巧用課堂生成構(gòu)建數(shù)學(xué)模型
——以《雞兔同籠》教學(xué)為例

王章蓮（特級教師）

一、巧用生成，滲透思考方法

【教學(xué)片斷】

出示習(xí)題：籠子里關(guān)著一些雞和兔，從上面數(shù)，雞頭有12個(gè)，兔頭有8個(gè)，從下面數(shù)一共有多少只腳呢？

出示這一題的目的是引入新課，幫助學(xué)生找到其中兩個(gè)隱含的條件。但在課堂的教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)這一題的作用遠(yuǎn)大于此。學(xué)生做題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一種方法：（12+8）×2。

師：你認(rèn)同她的計(jì)算方法嗎？

生：錯(cuò)的，她把雞和兔全部看成了2只腳。

生：兔子應(yīng)該是4只腳，怎么可能是2只腳呢？

生：她把兔子看成了2只腳，每只兔子少算了2只腳，腳算少了。

生：每只兔子少算了2只腳，一共少算了16只腳。

師：正確的方法是什么呢？

生：12×2+8×4＝56（只）。

師：其實(shí)，她的方法并不完全錯(cuò)，你有方法補(bǔ)救嗎？

生：可以改成 12×2+8×4。

生：這不是在她的方法的基礎(chǔ)上改的。

生：（12+8）×2+8×2。

師：怎么想的？

生：因?yàn)樗阉械耐米尤靠闯闪穗u，每只兔子少了兩只腳，一共少了8×2＝16（只）腳，所以應(yīng)該加上8×2。

師：看來這道題除了常規(guī)的方法外，我們還可以將錯(cuò)就錯(cuò)，將兔子全部看成雞，然后再補(bǔ)上少算的腳數(shù)。

【教學(xué)思考：

課前只是想通過這道簡單的熱身題引出新課，幫助學(xué)生明白這類題的基本結(jié)構(gòu)，使學(xué)生知道這種題中隱含著兩個(gè)條件：雞有2只腳，兔有4只腳。沒曾想到，課堂上出現(xiàn)了不曾想到的方法：（12+8）伊2。顯然，這種方法是錯(cuò)誤的，教學(xué)中我順利地捕捉到了這一生成資源，引導(dǎo)學(xué)生展開充分的分析與思考，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)：其一，如果把兔看成雞，每只兔子就少算了2只腳；其二，在解決這一問題時(shí)，除了一般的方法外，也可以把兔看成雞，然后再補(bǔ)上少算的腳數(shù)。

千萬別小看了學(xué)生無意中的生成，這種方法正是用假設(shè)法解決雞兔同籠問題的最難理解的地方，一旦這點(diǎn)得以突破，雞兔同籠問題就迎刃而解。教學(xué)中由學(xué)生誤打誤撞的解法出發(fā)，通過師生之間、生生之間有效的交流，學(xué)生對于雞兔同籠問題的精髓已知曉了一半。】

二、善用啟發(fā)，激發(fā)思維碰撞

變式問題：籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)共有8個(gè)頭，從下面數(shù)共有26只腳，雞和兔各有幾只？

通過對比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖然與習(xí)題中有很多類似的地方，但還是有很多不同內(nèi)容，不少學(xué)生思考了3分鐘，還是毫無頭緒。怎么辦呢？經(jīng)過短暫的思考后，我感覺應(yīng)該給他們指明思考的方向。

師：當(dāng)遇到不會解決的問題時(shí)，我們可以怎么辦呢？

生：畫圖。

師：畫圖是一種不錯(cuò)的方法。除此之外，還有呢？能不能用最原始的方法呢？

生：猜（這里的猜其實(shí)就是列舉）。

又過了差不多5分鐘，終于有一些學(xué)生有方法了。

1.1.1 《國務(wù)院關(guān)于加強(qiáng)青少年體育增強(qiáng)青少年體質(zhì)的意見》中指出：“在校學(xué)生每天的體育鍛煉時(shí)間不得少于一小時(shí)。大力推進(jìn)全民健身計(jì)劃，構(gòu)建多元化體育服務(wù)體系”。以校本課程開發(fā)為載體，深入到全校教師與學(xué)生、課程與教學(xué)、制度與文化，以深化特色創(chuàng)建為抓手，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)展、教師發(fā)展、學(xué)校發(fā)展是課程改革的宗旨。

生1：我用的是猜的方法，具體展示如下：

雞　1　2　3兔　7　6　5腳　30　28　26

生 2：4×5+3×2＝26。

師：你們看得懂嗎？有什么問題要問她？

生：你怎么一開始就知道雞有3只，兔有5只？

生2：我也是試出來的，試出結(jié)果后，我再根據(jù)結(jié)果列出的算式。

師：我明白了，你展示的是試的結(jié)果，前面的那位同學(xué)展示的是試的過程。

生3：我是用畫圖的方法來解決的，先畫8個(gè)圓，代表雞和兔有8只，然后給它們每只先畫2只腳，這樣只有16只腳，然后再從第一只開始，每個(gè)再添上2只腳，添了10只腳，是5只兔子，雞有3只。

