從n=k到n=k+1的技巧

羅邯

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從n=k到n=k+1的技巧

羅邯

不等式的證明有多種方法，涉及到與正整數(shù)有關的不等式時，可考慮用數(shù)學歸納法。證明過程中除了要嚴格按照數(shù)學歸納法的證明步驟外，最關鍵之處是如何從n=k推出n=k+1時，不等式也成立。本文介紹幾種從n=k到n=k+1的技巧，教師們在教學時，可以適時地教給學生，提高他們的解題能力。

解析從左邊式子觀察可知，由n=k到n=k+1后，起始項變?yōu)椋瑒t減少了一項，末項應為，又中間項的分母為連續(xù)正整數(shù)，因此應增加

兩項，故選B。

點評一定要仔細觀察不等式的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)從n=k到n=k+1時增加了多少項，減少了多少項，一般用（fk+1）-（fk）來研究，才能準確無誤。

a2，a3，…，an也成立的不等式，并用數(shù)學歸納法證明。

解析由已知，歸納猜想得（a1+a2+a3+…+an）·

點評：證明n=k+1時結(jié)論成立，可以采用分析法，找到解決的辦法。如本題就沒有放大或縮小不等式，是采用分析的思路、作差的方法解決的。

在數(shù)學歸納法證明不等式的過程中，綜合性較強，要會觀察，善思考。由假設n=k成立，推證n= k+1時也成立時，證明用上歸納假設后，可采用分析法、綜合法、比較法、放縮法，基本不等式法等證明。因此，用好了數(shù)學歸納法，就可證好不等式。

（作者單位：瀏陽市第一中學）

《湖南教育》“瀟湘數(shù)學組”欄目策劃

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