“通性通法”是解題教學(xué)之大道

沈金興　孫沖

【摘 要】 中學(xué)一線教師的解題教學(xué)往往注重在講解與技巧方法上，缺少數(shù)學(xué)原理的挖掘與學(xué)生的反思，因而顯得教學(xué)效率不高.針對(duì)此類現(xiàn)象，本文以圓錐曲線中的一道高考題為例，在課堂教學(xué)中突出“通性通法”的講評(píng)，使學(xué)生舉一反三，探究出了更多結(jié)論，從而得出了解析幾何中的若干教學(xué)啟示，同時(shí)也印證了“通性通法”才是解題教學(xué)之正道.

【關(guān)鍵詞】 通性通法；解題教學(xué)

1 問(wèn)題的提出

作為在一線工作的教師，解題教學(xué)的課是上得最多的.因?yàn)樵跀?shù)學(xué)課堂中，除了起始課涉及的是概念、定理、公式、性質(zhì)等需要探究合作來(lái)論證或推導(dǎo)外，其余如鞏固課、復(fù)習(xí)課涉及的都是解題.那么在解題教學(xué)課中，究竟是題目講得越多越好呢？還是方法、技巧講得越多越好？抑或是題型總結(jié)得越多越好，還是解題步驟歸納得越詳細(xì)越好呢？下面先來(lái)看看中學(xué)數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)方面的現(xiàn)狀.

2 解題教學(xué)現(xiàn)狀

根據(jù)筆者所聽到的各級(jí)各類公開課或教師間的交流，盤點(diǎn)一下當(dāng)前解題教學(xué)中的一些現(xiàn)狀.

現(xiàn)狀一：重講解不重原理.大多數(shù)中學(xué)教師在給學(xué)生講解題目時(shí)，往往只告訴學(xué)生怎么分析、怎么解題，至于為什么要這樣去分析，為何從這個(gè)角度去突破卻不講，也就是常說(shuō)的“知其然，不知其所以然”.缺少如何解這道題的數(shù)學(xué)原理，于是學(xué)生只能停留在就題論題，稍加變化就不會(huì)的境地.

現(xiàn)狀二：重訂正不重反思.當(dāng)教師講解完題目后，一般會(huì)讓學(xué)生訂正，甚至還會(huì)檢查.于是學(xué)生會(huì)按標(biāo)準(zhǔn)答案訂正好，至于自己當(dāng)時(shí)為何做錯(cuò)？錯(cuò)誤原因究竟是什么卻不會(huì)去反思了.所以教師只重視學(xué)生的訂正卻不重視學(xué)生解題后的反思，導(dǎo)致過(guò)一段時(shí)間后學(xué)生忘記了正確做法就會(huì)犯同樣的錯(cuò)誤.

現(xiàn)狀三：重技巧不重通法.教師在講題目時(shí)，常常向?qū)W生介紹很多種方法，尤其是一些很巧妙的方法，既簡(jiǎn)便又快捷，殊不知這些方法雖好，但卻不能通用，以后碰到此類稍加改變的題目還是不會(huì).這樣就顯得解題教學(xué)的效率不高，相反如果能介紹一種通用方法，則解一題就通一類，效率就會(huì)明顯提高.

由上面這些解題教學(xué)中的現(xiàn)狀可知，許多一線教師并不明白解題的目的，認(rèn)為只要把題做對(duì)就行了，純粹是為做題而做題.其實(shí)讓學(xué)生做題是為了鞏固概念，要讓學(xué)生通過(guò)解題慢慢養(yǎng)成從基本概念和基本數(shù)學(xué)原理出發(fā)去思考問(wèn)題，而教師講題是教給學(xué)生該如何思考才能分析突破去解決問(wèn)題，從而拓展學(xué)生的思維能力，即教給學(xué)生“思維之道”.這就要求教師不僅要講邏輯，更要講“道理”，并要讓學(xué)生反思自己的錯(cuò)誤根源.當(dāng)然有些教師可能混淆了特殊技巧與數(shù)學(xué)思想方法的差異，以為這些技巧就是好的解題方法，而忽略了學(xué)生應(yīng)該要掌握的通性通法，或者認(rèn)為通性通法太笨拙，不值一提，從而把學(xué)生引向“題型+技巧”的歪道上，使學(xué)生不明白解題的根本，也沒(méi)有學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)中最基本的思考方法，于是學(xué)生遇到新的題型就會(huì)束手無(wú)策.要改變這種現(xiàn)狀，就需要教師在講題時(shí)首先要介紹思維上最經(jīng)濟(jì)、解題思路也可以“程序化”的“通性通法”，要多向?qū)W生強(qiáng)調(diào)和滲透才是正道.

