判定直線平行“四途徑”

□吳行民

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判定直線平行“四途徑”

□吳行民

平行線在現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見，它構(gòu)成了平面內(nèi)兩條直線的基本位置關(guān)系.下面簡要介紹判定直線平行的四種途徑.

途徑一：利用對頂角的性質(zhì)、等量代換

例1如圖1，已知：直線AB、CD相交于點(diǎn)E，∠A=∠1，∠2=∠B，試說明：AC∥BD.

圖1

分析：依據(jù)判定直線平行的條件，本題需要尋找相等的同位角或內(nèi)錯角，或互補(bǔ)的同旁內(nèi)角.

解：因?yàn)橹本€AB、CD相交于點(diǎn)E，所以∠1=∠2（對頂角相等）.又因?yàn)椤螦=∠1，∠2=∠B（已知），所以∠A=∠B（等量代換），所以AC∥BD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

點(diǎn)評：平行線的判定是以角的相等或互補(bǔ)為前提的.本題的關(guān)鍵是借助對頂角相等、等量代換，找到一組內(nèi)錯角相等，從而使問題獲解.

途徑二：利用垂直、等式的性質(zhì)

例2如圖2，已知BA⊥DA于A，CD⊥AD于D，∠1=∠2，那么直線AE、DF平行嗎？為什么？

圖2

分析：直線AE、DF被DA所截，圖中有內(nèi)錯角，如果內(nèi)錯角相等，那么兩直線就平行，所以我們要想辦法判定直線AE、DF被DA所截形成的內(nèi)錯角是否相等.

解：AE與DF平行.理由如下：

因?yàn)锽A⊥DA，CD⊥AD，

所以∠BAD=∠ADC=90°.

又因?yàn)椤?=∠2，

所以∠BAD-∠1=∠ADC-∠2，

即∠DAE=∠ADF.

所以AE∥DF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

點(diǎn)評：尋找圖中可推出直線平行的內(nèi)錯角或同位角，這是逆向思維的運(yùn)用.根據(jù)垂直定義，可以得到一對相等的角，再加上已知∠1= ∠2，利用等式的性質(zhì)，可得到一對內(nèi)錯角相等，從而得到兩直線平行.

途徑三：利用等角、角平分線定義

例3如圖3，已知B，D，E三點(diǎn)在一條直線上，∠ABD=∠CDE，BF平分∠ABD，DG平分∠CDE，那么直線BF與直線DG平行嗎？為什么？

圖3

分析：直線BF與直線DG被BD所截，如果同位角相等，兩直線就平行，所以要判定這兩條直線是否平行，就要轉(zhuǎn)化為判定同位角是否相等，如相等就平行，如不相等就不平行.

解：BF與DG平行.理由如下：

因?yàn)锽F平分∠ABD，DG平分

∠CDE，

又因?yàn)椤螦BD=∠CDE，

即∠1=∠2.

所以BF∥DG（同位角相等，兩直線平行）.

點(diǎn)評：在幾何學(xué)習(xí)中，常會由已知條件得到多個結(jié)論，我們應(yīng)從中篩選對解題有用的結(jié)論.例如，要說明本題的結(jié)論，需要知道什么角相等，其余的結(jié)論不要注意，以免分散注意力.已知中有∠ABD= ∠CDE，由此條件可得AB∥CD.但對于此題來說這個結(jié)論沒有用，因此，不要考慮這個結(jié)論.

途徑四：利用平行線的性質(zhì)、等量代換

例4如圖4，已知∠1=∠2，再添上什么條件可使AB∥CD成立？并就你添上的其中的一個條件說明理由.

圖4

分析：若添加能說明同位角相等、內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的條件，這樣就能用直線平行的判定來說明兩條直線平行了.

解：可分別添上以下任意條件：

（1）EB∥FD；

（2）∠MBE=∠MDF；

（3）∠EBN=∠FDN；

（4）∠EBD＋∠FDB=180°；

（5）EB⊥MN，F(xiàn)D⊥MN等.

已知：∠1=∠2，EB∥FD，試說明：AB∥CD.

理由：因?yàn)镋B∥FD，

所以∠EBM=∠FDM（兩直線平行，同位角相等）.

又因?yàn)椤螮BM=∠1＋∠ABM，

∠FDM=∠2＋∠CDM，

∠1=∠2，

所以∠ABM=∠CDM（等量代換），

所以AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）.

點(diǎn)評：本題研究直線平行的判定條件，要搞清楚的是添加哪個條件可以得到哪兩條直線平行.本題有一定的開放性，回答不同，對應(yīng)的說理過程也不同.