Moran’s I指數(shù)與DEM網(wǎng)格大小關(guān)系的研究

郤建軍，李新通

（福建師范大學(xué) 地理科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350007）

Moran’s I指數(shù)與DEM網(wǎng)格大小關(guān)系的研究

郤建軍，李新通*

（福建師范大學(xué) 地理科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350007）

數(shù)字高程模型（Digital Elevation Model，簡稱DEM）作為真實(shí)地形的一種數(shù)字化模擬，網(wǎng)格間存在著某種空間自相關(guān)性.Moran’s I是一種常見的空間自相關(guān)程度量化指標(biāo).為了研究Moran’s I與DEM網(wǎng)格大小之間的關(guān)系，文章在分辨率為30 m×30 m的DEM上隨機(jī)選取了35個(gè)采樣點(diǎn).又以每個(gè)采樣點(diǎn)為中心，選取n×n（n=3，5，7，…，25）大小的DEM網(wǎng)格，計(jì)算并記錄對應(yīng)于每個(gè)網(wǎng)格的Moran’s I指數(shù)值，繪出各采樣點(diǎn)的Moran’s I指數(shù)值隨n變化的曲線.研究發(fā)現(xiàn)：大多數(shù)采樣點(diǎn)的Moran’s I曲線呈現(xiàn)出一致的變化趨勢；同時(shí)發(fā)現(xiàn)少數(shù)采樣點(diǎn)的Moran’s I曲線出現(xiàn)局部的變化異常.對這些異常進(jìn)行分析后發(fā)現(xiàn)，Moran’s I值隨n變化的趨勢與DEM網(wǎng)格高程值的離散程度（地形）有關(guān).

DEM；Moran’s I指數(shù)；網(wǎng)格；空間自相關(guān)

Tobler W R[1]在1979年指出地理空間存在相關(guān)性，并在此基礎(chǔ)上提出了地理學(xué)第一定律：地理事物總在不同程度上互相聯(lián)系與制約，相距較近事物之間的影響通常大于相距較遠(yuǎn)事物之間的影響.地理事物或?qū)傩栽诳臻g分布上互為相關(guān)，存在集聚、隨機(jī)、規(guī)則等幾種分布.要了解地理事物分布、發(fā)展、變化的規(guī)律，就要考慮它們之間存在的空間相關(guān)性.空間自相關(guān)是空間統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要組成部分，被廣泛地應(yīng)用在各種研究中.Cai X M和Wang D B[2]在水文流域地形特征值的空間自相關(guān)研究中，使用全局Mo? ran’s I表示具體網(wǎng)格鄰域內(nèi)的空間自相關(guān).以某個(gè)網(wǎng)格為中心，選取n×n（n取從3開始的奇數(shù)）大小的網(wǎng)格.依次計(jì)算10個(gè)流域地形特征值的Moran’s I，記錄并繪出Moran’s I隨鄰域增大而變化的曲線圖. Pogson M等人[3]引入一個(gè)gI/nI（n、g分別是聚合前、后的網(wǎng)格大小，I是Moran’s I值）因素，反映空間自相關(guān)性對空間數(shù)據(jù)不確定性的影響.該文章利用不同的柵格數(shù)據(jù)測試他們提出的公式的正確性.研究表明數(shù)據(jù)的空間自相關(guān)性會對空間分辨率引起的數(shù)據(jù)不確定性造成一定的影響.谷建立[4]等人通過計(jì)算各土地類型的全局Moran’s I研究谷城縣縣域整體的空間自相關(guān)性.對具體土地類型的Moran散點(diǎn)圖分布和局部關(guān)聯(lián)局域指標(biāo)分布進(jìn)行了解讀.隨后，基于DEM五個(gè)地形因子的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)對谷城縣的土地利用自相關(guān)格局進(jìn)行了剖析.張松林[5]等人研究了局部空間自相關(guān)指標(biāo)Moran’s I和G系數(shù)兩種方法之間的差異.首先隨機(jī)生成一個(gè)規(guī)則網(wǎng)格模擬地震帶，網(wǎng)格屬性為震級，使用固定大小的區(qū)域從規(guī)則網(wǎng)格的一角向中心移動，探測低值與高值集聚情況，并對兩種方法的結(jié)果進(jìn)行了比較分析.陳彥光[6]簡化了空間自相關(guān)分析過程，論述了計(jì)算Moran’s I指數(shù)的三種途徑.最后，針對河南省鶴壁市人口進(jìn)行了全局Mo?ran’s I、局部LISA、Moran散點(diǎn)圖空間自相關(guān)分析.結(jié)合鶴壁市實(shí)際情況對Moran散點(diǎn)圖結(jié)果進(jìn)行了詳細(xì)的分析.Zhu D和Dong Y F[7]根據(jù)黃土丘陵溝壑區(qū)的DEM數(shù)據(jù)，以局部Moran’s I量化DEM網(wǎng)格間的空間自相關(guān)，通過設(shè)置閾值來提取DEM的地形特征點(diǎn)，基于特征點(diǎn)構(gòu)建不規(guī)則三角網(wǎng)，達(dá)到簡化生成DEM的效果.

