以疑引思發(fā)揮學(xué)生的主體性
——《定義新運算》教學(xué)實踐與思考

夏小佳　徐林祥

【教前思考】

《定義新運算》是浙教版義務(wù)教育實驗教科書配套練習(xí)能力訓(xùn)練六年級的內(nèi)容。學(xué)生已有經(jīng)驗是：1.熟練掌握四則運算；2.能根據(jù)規(guī)定好的規(guī)則進行計算。為了確定本課的教學(xué)目標(biāo)，筆者想到了在教學(xué)前對六（四）班51位同學(xué)進行前測。前測的題目是：

1.若 A*B 表示（A+3B）×（A+B），求5*7的值

2.定義新運算 a△b=（a+1）÷b，求 6△（3△4）的值。

3.設(shè)x、y為兩個不同的數(shù)，規(guī)定 x□y=（x+y）÷4，求 a□16=10中a的值。

4. 如果 1※2=1+11、2※3=2+22+222、3※4=3+33+333+3333

計算：（3※2）×5。

前測結(jié)果統(tǒng)計

第一題 第二題　第三題　第四題　第五題正確人數(shù) 48人　41人　41人　42人　33人正確率　94.1%　80.4%　80.4%　82.4%　64.7%

從上表中，我們不難看出六年級學(xué)生按規(guī)則運算的水平很高，前面4題的通過率都達(dá)到了80%以上。但從第五題的正確率來看，學(xué)生缺乏發(fā)現(xiàn)規(guī)則、概括規(guī)則的能力。因此，筆者認(rèn)為：本著在數(shù)學(xué)課程建設(shè)中訓(xùn)練思維、發(fā)展思維的重要性，本節(jié)課的目的不應(yīng)該單純?yōu)榱饲蟪鲆粋€結(jié)果、引出一個結(jié)論、做對幾道題目，而要突出訓(xùn)練中的思維過程，即分析的過程、推理的過程和概括的過程。

【教學(xué)過程】

一、定義新運算

1.回顧學(xué)過的四則運算。

師：同學(xué)們，你們知道嗎？有一種電腦計算程序，當(dāng)我們輸入兩個數(shù)時，很快可以輸出計算結(jié)果。比如，先輸入3再輸入2，你覺得輸出計算結(jié)果會是多少？

生：可能是5,3+2=5。

生：也有可能是6,3×2=6。

……

師（出示8）：輸出結(jié)果是8！你知道它是怎么運算的嗎？

【說明：設(shè)計開放的情境，提出情理之中、意料之外的答案，引起學(xué)生的詫異，繼而是一探究竟的興趣?！?/p>

2.猜想符合要求的運算規(guī)則。

師：這個結(jié)果“8”是怎么運算出來的？請同學(xué)們靜靜地思考1分鐘。

生:23=8。

生:3×2+2=8。

生:2×（3+1）=8。

生:32-1=8。

生:3+2+3=8。

3.揭示課題。

師：8既不是“3+ 或 -2”得到的結(jié)果，也不是“3×或÷2”得到的結(jié)果，我們可以用像這樣的特殊符號來表示它（板書3※2），這個符號代表了一種新的運算規(guī)則，稱之為定義新運算。

4.補充兩道算式，驗證

“※”代表的運算規(guī)則。

師：同學(xué)們在討論當(dāng)中得出這么多可能，再提供給大家兩道題目，整體考慮一下，哪些規(guī)則還是正確的？哪些就不正確了。

（課件出示：3※5=20,5※4=24）

學(xué)生獨立思考，小組討論，全班交流。

生：我覺得第二種是對的，3※5=3×5+5，5※4=5×4+4。

生：我認(rèn)為第三種也是正確 的 3※ 5=3×（5+1），5※4=5×（4+1）。

生：這兩種運算規(guī)則其實是乘法分配律的兩種形式，都是正確的。

師：好眼力，這兩種形式表示的是同一種運算規(guī)則。誰能用自己的語言說一說這個規(guī)則？

生：第一個數(shù)與第二數(shù)的積加第二個數(shù)。

生：我們把第一個數(shù)可以表示為a，第二個數(shù)表示為b，運算規(guī)則就是a※b=a×b+b。

生：我認(rèn)為還可以表示成a※b=a×（b+1）。

5.總結(jié)學(xué)習(xí)方法。

師：同學(xué)們都很會思考，現(xiàn)在請大家回憶剛才的環(huán)節(jié)，我們是怎么找到這個規(guī)則的？

猜測——驗證——得出字母式

【說明：經(jīng)歷猜測——驗證——概括的過程，積累歸納活動的經(jīng)驗，為更多學(xué)生參與到更為綜合的學(xué)習(xí)中做好準(zhǔn)備?！?/p>

