué)生充分經(jīng)歷“由生活走向數(shù)學(xué)”“從直觀邁至抽象”的過(guò)程，教師獨(dú)具匠心地對(duì)一幅看似簡(jiǎn)單的教材插圖進(jìn)行了變式挖掘，取得了很好的效果。在這方面，魯雅奇老師組織學(xué)生多次操作“活動(dòng)角”，來(lái)逐步感受“角的大小”，亦是異曲同工之舉。

二、“材料”領(lǐng)路，夯實(shí)數(shù)學(xué)理解

學(xué)生形成數(shù)學(xué)理解，是一個(gè)類似于“文火慢燉”的過(guò)程。只有等數(shù)學(xué)事實(shí)積累到位、邏輯思考伸展到位、線索意義梳理到位，真正的數(shù)學(xué)理解才有可能實(shí)現(xiàn)。這其中，材料的“用武之地”非常廣闊。從以下三個(gè)維度分析：

1.豐富數(shù)學(xué)直觀。

記得魯雅奇老師的課中有這樣一個(gè)細(xì)節(jié)：教師請(qǐng)學(xué)生“指一指周圍物體表面上的角”，學(xué)生很快指出了“書(shū)角”“桌角”等角。答案都是正確的，但視野還不夠健全。學(xué)生所指的角都是“直角”，而角的概念范疇顯然是比直角更為寬泛的。于是，為了及時(shí)擴(kuò)展學(xué)生的眼界，為后續(xù)的概念界定積蓄事實(shí)，魯老師跟進(jìn)設(shè)問(wèn)：“老師發(fā)現(xiàn)，大家指的都是這樣方方正正的角。你還能找到其它樣子的角嗎？”由此，促使學(xué)生把目光轉(zhuǎn)移到同樣由“一個(gè)頂點(diǎn)、兩條邊構(gòu)成”但不“方方正正”的角，從而把“風(fēng)扇的角”等非直角材料引入課堂，使得數(shù)學(xué)理解所需的直觀表象得以完整呈現(xiàn)。

2.突出概念要素。

角是由一個(gè)頂點(diǎn)、兩條邊構(gòu)成的，所以，“頂點(diǎn)”和“邊”是角的概念的核心要素。認(rèn)識(shí)一個(gè)角，就是在整體感知圖形概貌的基礎(chǔ)上，聚焦一個(gè)頂點(diǎn)、兩條邊。為了凸顯概念要素，兩位老師巧妙設(shè)計(jì)材料，組織了饒有成效的數(shù)學(xué)活動(dòng)。

張春燕老師給每組分別提供了“6根塑料棒”“3個(gè)圓片”，讓每位學(xué)生選擇各自所需的材料，制作一個(gè)角。在“用塑料棒搭角”的方法展示中，教師結(jié)合學(xué)生的匯報(bào)分享隨機(jī)插問(wèn)：“你為什么選擇兩根塑料棒”“為什么要將兩根塑料棒的一頭連接在一起”，引導(dǎo)學(xué)生自然聚焦到兩條邊和一個(gè)頂點(diǎn)。在“用圓片折角”的方法展示中，教師巧妙捕捉了學(xué)生出現(xiàn)的“一條邊直、一條邊曲”的作品，并促其反思，使全體學(xué)生充分意識(shí)到：既要把握角的兩個(gè)要素，還得注意“邊必須是直的”。

與張老師給學(xué)生提供數(shù)學(xué)化材料有所不同，魯雅奇老師呈現(xiàn)的是一組生活化材料，其中包括“殘缺的錢(qián)”“樹(shù)葉”等。教師請(qǐng)學(xué)生觀察“黑色描線部分是否是角”，從中明晰了“具備一個(gè)頂點(diǎn)與兩條邊”是角的判斷標(biāo)準(zhǔn)。以此為基礎(chǔ)，教師還通過(guò)對(duì)材料的結(jié)構(gòu)化使用，幫助學(xué)生切身體會(huì)到：無(wú)論兩條邊是否存在長(zhǎng)短、不管開(kāi)口朝向哪個(gè)位置，只要符合判斷標(biāo)準(zhǔn)就都是角。在這里，角的概念要素同樣得到了循序漸進(jìn)的揭示與強(qiáng)調(diào)。