在多數(shù)研究中，DEM作為一種數(shù)據(jù)，Moran’s I作為一種量化空間自相關(guān)的方法被用在各種案例研究中.本文以DEM為研究對象，以Moran’s I為指標(biāo)研究DEM的空間自相關(guān)性的變化趨勢，更深入地探索DEM網(wǎng)格的空間自相關(guān).研究結(jié)果可以對使用DEM的案例（尤其是涉及對空間自相關(guān)敏感的研究）起到參考作用.同時(shí)，結(jié)合本文還可以做一些進(jìn)一步的研究：比如DEM有多種生成方法，不同方法生成的DEM網(wǎng)格表現(xiàn)在空間自相關(guān)變化趨勢上是否具有差異性，在具體研究中會對研究結(jié)果產(chǎn)生什么樣的影響；對于一些特殊的地形，例如斷崖，研究DEM空間自相關(guān)變化趨勢可以將地形異常性表現(xiàn)出來.在本文的研究中，使用Java程序計(jì)算DEM網(wǎng)格Mo?ran’s I，提升了數(shù)據(jù)處理的效率.

1 基本理論

1.1 空間權(quán)重矩陣

要揭示地理事物之間的關(guān)系，首先需要定義地理事物之間的鄰接關(guān)系.空間權(quán)重矩陣是空間相鄰關(guān)系的主要表現(xiàn)方式.與空間位置屬性有關(guān)的、重要的空間概念有距離、鄰接、交互、近鄰.建立空間權(quán)重矩陣的關(guān)鍵在于空間位置的定義.空間權(quán)重矩陣主要有以下幾種：左右相鄰權(quán)重矩陣、上下相鄰權(quán)重矩陣、Queen（后步）權(quán)重矩陣、Rook（車步）權(quán)重矩陣、K最近點(diǎn)權(quán)重矩陣、基于距離權(quán)重矩陣、閾值權(quán)重矩陣、Dacey權(quán)重矩陣、Cliff-Ord權(quán)重矩陣[8].空間權(quán)重矩陣的選擇直接關(guān)系到空間自相關(guān)計(jì)算結(jié)果，所以一些學(xué)者建議采用與所研究的特定現(xiàn)象有更直接關(guān)系的權(quán)重矩陣[9].

空間權(quán)重矩陣用一個(gè)二維矩陣來表示，基本形式如下：

DEM網(wǎng)格空間鄰接有兩種：基于距離鄰接和基于網(wǎng)格鄰接[5].基于距離鄰接是指網(wǎng)格A與網(wǎng)格B距離小于規(guī)定的距離閾值時(shí)權(quán)重為1，否則權(quán)重為0；基于網(wǎng)格鄰接是指根據(jù)網(wǎng)格之間的鄰接情況，相鄰權(quán)重為1，否則權(quán)重為0.其中常用的有Rook空間權(quán)重矩陣、Queen空間權(quán)重矩陣.Rook空間權(quán)重矩陣易于理解且計(jì)算過程較為簡單，本文采用的是Rook空間權(quán)重矩陣，步長為1.Rook空間權(quán)重矩陣的定義為：中心網(wǎng)格與其他網(wǎng)格是否有公共邊，有公共邊，權(quán)重為1，否則權(quán)重為0.