二、自主探究，尋找運算規(guī)則

1.尋找規(guī)則。

師：同學(xué)們已經(jīng)學(xué)會了找一組算式的運算規(guī)則，如果我再提供給你兩組算式，你還能得出規(guī)則嗎？

第一組算式

第二組算式：

（1）獨立探索、理解符號所表示的運算規(guī)則，并用字母式表示。

（2）反饋交流：你是怎么確定運算規(guī)則的？

匯報第一組：

生：我先看第一個算式，把所有可能的運算規(guī)則都羅列出來，然后用第二個和第三個算式進行驗證，最后得出規(guī)律。

師：大家能明白他所經(jīng)歷的過程嗎？那你得出怎樣的規(guī)則？

生：如果設(shè)第一數(shù)為a,第二個數(shù)為b,那么這個符號所代表的運算規(guī)則就是2（a-b）。

師：他是用這樣的思路去解決這個問題，還有沒有不同的想法？

生：我是想到一種運算規(guī)則，馬上就用另外兩個算式去驗證，很快也就找到這個符號表示的運算規(guī)則了。

師：大家明白他的意思嗎？一個是列好全部的規(guī)則再刪選，另一個同學(xué)是列一個規(guī)則判斷一個。我們可以用不同的方法來探尋規(guī)則，但都需要——觀察、猜想、驗證、概括。

匯報第二組：

生：我是先看1▲3=1+2+3，我猜從第一個數(shù)1開始加，加到 3。再看 2▲4=2+3+4+5，3▲5=3+4+5+6+7，都是從第一個數(shù)開始加。所以a▲b就表示從a開始連續(xù)加。

a▲b=a+a+1+a+2……

生：我覺得他對b的理解是不到位的。b也有意義的，它表示加幾個數(shù)。我是這樣寫的。

生：其實我們可以表示出最后一個加數(shù)，第一個算式加到3,3=1+3-1，第二個算式加到5,5=2+4-1，第三個算式加到7,7=3+5-1，我發(fā)現(xiàn)最后一個加數(shù)是兩數(shù)的和少1，所以用字母可以表示成a▲b=a+a+1+a+2+……+(a+b-1)。

（3）運用以上的規(guī)則試編算式。

師：通過大家的努力，我們歸納出了這組計算規(guī)則。你能繼續(xù)寫出符合這個規(guī)則的算式嗎？

出示：4※6=4+5+6+7+8+9

師：這個算式對嗎？

生：我覺得是對的，4運算6表示從4開始連續(xù)加6個數(shù)，符合規(guī)則。

生：我不同意，在同樣的規(guī)則下我們要用相同的符號來表示。所以我們寫的算式也要用▲這樣的符號表示。

師：這個建議很好，定義新運算，在同一組算式中，一個符號所表示運算規(guī)則應(yīng)該是一致的。

【說明：交流和比較不同的思考方法，不僅強調(diào)思維的結(jié)果，更強調(diào)思維的過程。在活動中，感悟什么叫“定義”、“運算”與“運算符號”的關(guān)系等等。】

2.創(chuàng)造運算規(guī)則。

師:同學(xué)們，剛才我們是找尋現(xiàn)成算式的運算規(guī)則。大家想不想自己來定義新的運算規(guī)則？請看大屏幕的要求，誰來讀一讀？（課件呈現(xiàn)）

要求一想：心中想好運算規(guī)則。二寫：依據(jù)運算規(guī)則寫出一組算式（至少3個為一組）三猜：讓同桌猜猜運算規(guī)則是什么。

（學(xué)生獨自編題，小組討論，全班交流）

展示學(xué)生作品：

（圖一）

（圖二）

師：（指圖一）這位同學(xué)給大家提了一個問題。17運算19的結(jié)果是多少?

生：結(jié)果是323，我發(fā)現(xiàn)這個符號表示的規(guī)則是第一個數(shù)乘第二個數(shù)的積，所以17×19=323。

生：我還可以用字母式表示 a▲b=ab。

師：和他們想法一樣的請舉手，接著看第二組作品，你還能猜出這個符號表示的運算規(guī)則嗎？

生：我認(rèn)為運算規(guī)則是a×2+b。

生：我覺得這個規(guī)則不對，因為按這個規(guī)則運算最后一個算式，10×2+12≠62。只要有一個算式不符合，就不能認(rèn)為是這個符號的普遍規(guī)則。

生：對，在一組算式中，同一種符號表示的規(guī)則應(yīng)該是一樣的。

師：剛才兩位同學(xué)的建議大家聽明白了嗎？請大家再想想。

（同學(xué)一片沉默）

師：那這是誰出的？自己來揭曉規(guī)則好不好？

原作者：我想的運算規(guī)則是兩個數(shù)的最大公因數(shù)加上它們的最小公倍數(shù)。

師：我們來判斷是否是這樣的規(guī)則。（引領(lǐng)學(xué)生逐題驗證）

（學(xué)生興致盎然，有人說：“潛伏”得好深?。∫齺硪黄瑫牡男β暋?/p>

【說明：在理解的基礎(chǔ)上，開放學(xué)習(xí)材料，鼓勵學(xué)生自己去創(chuàng)造、創(chuàng)編運算規(guī)則，再相互推理、“破譯”規(guī)則，實踐表明，這樣的活動參與面很廣，參與程度很深。交流時讓學(xué)生自己思考辨析，在不斷的思維碰撞中更加理解規(guī)則的唯一性?！?/p>