3 通性通法的課堂實(shí)踐

3.1 通性通法的含義

人教社的章建躍博士說(shuō)：“通性”就是概念所反映的數(shù)學(xué)基本性質(zhì)；“通法”就是概念所蘊(yùn)含的思想方法[1].由此筆者認(rèn)為，所謂通性通法就是應(yīng)用數(shù)學(xué)概念、定理、法則、公式等所體現(xiàn)出來(lái)的基本的數(shù)學(xué)通用性質(zhì)去解決問(wèn)題的通用思想方法，即“通用性質(zhì)與通用方法”.當(dāng)然，這些方法可解決的不僅僅是一類題，而是凡涉及相關(guān)知識(shí)的題目都可應(yīng)用此方法.下面就以解析幾何中的圓錐曲線為例來(lái)說(shuō)明.

3.2 圓錐曲線中的通性通法

在各省的高考題中，涉及解析幾何大題的都是直線與圓錐曲線關(guān)系的題型.因此在講解此類題目時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)其通用的常規(guī)性質(zhì)與方法.其“通性”便是“方程思想”，就是把直線與圓錐曲線方程組成方程組，然后根據(jù)方程組的解和交點(diǎn)關(guān)系等性質(zhì)來(lái)解題；其“通法”便是“五步法”：一設(shè)二聯(lián)三消四判五用.即第一步設(shè)點(diǎn)、設(shè)直線；第二步聯(lián)立方程組；第三步消元后得一元二次方程；第四步用“Δ”這個(gè)判別式；第五步寫出韋達(dá)定理并應(yīng)用.此通性通法的特點(diǎn)很鮮明，步驟簡(jiǎn)單明了具有程序化，思維量不大淺顯易懂，雖計(jì)算量較大，但大巧如拙，很符合考察解析幾何之意圖，在平時(shí)也可訓(xùn)練學(xué)生的計(jì)算能力.下面就以具體的2015年浙江省高考題數(shù)學(xué)（理）第19題為例來(lái)呈現(xiàn)課堂實(shí)踐.

3.3 課堂實(shí)踐

筆者的授課對(duì)象是高二學(xué)生，所授課類型是選修2-1的《圓錐曲線》這一章結(jié)束后的復(fù)習(xí)鞏固課，而此時(shí)2015年的高考已落下帷幕，于是決定采用剛新鮮出爐的浙江省第19題高考題為例來(lái)講解“直線與圓錐曲線關(guān)系”的題型.

4 結(jié)論與啟示

在高中的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，解題教學(xué)占有相當(dāng)大的比例，尤其是到了高三的復(fù)習(xí)階段.通過(guò)課堂實(shí)踐表明，題目既不是講得越多就越好，也不是技巧講得越巧妙越好，而是要讓學(xué)生能通過(guò)一道題目理解一大類題目，能“舉一反三”，這樣才能達(dá)到高效的解題教學(xué)，而介紹“通性通法”的解法便是最佳途徑.筆者就是在課堂上多強(qiáng)調(diào)了“通性通法”，故在解決這道高考題時(shí)學(xué)生基本上能一帆風(fēng)順，并且還能拓展，深入挖掘出一般化的結(jié)論.

正如章建躍博士所說(shuō)的：“解題教學(xué)中，要使學(xué)生逐步養(yǎng)成從基本概念、基本原理及其聯(lián)系性出發(fā)思考和解決問(wèn)題的習(xí)慣，這是發(fā)展學(xué)生思維能力的正道”，并指出：“不注重大巧如拙的通性通法，…，久而久之，使學(xué)生忘了解題的根本，沒(méi)有學(xué)會(huì)最基本的數(shù)學(xué)思考方法，因而在高考的“競(jìng)技場(chǎng)”上敗下陣來(lái).”[1]所以，工作在第一線的數(shù)學(xué)教師，一定要在解題教學(xué)中走在注重通性通法的大道上.

參考文獻(xiàn)

[1] 章建躍.注重通性通法才是好數(shù)學(xué)教學(xué)（編后漫筆）[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2011，11.