“波利亞解題思想”在高中數(shù)學(xué)學(xué)困生轉(zhuǎn)化中的應(yīng)用研究

一、問題的提出

新課程理念強(qiáng)調(diào)以人為本，希望每位學(xué)生都能夠獲得全面的、和諧的發(fā)展。事實(shí)上，目前普通高中存在著大量的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難生（以下簡稱數(shù)困生），數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難很大程度影響了他們自身的成長和未來的發(fā)展。因此，從實(shí)踐層面探索轉(zhuǎn)化數(shù)困生的途徑有著非常重要的意義。

毫無疑問，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵在于解題。筆者通過對(duì)數(shù)困生的觀察研究發(fā)現(xiàn)，解題能力差、毫無章法、無解題的策略意識(shí)是導(dǎo)致他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)困難的最核心因素。怎樣解題？怎樣有思想的解題？對(duì)于解題理論的研究和教學(xué)首推美國當(dāng)代數(shù)學(xué)教育家喬治·波利亞，他的研究工作給我們提供了理論和實(shí)踐兩個(gè)層面的指導(dǎo)。筆者利用波利亞解題思想在轉(zhuǎn)化數(shù)困生的實(shí)踐方面，作了一點(diǎn)有益的探索，以期能為轉(zhuǎn)化數(shù)困生提供一條新的途徑。

二、波利亞解題與教學(xué)思想簡介

1.波利亞的解題思想

波利亞的重要數(shù)學(xué)著作有《怎樣解題》《不等式》《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》《數(shù)學(xué)與猜想》等等，但他的解題思想集中體現(xiàn)在他的《怎樣解題》一書中，解題的流程如下圖所示：

為了更清楚地展現(xiàn)解題的思維過程，波利亞又把每個(gè)環(huán)節(jié)分成若干個(gè)小的問題，部分重要的問題分別如下：

（1）已知是什么？

（2）未知是什么？

（3）題目要求你干什么？

（4）可否畫一個(gè)圖形？

（5）可否引入符號(hào)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化？

（6）你能否一眼看出結(jié)果？

（7）是否見過形式上稍有不同的題目？

（8）你是否知道與此有關(guān)的題目，是否知道用得上的定義、定理公式？

（9）有一個(gè)與你現(xiàn)在的題目有關(guān)且你已解過的題目，你能利用它嗎？

（10）已知條件A，B，C……可否轉(zhuǎn)化？可否建立一個(gè)等式或不等式？

（11）你能否引入輔助元素？

（12）如果你不能解這個(gè)題，可先解一個(gè)有關(guān)的題，你能否想出一個(gè)較易下手的、較一般的、特殊的，類似的題？

（13）把你想好的解題過程具體地用術(shù)語、符號(hào)、圖形，式子表述出來。

（14）修正解題方向以及原來擬定的不恰當(dāng)?shù)姆桨浮?/p>

（15）解題要求是：嚴(yán)密具有邏輯性。

（16）你能擬定其他解題方案嗎？

（17）你能在別的問題中利用它嗎？你能用它的結(jié)果嗎？你能用它的方法嗎？

（18）你能找到什么方法檢驗(yàn)?zāi)愕慕Y(jié)果嗎？

由此可見，解題表主要由四個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成，其中弄清題意是關(guān)鍵，擬定計(jì)劃是核心，檢驗(yàn)回顧是解題中不可缺少的重要條件。由此可見，波利亞特別強(qiáng)調(diào)解題前和解題后的工作，這與我們僅強(qiáng)調(diào)解題過程（執(zhí)行計(jì)劃）有很大的差異。

2.波利亞的解題教學(xué)思想

波利亞主張教師在解題教學(xué)過程中要教會(huì)學(xué)生思考和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，倡導(dǎo)“探索式”教學(xué)。從《怎樣解題》中可見波利亞還十分注重對(duì)學(xué)生“反思性思維能力”的培養(yǎng)，倡導(dǎo)解題過程中數(shù)學(xué)方法的教學(xué)，他主張對(duì)解題結(jié)論的應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生的想象力。波利亞強(qiáng)調(diào)在解題過程中調(diào)動(dòng)學(xué)生的“主動(dòng)性”，創(chuàng)造解題教學(xué)的“最近發(fā)展區(qū)”極為重要，他認(rèn)為適當(dāng)?shù)念}目可以培養(yǎng)學(xué)生良好的情感和態(tài)度，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的非智力因素。