1.2 Moran’s I指數(shù)

量化空間自相關(guān)的指標(biāo)主要有Moran’s I指數(shù)、Geary’s C.本文采用Moran’s I指數(shù)來計(jì)算DEM的空間自相關(guān)性.Moran’s I指數(shù)包括全局Moran’s I指數(shù)、局部Moran’s I指數(shù).全局Moran’s I指數(shù)的計(jì)算公式為：

其中，xi是要素i的屬性，n為要素的總數(shù)，i、j代表不同的要素，wij是要素i和j之間的空間權(quán)重.是對應(yīng)屬性的平均值，S2表示所有要素的方差：

全局Moran’s I取值范圍為[-1，1].當(dāng)I大于0時(shí)，表示區(qū)域內(nèi)地理事物存在空間正相關(guān)；當(dāng)I小于0時(shí)，表示區(qū)域內(nèi)地理事物相對離散；當(dāng)I接近0時(shí)，則表明區(qū)域內(nèi)地理事物不存在空間自相關(guān)性，呈隨機(jī)分布[10-11].

從全局Moran’s I的計(jì)算過程來看，所有局部貢獻(xiàn)值之和除以全部連接數(shù)∑∑wij就是全局Mo?ran’s I.其中，每個(gè)局部貢獻(xiàn)值為：

這些單個(gè)的要素Ii稱為局部空間關(guān)聯(lián)指標(biāo)（Local In?dicators of Spatial Association，簡稱LISA），可以用于制圖和顯著性檢驗(yàn)，以提供關(guān)于研究區(qū)內(nèi)聚集格局的信息.

1.3 Moran散點(diǎn)圖

Moran散點(diǎn)圖也是一種局部空間自相關(guān)分析方法.能夠具體區(qū)分區(qū)域單元和其鄰接單元間的4種空間分布形式[12]，包括High-High、Low-High、Low-Low、High-Low.四個(gè)類型區(qū)對應(yīng)Moran散點(diǎn)圖的四個(gè)象限，每個(gè)象限所代表的含義如下[6]：

1）第一象限：為HH區(qū)域，即自身為高觀測值的點(diǎn)或區(qū)域且其周圍鄰居也多是高值的點(diǎn)或區(qū)域，觀測值之間具有相似性，呈正的空間自相關(guān)，這些點(diǎn)或區(qū)域之間在實(shí)際情況中呈高值集聚的空間關(guān)聯(lián)模式；

2）第二象限：為LH區(qū)域，即低觀測值的點(diǎn)或區(qū)域且被高觀測值的點(diǎn)或區(qū)域所包圍，觀測值之間具有異質(zhì)性，呈負(fù)的空間自相關(guān)，這些點(diǎn)或區(qū)域之間在實(shí)際情況中呈離散分布的空間關(guān)聯(lián)模式；

3）第三象限：為LL區(qū)域，即低觀測值的點(diǎn)或區(qū)域且被同為低觀測值的點(diǎn)或區(qū)域所包圍，觀測值之間具有相似性，呈正的空間自相關(guān)，這些點(diǎn)或區(qū)域之間在實(shí)際情況中呈低值集聚分布的空間關(guān)聯(lián)模式；

4）第四象限：為HL區(qū)域，即高觀測值的點(diǎn)或區(qū)域且被低觀測值的點(diǎn)或區(qū)域所包圍，觀測值之間具有異質(zhì)性，呈負(fù)的空間自相關(guān)，這些點(diǎn)或區(qū)域之間在實(shí)際情況中呈離散分布的空間關(guān)聯(lián)模式.

