阿基米德折弦定理的補證與三角學意義

■浙江省寧波市北侖明港中學　甘大旺

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阿基米德折弦定理的補證與三角學意義

■浙江省寧波市北侖明港中學甘大旺

在關于古希臘數(shù)學發(fā)現(xiàn)與進展的浩瀚史料中，記載著平面幾何的一個有趣結(jié)論——阿基米德折弦定理.

定理若圓O的兩弦AB與BC構成一條折弦，其中AB≥BC，A（BC的中點是D，作DE⊥AB于E，如圖1，則垂足E是折弦ABC的中點.

圖1

圖2

筆者只看到此定理的證明思路，但沒有看到證明過程，有必要補遺之.

證明：如圖2，延長AB至F使E是線段AF的中點，連接AD，F(xiàn)D，CD，CF.由于DE⊥AB，則Rt△DEA≌Rt△DEF，則AD=FD，∠EAD=∠EFD，∠BCD=∠BAD=∠EAD= ∠EFD=∠BFD，又AD=DC，故DC=DF，則∠DCF=∠DFC，∠BCF=∠BFC，故BF=BC，則EA=EF=EB+BF=EB+BC.

所以，垂足E是折弦ABC的中點.（證畢）.

此定理后來被阿拉伯學者歸結(jié)到古希臘數(shù)學家、力學家阿基米德（Archimedes，公元前287~212）的名下，稱之為阿基米德折弦定理.

在阿基米德所處的年代，三角學只處于萌芽狀態(tài)，還沒有形成框架，“不知道阿基米德是否在這個定理中看出了任何三角學的意義”.為了煥發(fā)阿基米德折弦定理的三角學色彩，發(fā)揮沉睡史料在課程建設中的借鑒作用，下面推導三角變換的一個根基公式.

例當α、β都為銳角時，運用阿基米德折弦定理證明公式：sin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ.

證法1：不妨設0°＜β≤α＜90°.如圖3，先作單位圓O的內(nèi)接△ACD使得∠ACD=α，∠CAD=β，則∠AOD=2α，∠COD=2β.

圖3

在單位圓O上取點B使∠BOD=∠AOD=2α，且圓O上四點A、B、C、D逆時針放置，那么∠BOC=2α－2β.作DE⊥AC于E，則運用阿基米德折弦定理，得BC+CE=EA.（※）

運用等腰三角形性質(zhì)、正弦定義、余弦定義得到BC=2sin（α－β），CE=CDcosα=2sinβcosα，EA=ADcosβ= 2sinαcosβ.代入（※）式、除以2、移項得到sin（α－β）= sinαcosβ－cosαsinβ.

證法2：0°＜β≤α＜90°.如圖4，先作單位圓O的內(nèi)接△ACD使得∠ODC=α，∠ODA=β，則2∠CAD=∠COD=180°－2α，2∠ACD=∠AOD=180°－2β.

圖4

在單位圓O上取點B使∠BOD=∠AOD=2π－2α，且圓O上四點A、B、C、D順時針放置，那么∠BOC=∠AOD－∠COD=（2π－2β）－（2π－2α）=2α－2β.

作DE⊥AC于E，則運用阿基米德折弦定理得，BC+ CE=EA.（※）

運用等腰三角形性質(zhì)、正弦定義、余弦定義、誘導公式得到BC=2sin（α－β），

CE=CDcos（90°－β）=2cosαsinβ，

EA=ADcos（90°－2α）=2cosβsinα.

代入（※）式、除以2、移項得到sin（α－β）=sinαcosβcosαsinβ.

補注：①對于α、β不都為銳角的情形，運用誘導公式可以化歸到上述情形，有時用到特值檢驗；②讀者翻新繪制示意圖，可以嘗試著運用阿基米德折弦定理證明此公式或其他三角函數(shù)變換式.

因為以sin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ為源頭，也能夠逐次推導出其他的和差公式、倍角公式、半角公式、和差化積、積化和差、萬能公式等三角函數(shù)恒等變換公式，所以阿基米德折弦定理具有三角學的意義.

參考文獻：

1.［美］卡爾·B．博耶，著.［美］尤塔·C.梅茲巴赫，修訂.數(shù)學史［M］.秦傳安，譯.北京：中國編譯出版社，2013.