關(guān)于學(xué)生的解題訓(xùn)練，波利亞反對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中讓學(xué)生用大量的時(shí)間操練一些常規(guī)運(yùn)算。他認(rèn)為學(xué)生用大量的時(shí)間操練常規(guī)運(yùn)算會(huì)扼殺學(xué)生的興趣，阻礙學(xué)生智力的發(fā)展，錯(cuò)失教育良機(jī)。相反，如果用和學(xué)生的知識(shí)相稱的題目來激起學(xué)習(xí)的好奇心，并且用一些激勵(lì)性的問題去幫助他們解答題目，那么就能培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考問題的興趣，并教會(huì)學(xué)生某些方法。他認(rèn)為在一個(gè)易受到外界影響的年齡段，這樣的經(jīng)歷可能會(huì)培養(yǎng)出對(duì)智力思考的愛好，并對(duì)思想和性格留下終生的影響。

三、研究的方法及過程

為了研究的方便，經(jīng)學(xué)校同意，筆者隨機(jī)選擇高三（5）班和高三（6）班的部分?jǐn)?shù)困生作實(shí)驗(yàn)研究，這是兩個(gè)選修“物理生物”的普通班級(jí)，學(xué)校同類型的平行班級(jí)還有（3）班、（4）班、（7）班、（8）班等。

1.數(shù)困生的界定

為了統(tǒng)計(jì)和研究的方便，我們把數(shù)困生界定為“多次數(shù)學(xué)考試得分不足理科班平均成績一半的學(xué)生?！边@個(gè)界定的科學(xué)性盡管有待商榷，但這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)確實(shí)很低，并且易于操作，以下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)都遵照此標(biāo)準(zhǔn)。為了預(yù)防實(shí)驗(yàn)班新的數(shù)困生的產(chǎn)生，在進(jìn)行波利亞思想解題實(shí)驗(yàn)時(shí)，根據(jù)9月份的市高三調(diào)研考試和之前的高二期末成績，把標(biāo)準(zhǔn)提高到“數(shù)學(xué)得分不足理科班成績的三分之二”，并排除個(gè)別特殊的學(xué)生，于是兩個(gè)班共有15人參加實(shí)驗(yàn)。

2.師生的理論學(xué)習(xí)

目前波利亞的解題思想在國內(nèi)中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，還沒有被教師廣泛的認(rèn)可和接受，學(xué)生更是聞所未聞。為了確保實(shí)驗(yàn)中能夠深刻領(lǐng)會(huì)，不曲解、不偏離波利亞的解題思想，筆者安排了兩個(gè)月的師生理論學(xué)習(xí)時(shí)間。2014年9月為自我學(xué)習(xí)階段，在這一個(gè)月內(nèi)，筆者除了仔細(xì)研讀前期收集的波利亞的最主要的解題類著作《怎樣解題》《數(shù)學(xué)與猜想》外，還學(xué)習(xí)了別人研究波利亞解題思想的著作和論文，如劉云章教授的《數(shù)學(xué)鑰匙思維策略：波利亞著作選講》、柳成行的《喬治·波利亞的解題思維理論》等。2014年10月份，筆者主要利用課余時(shí)間如午自修和夜自修等時(shí)間，帶領(lǐng)數(shù)困生學(xué)習(xí)波利亞的解題思想，并結(jié)合解題的實(shí)例說明，讓每位數(shù)困生能夠牢記解題的四個(gè)環(huán)節(jié)和每個(gè)環(huán)節(jié)中思考的著眼點(diǎn)。

3.探索實(shí)踐方法

正式的實(shí)驗(yàn)階段從2014年的11月始到2015年的5月底，除去寒假，正好為期半年。大體分為三個(gè)階段：教師引導(dǎo)階段、強(qiáng)化應(yīng)用階段和自覺應(yīng)用階段。endprint

從2014年11月始到12月末為教師引導(dǎo)階段。在前期對(duì)波利亞解題理論學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，由教師利用課外的時(shí)間，對(duì)參加實(shí)驗(yàn)的學(xué)生進(jìn)行專門解題策略引導(dǎo)。在這個(gè)階段，主要是以老師講解例題，學(xué)生模仿為主，為使四個(gè)環(huán)節(jié)更具操作性、更加具體，對(duì)這四個(gè)環(huán)節(jié)作進(jìn)一步細(xì)化，如下表所示：

2015年1月和2月為強(qiáng)化應(yīng)用階段。由于這樣的解題過程需要大量的時(shí)間，所以對(duì)參加實(shí)驗(yàn)的學(xué)生的數(shù)學(xué)作業(yè)區(qū)別對(duì)待，在完成必要教學(xué)任務(wù)的作業(yè)外，盡可能地減少作業(yè)量，追加典型的能夠用波利亞思想解題的作業(yè)，并單獨(dú)印制試卷，在每題的答題區(qū)，印制好每個(gè)環(huán)節(jié)需要思考的問題，并要求學(xué)生逐步填寫，而不僅僅是完成解題，每天晚上完成1到2個(gè)這樣的問題。