2 結(jié)果及分析

2.1 方法及結(jié)果

DEM矩陣的內(nèi)容為以高程為屬性值的柵格數(shù)據(jù).本文目的是探究DEM網(wǎng)格大小對其網(wǎng)格間空間自相關(guān)性的影響，在一個(gè)空間分辨率為30 m*30 m的DEM中隨機(jī)選取35個(gè)點(diǎn)，以每個(gè)點(diǎn)為中心又分別選取3*3、5*5、7*7、9*9、11*11、13*13、15*15、17*17、19*19、21*21、23*23、25*25共12個(gè)大小遞增的DEM網(wǎng)格.圖1是在ArcGIS 10.1中加載顯示的樣本點(diǎn)位置分布圖（35個(gè)樣本點(diǎn)是在ArcGIS中隨機(jī)生成的），文章使用的DEM是山地地形，高程范圍在438-4361 m之間.

在ArcGIS10.1中將每個(gè)采樣點(diǎn)的DEM樣本轉(zhuǎn)為ASCII文件（*.txt），然后在Java編寫的程序中讀取ASCII文件，計(jì)算并記錄樣本網(wǎng)格對應(yīng)的Moran’s I值.關(guān)于空間權(quán)重矩陣的具體細(xì)節(jié)請讀者參考文后所附的程序源代碼，見附錄A.繪出Moran’s I值隨n變化的曲線即可得到圖2所示的結(jié)果.

圖1 樣本分布Fig.1 The distribution of samples

圖2 所有采樣點(diǎn)的Moran’s I指數(shù)變化曲線Fig.2 Moran’s I Index change curve of sample points

接下來，利用Geoda軟件對所有的DEM樣本進(jìn)行顯著性檢驗(yàn).圖3為樣本點(diǎn)15的3*3網(wǎng)格和25*25網(wǎng)格顯著性檢驗(yàn)結(jié)果.容易看到，這兩種網(wǎng)格表現(xiàn)出一致的顯著性規(guī)律：3*3網(wǎng)格出現(xiàn)了Low-Low的集聚，對應(yīng)的區(qū)域出現(xiàn)了較高的顯著性；隨著DEM網(wǎng)格的擴(kuò)大，25*25網(wǎng)格出現(xiàn)High-High、Low-Low集聚現(xiàn)象，相應(yīng)的顯著性更加明顯.這些規(guī)律具體表現(xiàn)是：圖2的全局Moran’s I曲線呈上升態(tài)勢.

圖3 點(diǎn)15的3*3、25*25網(wǎng)格的LISA集聚圖及對應(yīng)的LISA顯著性圖Fig.3 LISA cluster map and LISA significance map of grids 3*3 and 25*25 of point 15

2.2 結(jié)果分析

分析圖2可以發(fā)現(xiàn)以下兩個(gè)顯著的規(guī)律：一、幾乎所有曲線都表現(xiàn)出一致的變化趨勢，即隨著DEM網(wǎng)格的逐漸增大，Moran’s I數(shù)值逐漸增大，Moran’s I數(shù)值增長率逐漸減?。欢?、大多數(shù)樣本點(diǎn)的3*3網(wǎng)格的Moran’s I值都在0.5左右，這是較高的小范圍集聚性的表現(xiàn).

同時(shí)，有少數(shù)樣本點(diǎn)的Moran’s I曲線出現(xiàn)兩種類型的異常.一、曲線走勢異常，即整個(gè)Moran’s I曲線的走勢存在異常，見圖4.具體而言：隨著DEM網(wǎng)格大?。╪）的增加，在13-21區(qū)間內(nèi)，樣本點(diǎn)24的Moran’s I曲線呈現(xiàn)下降走勢；在7-11、17-21兩個(gè)區(qū)間內(nèi)，樣本點(diǎn)34的Moran’s I曲線也呈現(xiàn)出下降走勢.二、曲線初始值異常：Moran’s I曲線的初始值偏小.如圖5，對于最小的DEM網(wǎng)格（3*3），各異常樣本點(diǎn)的Moran’s I值都小于0.3，小于正常樣本點(diǎn)的相應(yīng)值.