3.緩解認(rèn)知疑難。

“角的大小”的理解，是本課的難點(diǎn)。很多學(xué)生總會(huì)直覺(jué)性地認(rèn)為“邊越長(zhǎng)角越大，邊越短角越小”，而不習(xí)慣于“從兩邊的岔開(kāi)程度來(lái)看角的大小”。如何幫助學(xué)生順利“邁過(guò)”這個(gè)“坎兒”呢？?jī)晌焕蠋熞廊皇亲鲎懔瞬牧系奈恼?。就拿張春燕老師的課來(lái)說(shuō)，教師首先呈現(xiàn)了二年級(jí)學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的滑梯，讓學(xué)生在三個(gè)滑梯中選擇自己想玩的一個(gè)滑梯，同時(shí)思考“滑梯越來(lái)越陡，跟里面的角有沒(méi)有關(guān)系”，并借助“活動(dòng)角”動(dòng)態(tài)再現(xiàn)兩邊逐漸張開(kāi)、滑梯不斷變陡的過(guò)程。立足這一直觀形象，教師順勢(shì)點(diǎn)明：“像這樣，兩邊張得越大，我們就說(shuō)角越大。”這樣的教學(xué)組織，學(xué)生比較容易接受及理解。不僅如此，教師還引入了“打開(kāi)折扇”“使用剪刀”“翻書(shū)”“時(shí)針?lè)轴樧邉?dòng)”等生活場(chǎng)景，加深了學(xué)生對(duì)于“角的大小就是兩邊叉開(kāi)大小”的基本認(rèn)識(shí)。學(xué)生有了這一基本認(rèn)識(shí)，再來(lái)比較角的大小就“輕車熟路”了。

三、“材料”支撐，培植活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

幫助學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是新時(shí)期數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一。然而，觀照現(xiàn)狀，對(duì)于基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)，教師們大多感覺(jué)困惑、難以入手。我們認(rèn)為，學(xué)生唯有親歷某段數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)過(guò)程，并適時(shí)反思回味，才有可能從中生成超越知識(shí)技能層面的具有個(gè)性特征的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這段歷程中，材料顯然是強(qiáng)有力的資源依托。

魯雅奇老師的課中有一個(gè)“我來(lái)認(rèn)認(rèn)角”的環(huán)節(jié)。教師出示兩幅“自來(lái)水龍頭圖”，上面分別標(biāo)有兩位學(xué)生描出的角，有正有誤。在學(xué)生作出判斷選擇后，魯老師的小結(jié)語(yǔ)令人印象深刻：“物體表面上的很多角，可能不太標(biāo)準(zhǔn)。但有‘?dāng)?shù)學(xué)亮眼睛’的同學(xué)，能一眼就看到并描出有一個(gè)頂點(diǎn)、兩條邊組成的正確的角?！睆亩欣趯W(xué)生樹(shù)立“在生活事物中剝離無(wú)關(guān)因素、抽取數(shù)學(xué)模型”的可貴意識(shí)，助其逐步積累觀察與抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

重視學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，在“畫(huà)角”環(huán)節(jié)也有充分體現(xiàn)。張春燕老師在教學(xué)時(shí)，讓學(xué)生試著“在紙上畫(huà)一個(gè)想象中的角”，很多人選擇了“利用現(xiàn)成工具描角”的策略。對(duì)此，教師并不急于糾偏，而是反復(fù)叩問(wèn)：“你還能畫(huà)一個(gè)和它不一樣的角嗎？”一開(kāi)始，有些學(xué)生沒(méi)能跳出思維定勢(shì)，認(rèn)為“找個(gè)有比較大的角的物體，再描出來(lái)”就行了。隨著教師的跟進(jìn)啟發(fā)及同伴的適時(shí)分享，全體學(xué)生逐漸達(dá)成了體驗(yàn)共識(shí)：要從角的特征入手，找到具有普遍意義的畫(huà)圖策略。這個(gè)環(huán)節(jié)雖然花時(shí)不多，但有利于學(xué)生形成合理規(guī)劃、深度反思的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

綜上所述，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中精心設(shè)計(jì)、合理運(yùn)用學(xué)習(xí)材料，有利于保障學(xué)教和諧、夯實(shí)數(shù)學(xué)理解、培植活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)然，這里還要尤其注意“材料污染”問(wèn)題。材料并非越豐富越好，因?yàn)橛锌赡芨蓴_學(xué)生的寧?kù)o心境；材料也并非越直觀越好，因?yàn)橛锌赡苡绊憣W(xué)生的思維品質(zhì)。如何控制材料的量、增強(qiáng)材料的質(zhì)，實(shí)現(xiàn)“一材多用”“一材妙用”“一材深用”，是數(shù)學(xué)教學(xué)節(jié)約成本、提升效度所需思考的重要問(wèn)題。