2015年的3月和4月為自覺應(yīng)用階段。通過前兩個(gè)階段的訓(xùn)練，大部分參與實(shí)驗(yàn)的學(xué)生能夠自覺地按解題流程進(jìn)行解題。值得一提的是在2015年5月的四大市第二次模擬考試中，參加實(shí)驗(yàn)的同學(xué)在中等難度題（第9到16題）上平均得分與班級(jí)其他同學(xué)平均得分基本相當(dāng)。有力地說明實(shí)驗(yàn)確實(shí)起到了一定的效果。

四、數(shù)據(jù)的收集與分析

為了跟蹤檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)的有效性，我們選取了最接近實(shí)驗(yàn)前的三次考試數(shù)困生人數(shù)，和開展實(shí)驗(yàn)后的三次考試數(shù)困生人數(shù)（見表1）。除了2014年10月檢測之外，均為市級(jí)以上的考試，無論是試卷信度、考試組織還是閱卷都具有較強(qiáng)的權(quán)威性。

由于高三開始時(shí)按照高二的期末成績進(jìn)行了均勻分班，所以數(shù)困生人數(shù)非常平均，均為5人。接下來9月和10月考試數(shù)困生人數(shù)有了一定的變化，從表中數(shù)據(jù)可見，開展實(shí)驗(yàn)后實(shí)驗(yàn)班的數(shù)困生數(shù)量明顯減少，我們使用SPSS15.0進(jìn)行單因素方差分析（One-Way ANOVA），得到實(shí)驗(yàn)前和實(shí)驗(yàn)后的數(shù)困生平均人數(shù)差異的F值，見表2。

就實(shí)驗(yàn)前因變量而言，F(xiàn)值不顯著（F=0.056，p>.05），就實(shí)驗(yàn)后的因變量而言，F(xiàn)值顯著（F=18.059，p>.05）。這說明進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后各班數(shù)困生人數(shù)發(fā)生了顯著的變化，我們的實(shí)驗(yàn)是卓有成效的。

五、研究的結(jié)果及教學(xué)改進(jìn)

這次實(shí)驗(yàn)結(jié)果有力地說明了只要采用科學(xué)的、適當(dāng)?shù)耐緩?，是能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)困生轉(zhuǎn)化的。因此，對(duì)已經(jīng)形成的數(shù)困生采取有效的補(bǔ)救措施。改進(jìn)課堂教學(xué)迫在眉睫，我們可以從以下幾個(gè)方面入手：

1.教給學(xué)生審題的方法，提高學(xué)生審題能力

認(rèn)真審題是提高解題效率和保證解題有效性的關(guān)鍵，通過審題充分理清題目的條件和所求，邊讀題邊翻譯，將條件轉(zhuǎn)化成圖形語言或符號(hào)語言。弄清題目屬于哪種題型，有什么通法或找到問題的突破口，挖掘出與所求相關(guān)的信息或隱含條件，進(jìn)行聯(lián)系和疏通，使問題迎刃而解。我們?cè)诮虒W(xué)中要給予學(xué)生足夠的審題時(shí)間，教會(huì)學(xué)生審題的方法，千萬不能越俎代庖。

2.解題力求找到問題的源頭

解題時(shí)學(xué)生對(duì)問題中的有些條件無從“翻譯”，或偏離方向越做越復(fù)雜，最終放棄，非?？上??！皢柷牡们迦缭S，為有源頭活水來?！睂W(xué)生進(jìn)行審題后難于駕馭的問題，我們要積極引導(dǎo)，提供正確的步驟和方法，促使學(xué)生有效探究，力求找到問題的源頭，層層推進(jìn)，及時(shí)疏通，在不斷嘗試中找到解題的切入口，這一系列思維過程無不伴隨著學(xué)生最基本的思考。

3.對(duì)學(xué)生的"不同意見 "要熱處理

我們?cè)谡n堂上講解題目時(shí)，可能有學(xué)生會(huì)對(duì)解法持有“不同意見”，從而打亂了我們所謂的教學(xué)計(jì)劃。這時(shí)我們千萬不能做辛勤的園丁，拿著把大剪子急切地修剪著，導(dǎo)致學(xué)生的思維就如籠中鳥，生怕自己的答案不標(biāo)準(zhǔn)，卻也難于理解自己究竟錯(cuò)在哪里。相反，我們要及時(shí)為學(xué)生的“不同意見”及時(shí)調(diào)整教學(xué)計(jì)劃，開啟綠色通道，可能這些學(xué)生的意見是有限制性和偏差的，我們不妨和學(xué)生一起用發(fā)展的理念討論要不要全盤接受，慢慢思考培養(yǎng)什么，舍棄什么，可以作什么改進(jìn)，從不同的視角感悟我們可以留下些什么。

（施莉莉，吳江高級(jí)中學(xué)，215200）

責(zé)任編輯：顏瑩endprint