是什么原因?qū)е逻@兩種異常的發(fā)生？這些異常表現(xiàn)在DEM上又會是什么地形？本文通過計(jì)算DEM網(wǎng)格的方差來分析這個(gè)問題.這是因?yàn)椋篗o?ran’s I的計(jì)算公式表明，DEM相鄰網(wǎng)格之間的高程值的差值會直接影響Moran’s I數(shù)值，即，DEM相鄰網(wǎng)格之間的高程值的差異影響它們的空間自相關(guān)性的高低.本文計(jì)算3*3和25*25兩種DEM網(wǎng)格的方差.選擇3*3網(wǎng)格的主要原因是：Moran’s I曲線的初始值對應(yīng)于3*3的網(wǎng)格；選擇25*25網(wǎng)格的主要原因是：通過計(jì)算結(jié)果來查看整個(gè)DEM網(wǎng)格的高程值的離散程度.兩種尺寸DEM網(wǎng)格的方差從不同的角度說明Moran’s I曲線的異常.表1為35個(gè)樣本點(diǎn)的3*3和25*25兩種網(wǎng)格高程方差的計(jì)算結(jié)果.

圖4和圖5一共展示了7個(gè)異常采樣點(diǎn)的Mo?ran’s I曲線.從表1可以看出，7個(gè)異常采樣點(diǎn)的3*3網(wǎng)格方差值都較小（主要集中在0.00-20.00這一范圍之內(nèi)），遠(yuǎn)小于大部分正常采樣點(diǎn)的對應(yīng)值.這說明，對于3*3的DEM網(wǎng)格，所有異常點(diǎn)高程值都集中在某一個(gè)值左右.異常采樣點(diǎn)9、24、34和35的25* 25網(wǎng)格方差分別為781.76、263.32、882.42和783.95，小于其他采樣點(diǎn)的對應(yīng)值；異常采樣點(diǎn)22和26的25*25網(wǎng)格方差分別為1983.22和2544.05，同樣小于大部分的正常采樣點(diǎn)對應(yīng)的值.

圖4 曲線走勢異常Fig.4The abnormal of curve trend

圖5 曲線初始值異常Fig.5 The initial values of the abnormal curves

圖6 異常點(diǎn)在整個(gè)DEM上的位置Fig.6 The distribution of abnormal sample points in DEM

表13 *3和25*25網(wǎng)格的高程方差值（單位：m2）Tab.1The elevation variances of 3*3 and 5*5 DEM’s grids（unit:m2）

結(jié)合本文研究區(qū)域的DEM高程圖（見圖6）和DEM坡度圖（見圖7），查看這些異常采樣點(diǎn)的位置分布可知，異常采樣點(diǎn)都位于地勢相對平坦之處，其中采樣點(diǎn)9、22、23、24、34、35位于坡度范圍在0-17的位置，采樣點(diǎn)26處于坡度范圍在18-34的位置.結(jié)合7個(gè)異常采樣點(diǎn)的3*3和25*25網(wǎng)格方差及其高程位置分布圖、坡度位置分布圖，可以推測，兩種Mo?ran’s I曲線異常都與采樣點(diǎn)所處位置的坡度有關(guān)，因?yàn)樯焦鹊牡貏荻驾^為平坦，而這些采樣點(diǎn)大多分布在山谷中.（注：圖6是對原DEM進(jìn)行了高程分布渲染操作所得，圖7是對原DEM進(jìn)行了求取坡度操作所得.兩幅圖的操作都是在ArcGIS 10.1中進(jìn)行的）.

接下來，通過Moran散點(diǎn)圖分析異常采樣點(diǎn)與正常采樣點(diǎn)之間的區(qū)別.異常采樣點(diǎn)9以及正常采樣點(diǎn)1的25*25 DEM網(wǎng)格的散點(diǎn)圖對比見圖8和圖9.空間自相關(guān)的散點(diǎn)與趨勢線匹配的效果越好，則自相關(guān)性越強(qiáng)[6].從這兩幅圖的散點(diǎn)分布與直線匹配的情況看，采樣點(diǎn)的25*25 DEM網(wǎng)格空間自相關(guān)性較高，這也印證了圖2中Moran’s I曲線分布.從Mo?ran散點(diǎn)圖還可以看出，在正常采樣點(diǎn)的25*25 DEM網(wǎng)格中，HH、LL區(qū)域分布更為均衡，異常采樣點(diǎn)則相對集聚.DEM高程值的變化呈現(xiàn)有序遞增或遞減趨勢，沒有出現(xiàn)High-Low、Low-High兩種情況，相應(yīng)地，無論是在異常采樣點(diǎn)還是正常采樣點(diǎn)的散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)的分布都沒有出現(xiàn)在二、四象限.