（實(shí)物投影展示學(xué)生畫的圖）

師：你每只動物畫2只腳，一共只有16只腳，少了多少腳呢？是誰少的？

生：少了10只腳，正好是5只兔子。

……

【教學(xué)思考：

1.恰當(dāng)?shù)貑l(fā)，引出精彩。

問題拋出后，教室里靜悄悄的，沒有一丁點(diǎn)的聲音，學(xué)生都在冥思苦想，巡視后發(fā)現(xiàn)學(xué)生基本上是束手無策，怎么辦呢？此時(shí)，最好的辦法就是通過師生之間的交流，找到思維的癥結(jié)所在，引導(dǎo)學(xué)生逐步找到解決問題的策略。經(jīng)過5分鐘左右的嘗試，最終有不少學(xué)生想到了解決的方法。

2.充分地展示，呈現(xiàn)多彩。

每種方法，學(xué)生都是經(jīng)過深思熟慮的，在他們自己看來，自己的方法都是最好的！課堂上為了了解學(xué)生的方法，引導(dǎo)學(xué)生直觀感知解決雞兔同籠問題的一般方法，花了大量的時(shí)間，讓學(xué)生展示自己的方法。共展示了三種方法，為了讓每個(gè)學(xué)生都能看懂，我要求他們配合實(shí)物投影儀介紹自己的方法，并通過同學(xué)的提問，提升自己和同學(xué)對每種方法的認(rèn)識與理解，這種介紹、展示的方法，使學(xué)生不僅解決了問題，而且認(rèn)識到解決這類問題可以用列舉法、畫圖法、假設(shè)法等多種方法來解決。

3.巧妙地延伸，做好鋪墊。

畫圖法是一種直觀的解決問題的方法，學(xué)生之所以能想出這樣的方法，他們的思維層次是初級的，在畫圖時(shí)，學(xué)生更多的是想到通過畫圖來解決這個(gè)問題，這種畫圖只是單一的、低層次的。但是在教學(xué)中我抓住這一生成的資源，巧妙地引導(dǎo)，將其和假設(shè)法聯(lián)系起來，為下一環(huán)節(jié)的假設(shè)法的學(xué)習(xí)做了充分的鋪墊?！?/p>

三、構(gòu)建模型，巧留思維懸念

【教學(xué)片斷】

出示：龜鶴問題

1.有龜和鶴共40只，龜?shù)耐群旺Q的腿共有112條。龜、鶴各有幾只？

師：今天我們不是學(xué)習(xí)雞兔同籠問題嗎？怎么出現(xiàn)了這個(gè)問題，是不是我搞錯(cuò)了？

生：沒有，這也是雞兔同籠問題。

師：怎么看？

生：龜是4只腳，就相當(dāng)于兔，鶴是2只腳，就相當(dāng)于雞。

師：你會用什么方法解決？

生：雞兔同籠問題的方法。

師：剛才我們把兔全部看成雞，可不可以換種假設(shè)對象呢？

生：還可以全部都假設(shè)成兔。

師：怎么假設(shè)呢？下課后自己思考。

【教學(xué)思考：

教學(xué)“雞兔同籠”問題價(jià)值何在呢？“讓學(xué)生通過接觸這些重要的數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)歷猜想、實(shí)驗(yàn)、推理等數(shù)學(xué)探索的過程，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣?！痹诮虒W(xué)中有目的地滲透轉(zhuǎn)化的思想、列舉的思想、畫圖的思想、假設(shè)的思想、建模的思想，是實(shí)施這類教學(xué)的核心所在。其中，數(shù)學(xué)建模思想的滲透是本節(jié)課滲透的重點(diǎn)，通過幫助學(xué)生建立起解決“雞兔同籠”問題的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而形成解決這一類數(shù)學(xué)問題的思維策略。同時(shí)，數(shù)學(xué)建模的思想方法得到有效的滲透。

正是基于以上的認(rèn)識，在教學(xué)中，有意識地引導(dǎo)學(xué)生借助“龜鶴”問題，拓展例題中關(guān)于“雞兔同籠”問題的思考空間，引導(dǎo)他們從更廣泛的層面去觀察、分析、思考不同意義下的“雞”與“兔”之間的關(guān)系，鞏固“雞兔同籠”的解題策略，豐富“雞兔同籠”數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵。

學(xué)生課堂生成的學(xué)習(xí)成果與課后呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題有機(jī)地交織在一起，不僅有效地促進(jìn)了數(shù)學(xué)建模思想的延伸與發(fā)展，更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的延伸與發(fā)展?！?/p>