3 結(jié)論與不足

DEM是一種真實(shí)地形的數(shù)字高程表現(xiàn)形式，一般情況下，DEM矩陣網(wǎng)格之間存在正的空間自相關(guān)；空間自相關(guān)量化指數(shù)Moran’s I同DEM網(wǎng)格大小之間存在關(guān)聯(lián)性：DEM中以一點(diǎn)為中心逐漸向外延伸，隨著DEM網(wǎng)格范圍的擴(kuò)大，空間集聚現(xiàn)象逐漸明顯，Moran’s I值逐漸增大，Moran’s I值增長率逐漸減小，在DEM網(wǎng)格達(dá)到一定范圍后，Moran’s I值趨于穩(wěn)定；Moran’s I值隨DEM網(wǎng)格的變化趨勢同DEM網(wǎng)格高程值的分布（地形）有關(guān)；DEM的空間分辨率的大小決定著真實(shí)地形中細(xì)節(jié)的缺失與否，所以DEM空間分辨率的不同會影響Moran’s I的值.

從本文分析結(jié)果來看，異常采樣點(diǎn)都出現(xiàn)在地勢較為平坦，坡度較小的位置.但是并不是所有位于平坦地勢的采樣點(diǎn)都表現(xiàn)出異常.從表2中可以看出，正常采樣點(diǎn)8、10、13、18、20、29、31的3*3和25*25網(wǎng)格方差都較小，但是這些采樣點(diǎn)的Moran’s I曲線沒有出現(xiàn)文中提到的兩種異常.進(jìn)一步的分析將在別的研究中進(jìn)行.

圖7 異常點(diǎn)在坡度圖上的位置分布Fig.7 The distribution of abnormal sample points in slope DEM

圖8 采樣點(diǎn)9的散點(diǎn)圖分布Fig.8 The scatter diagram of sample point 9

圖9 采樣點(diǎn)1的散點(diǎn)圖分布Fig.9 The scatter diagram of sample point 1

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附錄A

車步空間權(quán)重矩陣代碼

本附錄給出空間權(quán)重矩陣的核心代碼塊，詳細(xì)的介紹見正文第2.1節(jié).

其中，DEM網(wǎng)格的高程值存放在一個(gè)二維數(shù)組array[row][column]中，row表示行索引值，column表示列索引值.從代碼中可以看到有4個(gè)if判斷語塊，通過控制row、column的值，分別是對應(yīng)中心網(wǎng)格同上、下、左、右網(wǎng)格的判斷.

責(zé)任編輯：吳興華

Study of the Relationship Between the Moran’s I Index and the DEM’s Grid Size

XI Jianjun，LI Xintong*
（School of Geography，F(xiàn)ujian Normal University，F(xiàn)uzhou350007，China）

Digital Elevation Model（DEM）is a digital model of realistic terrain,and there exists spatial auto-correlation among DEM’s grids.The Moran’s I is a quantized index used to measure the spatial auto-correlation.To explore the rela?tionship between the Moran’s I index and the size of DEM’s grids,we compute and record the corresponding Moran’s I val?ues by selecting 35 samples in the DEM with a resolution of 30 m×30 m randomly and selectingn×n（n=3，5，7，…，25）DEM’s grids centering on each sample point.Finally,we plot the Moran’s I curves varying along withnfor all sample points.The results show that most Moran’s I curves have the same variation trend except for a few curves which have abnor?mal behaviors in somen-intervals.By analyzing these abnormal phenomena,we find that the variation trend of a Moran’s I curve along withnis related to the elevation dispersion degree of the corresponding DEM’s grids.

DEM；Moran’s I index；grid；spatial auto-correlation

P 282

：A

：1674-4942（2016）004-0418-07

10.12051/j.issn.1674-4942.2016.04.014

2016-08-28

*通訊作者